Dichte angewandt auf Zufallsvektor definiert Maß?

15.07.2015, 13:34

Sarah2015

Dichte angewandt auf Zufallsvektor definiert Maß?

Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich habe Probleme mit dem Verstehen eines Beweises.
Ich habe den Teil, den ich nicht verstehe als Bild hochgeladen, weil ich mich mit Latex noch nicht so gut auskenne.

Was ich nicht verstehe: Wieso definiert die Dichte angewandt auf den Zufallsvektor Y ein Maß?

Und: Warum gilt offensichtlich EQ[Y] = Integral...

Meine Ideen:
Meine Idee ist ebenfalls im Anhang zu sehen (Füller...).

Ich freue mich über jeden Tipp, da ich jetzt schon eine Woche darüber grübele...

Vielen Dank und Grüße,
Sarah

15.07.2015, 14:59

magic_hero

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Dichte angewandt auf Zufallsvektor definiert Maß?

Zitat:

Original von Sarah2015
Was ich nicht verstehe: Wieso definiert die Dichte angewandt auf den Zufallsvektor Y ein Maß?

Das haut natürlich im Allgemeinen so nicht unbedingt hin. Hier aber ist $\begin{eqnarray*} \nu \end{eqnarray*}$ ein Maß bezüglich $\begin{eqnarray*} \mathbb{P}_Y \end{eqnarray*}$ , also bezüglich der Verteilung von $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ . Hierfür gilt nach Definition $\begin{eqnarray*} \mathbb{P}_Y(E)=\mathbb{P}(Y^{-1}(E)) \end{eqnarray*}$ für alle Borelmengen $\begin{eqnarray*} E \subset \mathbb{R}^d \end{eqnarray*}$ . Nutze dies entsprechend aus, dann sollte es klar sein.

Zitat:

Original von Sarah2015
Und: Warum gilt offensichtlich EQ[Y] = Integral...
[...]
Meine Idee ist ebenfalls im Anhang zu sehen (Füller...).

Der Anfang sieht schon mal ganz gut aus, wenn du jeweils die $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ -Argumente weglässt, die schreibt man hier nicht hin (oder man müsste noch über den entsprechenden Raum integrieren). In der dritten Zeile musst du wieder den Hinweis von oben ausnutzen, du kannst nicht einfach $\begin{eqnarray*} \mathbb{P} \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} \mathbb{P}_Y \end{eqnarray*}$ ersetzen.

15.07.2015, 16:34

Sarah2015

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Dichte angewandt auf Zufallsvektor definiert Maß?
Danke für den Tipp! Freude

Ich hoffe, ihn richtig angewandt zu haben (s.Anhang...) .

Rechnerisch ist es jetzt also klar, nur die Idee dahinter ist mir nicht so ganz klar... Ich habe es so verstanden: v ist äquivalent zu PY, deshalb ist v Maß bzgl PY, es gibt also eine Dichte dv/dPY sodass v(A) = Intergral über A ( dv/dPY dPY ) (steht auch nochmal am Anfang vom Bild wie ich es meine).
Jetzt wird diese Dichte auf Y angewandt. Dann ergibt dies die Dichte eines Maßes Q, welches äquivalent zu P ist. - rechnerisch o.k. aber die Logik dahinter verstehe ich nicht so ganz unglücklich

Bei dem Erwartungswert bin ich mir auch nicht sicher und zwar bei den letzten beiden Schritten. Mein größtes Problem ist wohl, dass ich nicht weiß, was v(dy) bedeuten soll. Verstehe das Integral so wie es im Beweis steht nicht.

Kannst du mir hier nochmal helfen magic_hero?

16.07.2015, 11:28

magic_hero

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Dichte angewandt auf Zufallsvektor definiert Maß?

Zitat:

Original von Sarah2015
rechnerisch o.k. aber die Logik dahinter verstehe ich nicht so ganz unglücklich

Deine Rechnung schaut soweit okay aus; um das formal ganz sauber aufzuschreiben, sollte man sich vielleicht noch mal Gedanken machen, da tue ich mich bei so maßtheoretischen Dingen auch öfters mal schwer. Jedenfalls ist die "Logik dahinter" bzw. die Frage, die man sich stellt: Wenn man ein Maß $\begin{eqnarray*} \nu \end{eqnarray*}$ bzgl. der Verteilung $\begin{eqnarray*} \mathbb{P}_Y \end{eqnarray*}$ hat, wie bekommt man daraus ein Maß bzgl. $\begin{eqnarray*} \mathbb{P} \end{eqnarray*}$ ? Und das funktioniert eben aufgrund der Definition von $\begin{eqnarray*} \mathbb{P}_Y \end{eqnarray*}$ so, wie es in dem Beweis gemacht wird.

Zitat:

Original von Sarah2015
Bei dem Erwartungswert bin ich mir auch nicht sicher und zwar bei den letzten beiden Schritten. Mein größtes Problem ist wohl, dass ich nicht weiß, was v(dy) bedeuten soll. Verstehe das Integral so wie es im Beweis steht nicht.

Erst mal eine kleine Anmerkung: Ob man unter dem Integral Y oder y schreibt, spielt keine Rolle; es ist in dem Sinne nicht die Zufallsvariable, über die man integriert; daher schreibt man das für gewöhnlich immer klein.

Dann zu deinem Problem: Dir ist nicht klar, warum $\begin{eqnarray*} \nu(dy)=d\nu(y) \end{eqnarray*}$ ? Das ist einfach nur eine andere Schreibweise.

16.07.2015, 16:13

Sarah2015

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Dichte angewandt auf Zufallsvektor definiert Maß?
Alles klar, danke!

Neue Frage »

Antworten »

Dichte angewandt auf Zufallsvektor definiert Maß?

Verwandte Themen