Fourieranalysis

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Münze Auf diesen Beitrag antworten »
Fourieranalysis
Hallo ich habe noch eine Aufgabe die ich lösen möchte.
Gegeben sei die auf dem Intervall definierte und dann periodisch fortgesetzte Funktionenschar



a) Skizzieren Sie

b) Bestimmen Sie die Sinus bzw. kosinus Fourierreihe von

c) Bestimmen Sie den Limes der Fourierreihe


a) Meine Skizze habe ich als Bild angehängt. Ich bin mir ehrlich gesagt nichtmal sicher ob ich das richtig habe ...

b) Hier dachte ich an folgendes.



Stimmt das soweit?

[attach]38732[/attach]
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fourieranalysis
Das stimmt alles, aber leider nur für die Funktion
, was nicht das gleiche ist wie
.

Edit: Achtung, schreibe lieber statt . Sehe gerade, dass du die beiden k's durcheinander wirfst.
Münze Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fourieranalysis
Hallo IfindU, hier ist genau mein Problem, ich bin mir absolut nicht sicher wie ich das Intervall nun interpretieren soll. Der Betrag ist doch
ist und
ist dann

? Das macht doch keinen Sinn...

Ist das eventuell so gemeint das ist und für dann Null?

Dann würde in meinen Bild die Funktionswerte für auch nicht sein...
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fourieranalysis
Es ist wie du richtig siehst, aber
Münze Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fourieranalysis
Ok, mal ein neuer Versuch. Dann muss folgendermaßen ausschauen:

[attach]38737[/attach]

Das Integral würde aber komplett gleich ausschauen bei der b)?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fourieranalysis
Bild stimmt. Schön wäre es wenn man an der Skizze die 2pi Periodizität noch sehen würde.

Und bei b) berechnest du einen Fourierkoeffizient, nämlich zufällig den k-ten für die k-te Funktion. Deswegen habe ich gesagt du sollst lieber oder schreiben. So kommst du mit den k der Funktionsfolge und dem k der Fourierkoeffizienten durcheinander.

Außerdem stimmen so die Grenzen nicht, wie du an deiner neuen Skizze sehen kannst.
 
 
Münze Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fourieranalysis
Ok, dann habe ich das Integral ...





Für den Sinus Koeffizient dann analog also:



So meinst du das?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fourieranalysis
Sehr schön. Das mit Sinus kannst du ausrechnen, alternativ bemerkst du, dass deine Funktion gerade ist (achsensymmetrisch) und damit die Koeffizienten immer verschwinden müssen.
Münze Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fourieranalysis
Ok, dann brauche ich noch

Dann erhalte ich die Fourierreihe...



Das müsste stimmen?

In Aufgabenteil c) soll nun betrachtet werden. Soll der Grenzwert nun einfach in die Reihe gezogen werden? verwirrt
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fourieranalysis
Dann solltest du die Summe auch bei 1 starten:
.

Den Limes reinziehen ist an sich die richtige Idee, aber hier ist die Situation subtiler. Wenigstens nach kurzem Überlegen sehe ich nicht warum die Reihe überhaupt konvergiert, und jeder einzelne Summand für sollte sich unbestimmt verhalten für k gegen unendlich. Ich fürchte ich muss gerade selber noch ein wenig drüber nachdenken.

Edit:
Laut Wikipedia reicht, dass f_k in BV (beschränkte Variation) ist, damit die Fourierreihe überall konvergiert. Folgt wohl aus dem Dini-Test. Aber noch sehe ich nicht wie man den Grenzwert ermitteln könnte...

Edit 2:
Sehr cool, es gibt jede Menge Theorie dazu:
https://en.wikipedia.org/wiki/Convergenc...ise_convergence
Damit sollte man dann explizit bestimmen können (hoffe ich, ich rechne auch mal los).

Edit 3:
Bis auf die Punkte sind wir differenzierbar und man kann leicht sehen, dass die Fourierreihe gegen konvergiert. Bei den Sprüngen ähnlich, aber hier mittelt die Fourierreihe, d.h. sie konvergiert nicht gegen f_k! Aber jetzt lasse ich dich wieder ein wenig arbeiten Augenzwinkern
Münze Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo IFindU, so ganz sehe ich das noch nicht.



Wenn ich das nun mal in einer Nebenrechnung betrachte:



geht für gegen und existiert doch garnicht?

Ich sehe noch nicht so ganz wie ich hier weiter machen soll ... verwirrt
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hätte es deutlicher sagen sollen: Den Limes reinziehen klingt nach einer guten Idee, bis man sich anguckt wohin jeder Summand konvergiert: Vermutlich gar nicht, und wenn, dann ist es nicht leicht zu zeigen. Und selbst dann müsste man noch überlegen warum man die Reihe mit dem Limes vertauschen darf. Das alleine wäre schon sehr kritisch, weil die Reihe sehr langsam konvergiert. Es ist ja fast eine harmonische Reihe, bloss noch ein paar Cosinus und Sinus, die dabei sind. Und diese gehen nicht einmal gegen 0. Die Konvergenz ergibt sich also ähnlich wie bei alternierenden Reihen, dadurch dass Sinus und Cosinus Vorzeichen beisteuern und damit doch noch die Konvergenz erzwingen. Alles funktioniert "gerade" noch so.

Jetzt sind Fourierreihen aber eine Darstellung von f_k in Sinus und Cosinus. D.h. was man erwartet ist überall. Schließlich entwickelt man f_k in eine Reihe -- wenn man das zumindest nicht unter gewissen schwachen Annahmen an f_k hat, so wäre die Entwicklung ein sehr seltsames Konzept.

Nun gibt es einen ganzen Wikipediaartikel, wann und wie wirklich f_k ist und wie gut die Reihe konvergiert. Für stetig differenzierbare f_k konvergiert die Reihe z.B. gleichmäßig. Das ist hier zwar nicht der Fall, weil wir 2 Sprungstellen haben. Aber bis auf die 2 Sprungstellen haben wir wirklich und damit interessieren wir uns also was für k gegen unendlich macht. Bei den beiden Sprungstellen haben wir ! Dort ist . Das kann man mit dem Dirichlet–Dini Kriterium (s. Wiki) nachrechnen. D.h. uns interessiert wirklich nur was für k gegen unendlich macht.

Edit: Für etwas fortgeschrittenere: Da das Integral keine Nullmengen sieht, ist auch nicht zu erwarten, dass überall mit übereinstimmt. Hier ist aber der exakte Repräsentant von , was gewissermaßen das natürliche ist.
Münze Auf diesen Beitrag antworten »

Ok also demnach muss nur betrachtet werden? Das wäre dann:



und dann den Grenzwert für die beiden Fälle betrachten?
Im ersten Fall wäre da und im zweiten Fall .
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du es punktweise untersuchst, dann gib das f einmal sauber an. Interessanter hier wäre der Grenzwert in , wenn er dir was sagt.

Nur sicherheitshalber: Ist das Eins-zu-Eins der Wortlaut der Aufgabe bei c)? Irritiert mich nämlich ein wenig.
Münze Auf diesen Beitrag antworten »

Hm ich denke das übersteigt meine mathematischen Fähigkeiten. Trotzdem danke Wink
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