Eigenwerte und Eigenfunktionen einer Randwertaufgabe

15.07.2015, 17:39

Neuling2015

Eigenwerte und Eigenfunktionen einer Randwertaufgabe

Meine Frage:
Bestimmen Sie Eigenwerte und Eigenfunktionen der Randwertaufgabe

$\begin{eqnarray*} y^{''} +\lambda ^{2} y=0 \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} y(0)-y(1)=0 \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} y^{'}(0)-y^{'}(1)=0 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich habe die charakteristische Gleichung aufgestellt und gelöst:

$\begin{eqnarray*} r_{1} = i\lambda \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r_{2} = -i\lambda \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y(x)=A*cos(\lambda*x)+B*sin(\lambda *x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y'(x)=-A*\lambda*sin(\lambda*x)+B*\lambda*cos(\lambda *x) \end{eqnarray*}$

Setze ich die Anfangsbedingungen ein bekomme ich folgende Gleichungen:

1. $\begin{eqnarray*} A-A*cos(\lambda)-B*sin(\lambda )=0 \end{eqnarray*}$

2. $\begin{eqnarray*} B*\lambda +A*\lambda *sin(\lambda )-B*\lambda *cos(\lambda )=0 \end{eqnarray*}$

Ich weiß das $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ nicht null ist, aber wie kann ich jetzt weiter vorgehen?
Wie bekomme ich A und B?

15.07.2015, 19:30

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RE: Eigenwerte und Eigenfunktionen einer Randwertaufgabe
Du hast ein lineares Gleichungssystem für die Unbekannten $\begin{eqnarray*} A,B \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ ist dabei nur ein Parameter.

15.07.2015, 22:01

Neuling2015

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Danke, das habe ich mir gedacht. Aber ich schaffe es nicht so recht dies nach A und B aufzulösen...

15.07.2015, 22:13

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Bei der Formulierung weiß man nicht so recht, wie man helfen solldeterminante, inverse matrix

16.07.2015, 00:25

Neuling2015

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Zitat:

Original von URL
Bei der Formulierung weiß man nicht so recht, wie man helfen solldeterminante, inverse matrix

Ich meine damit, dass ich, egal wie ich die beiden Gleichungen umforme oder ineinander einsetze, nur die triviale Lösung A=B=0 heraus bekomme.
Das kann aber nicht die Lösung sein... verwirrt

16.07.2015, 11:31

Ehos

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@Neuling2015
-----------------------------------------------------------
Das Gleichungssystem für A, B hast du richtig berechnet. Ich stelle dieses Gleichungssystem mal in Matriuxform dar:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \cos(\lambda)-1 & \sin(\lambda) \\ -\lambda\sin(\lambda) & \lambda\cos(\lambda)-\lambda \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A \\ B \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dieses homogene Gleichungssystem besitzt nur dann eine nichttraivale Lösung A, B, wenn die Koeffizientendeterminante verschwindet. Das Verschwinden der Koeffizientendetermninante ist also die Forderung zur Bestimmung von $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} \cos(\lambda)-1 & \sin(\lambda) \\ -\lambda\sin(\lambda) & \lambda\cos(\lambda)-\lambda \end{vmatrix}=\lambda \cdot [\cos(\lambda)-1]^2+\lambda\cdot \sin^2(\lambda)=2\lambda\cdot [1-\cos(\lambda)]=0 \end{eqnarray*}$

Diese Forderung liefert formal unendlich viele Werte

$\begin{eqnarray*} \lambda_k =2\pi\cdot k \end{eqnarray*}$ mit k=ganze Zahl

Die allgemeine Lösung der Differenzialgleichung lautete

$\begin{eqnarray*} y=A\cdot \cos(\lambda x)+B\cdot \sin(\lambda x) \end{eqnarray*}$

Einsetzen der ebene berechneten Werte $\begin{eqnarray*} \lambda_k \end{eqnarray*}$ liefert unendlich viele Eigenfunktionen

$\begin{eqnarray*} y_k=A_k\cdot \cos(2\pi k x)+B_k\cdot \sin(2\pi k x) \end{eqnarray*}$

Die beiden Randbedingungen $\begin{eqnarray*} y_k(0)=y_k(1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y'_k(0)=y'_k(1) \end{eqnarray*}$ sind automatisch erfüllt - egal wie man die Koeffeizienten $\begin{eqnarray*} A_k, B_k \end{eqnarray*}$ wählt. Formal äußert sich diese Beliebigkeit von $\begin{eqnarray*} A_k, B_k \end{eqnarray*}$ darin, dass man beim Einsetzen der $\begin{eqnarray*} \lambda_k \end{eqnarray*}$ in das obige homogene Gleichungssystem unendlich viele Lösungen $\begin{eqnarray*} A_k, B_k \end{eqnarray*}$ erhält. Am Ende muss man die Eigenfunktionen noch auf 1 normieren, wenn dies gefordert ist.

Hinweis:
Mitunter ist es einfacher, die obige Eigenfunktion $\begin{eqnarray*} y_k=A\cdot \cos(2\pi k x)+B\cdot \sin(2\pi k x) \end{eqnarray*}$ auf die Gestalt $\begin{eqnarray*} y_k=C_k\cdot \sin(2\pi k x+\phi_k) \end{eqnarray*}$ zu bringen, wobei nun die Werten $\begin{eqnarray*} C_k \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \phi_k \end{eqnarray*}$ beliebig sind. Dies erleichtert insbesondere die Normierung.

16.07.2015, 11:36

Neuling2015

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Vielen Dank Freude

Ich bin gar nicht auf die Idee gekommen die Gleichungen in Matrixform umzuschreiben...

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