DGL 1. Ordnung

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15.07.2015, 08:29	toptoptop	Auf diesen Beitrag antworten »
DGL 1. Ordnung Hallo forum, Bräuchte mal Hilfe bei folgender DGL. Habe bei diesem Thema generell noch nicht so den Durchblick. $\begin{eqnarray} xy' - y = \sqrt{a^2 - x^2} <br /> <br /> xy' - y = 0<br /> <br /> \frac{1}{y} dy = \frac{1}{x} dx<br /> <br /> ln(y) = ln(x) + c<br /> <br /> y = kx \end{eqnarray}$ Das stellt ja die homogene Lösung dar. Wie fahr ich nun am besten fort? Partikuläre Lösung suchen? Wenn ja, welcher Ansatz eignet sich dafür? Weiss jemand, wo ich eine grobe Übersicht zu dem Thema finden könnte? Es gibt ja auch für verschiedene DGL verschiedene Lösungsmöglichkeiten - gehört habe ich bereits von Trennung der der Variablen und Variation der Konstanten, sowie den Lösungsansätzen für Störglieder. Einordnen kann ich dies allerdings noch nicht. Vielen Dank für Hilfe!
15.07.2015, 09:12	toptoptop	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, hab es mal über folgenden Ansatz versucht. $\begin{eqnarray} y = y_h + y_p<br /> <br /> y_h = kx<br /> <br /> y_p = kx = k(x)x<br /> y_p' = k'(x)x + k(x)<br /> <br /> k'(x)x^2 = \sqrt{a^2 - x^2} <br /> k'(x) = \frac{\sqrt{a^2 - x^2}}{x^2} <br /> <br /> k(x) = - \frac{\sqrt{a^2 - x^2}}{x} - arcsin(\frac{x}{a})<br /> <br /> y_p = -\sqrt{a^2 - x^2} - xarcsin (\frac{x}{a})<br /> <br /> y = kx -\sqrt{a^2 - x^2} - xarcsin (\frac{x}{a})<br /> <br /> geg.: y (0.5a) = b<br /> <br /> y (0.5a) = 0.5ak - 0.5 \sqrt{3} a - 0.5a arcsin (0.5) = n<br /> <br /> k = 2\frac{b}{a} + \sqrt{3} + arcsin (0.5)<br /> <br /> y = (2\frac{b}{a} + \sqrt{3} + arcsin (0.5)) x<br /> \end{eqnarray}$ Kann das stimmen?
15.07.2015, 09:13	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: DGL 1. Ordnung Hallo, die hom. Lösung stimmt. Diese Aufgabe löst Du mit Variation der Konstanten. Hab Dir mal ein Link geschickt ,mit einem Überblick und einem Beispiel. http://www.uni-magdeburg.de/exph/mathe_gl/dgl2.pdf
15.07.2015, 09:35	toptoptop	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Übersicht! Könnte sich jemand noch den Lösungsversuch ansehen? Die Posts wurden fast gleichzeitig abgeschickt.
15.07.2015, 15:01	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Ergebnis stimmt. die AWB stimmt auch. $\begin{eqnarray} arcsin( \frac{1}{2}) =\frac{\pi }{6} \end{eqnarray}$ Deine letzte Zeile ist falsch. Das k muß in die Lösung eingesetzt werden.
15.07.2015, 18:58	toptoptop	Auf diesen Beitrag antworten »
Was genau ist an der letzten Zeile falsch? Dort habe ich ja k aus dem vorherigen Schritt in die gleich y = kx eingesetzt.
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15.07.2015, 19:15	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Lösung ist doch länger mit dem k. Du mußt das in diie Lösung der Aufgabe einsetzen. (5.Zeile von unten)
15.07.2015, 22:25	toptoptop	Auf diesen Beitrag antworten »
Tut mir leid, ich stehe gerade auf dem Schlauch. ich habe in Zeile 6 die Lösung von k(x) in Folge des Integrierens von k'(x) erhalten. dieses k(x) habe ich dann in yp = k(x) * x eingesetzt. Daraus resultiert Zeile 5. Oder willst du auf die Integrationskonstante c hinaus, die theoretisch beim Integrieren von k'(x) ensteht?
17.07.2015, 10:28	toptoptop	Auf diesen Beitrag antworten »
Hat noch jemand eine Antwort ?
17.07.2015, 11:00	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist immer: y= y(homogen) +y (part.) Gib doch mal die Aufgabe in desen Link ein, dann siehst Du zumindestens das das Ergebnis länger ist . Die habe das zwar mit dem Tan gerechnet. ist aber egal. http://www.wolframalpha.com/input/?i=x*y%27+-y+%3Dsqrt%28a^2+-x^2%29+%2Cy%28a%2F2%29%3Db
19.07.2015, 13:27	toptoptop	Auf diesen Beitrag antworten »
Achso, ja. Jetzt verstehe ich. Ich habe praktisch die Lösung für k nur in die homogene Lösung eingesetzt, anstatt es in yh + yp einzusetzen. Danke Für die Geduld

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