Fouriertransformation

15.07.2015, 20:15

Münze

Fouriertransformation

Hallo ich soll folgende Aufgabe lösen.
Wir definieren folgende Funktioenschar g_k auf ganz \mathbb R durch

$\begin{eqnarray*} g_k=\begin{cases} f_k(t), & \mbox{wenn }|t|<\pi \\ 0, & \mbox{wenn } |t|\geq \pi\end{cases} \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} f_k(t)=\begin{cases} k, & \mbox{wenn }|t|<\frac{1}{2k} \\ 0, & \mbox{wenn } |t|>\frac{1}{2k}\end{cases} \end{eqnarray*}$

a) Berechnen Sie die Fouriertransformation von $\begin{eqnarray*} g_k(t) \end{eqnarray*}$

b) Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{k\to\infty}g_k(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} e^{i\omega t}d\omega=\delta(t) \end{eqnarray*}$

zu a) Die Definition der Fouriertransformation ist: $\begin{eqnarray*} FT[g_k]=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}g_k e^{ipt}dt \end{eqnarray*}$

Nun ist mir ehrlich gesagt schleierhaft wie man genau von dieser stückweise definierten Funktion die FT berechnet. Kann mir dabei jemand helfen?

b) Hier das selbe Problem, wie bestimmt man denn den Grenzwert einer stückweise definierten Funktion?

16.07.2015, 13:27

Ehos

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Die Funktion $\begin{eqnarray*} g_k \end{eqnarray*}$ ist ein einziger Rechteckimpuls, dessen Intervall-Breite $\begin{eqnarray*} t\in [-\tfrac{1}{2k};+\tfrac{1}{2k}] \end{eqnarray*}$ proportional zum Index k abnimmt und dessen Höhe k proportional zu k zunimmt. Du musst also bei der Berechnung des Fourrierintegrals anstelle der Integrationsgrenzen $\begin{eqnarray*} [-\infty;+\infty] \end{eqnarray*}$ die Grenzen $\begin{eqnarray*} [-\tfrac{1}{2k};+\tfrac{1}{2k}] \end{eqnarray*}$ nehmen und im Integranden die Funtion $\begin{eqnarray*} g_k=k \end{eqnarray*}$ einsetzen.

$\begin{eqnarray*} F\{g_k\}=\tfrac{1}{2\pi}\int_{-\frac{1}{2k}}^{+\frac{1}{2k}}k\cdot e^{ipt}\,\,dt \end{eqnarray*}$

16.07.2015, 16:07

Münze

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RE: Fouriertransformation
Hallo Ehos dann lautet die Fouriertransformierte $\begin{eqnarray*} FT[g_k]=\frac{k}{2\pi ip}[e^{1/2k}-e^{-1/2k}] \end{eqnarray*}$

b) Hast du auch einen Tipp wie ich gezeigt bekomme das die Fouriertransformierte einer Konstanten die Delta Funktion ist?
$\begin{eqnarray*} \lim_{k\to\infty}g_k(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} e^{i\omega t}d\omega=\delta(t) \end{eqnarray*}$
einfach zu integrieren führt ja nicht zum Ziel. Dann steht dort:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2\pi}\frac{1}{i\omega}e^{i\omega t}=\delta(t) \end{eqnarray*}$

Danke dir Wink

16.07.2015, 21:26

Jayk

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Eine Physikeraufgabenstellung, oder?
Gewollt ist wahrscheinlich, daß Du das Integral

$\begin{eqnarray*} \int (\mathcal F \delta)(k)\,\varphi(k)\,dk \end{eqnarray*}$

als Doppelintegral schreibst und dann ein bißchen vertauschst, so daß die Delta-Funktion mit der Fouriertransformierten von phi auftaucht (das muß dann eben ausgewertet werden). Wären delta und phi Schwartz-Funktionen, wäre das auch alles gerechtfertigt. So ist das natürlich alles andere als rigoros, aber genau auf diese Weise definiert man üblicherweise, was die Fouriertransformierte einer temperierten Distribution sein soll:

$\begin{eqnarray*} (\mathcal F \delta)[\varphi] := \delta [\mathcal F \varphi ] \end{eqnarray*}$ .
( $\begin{eqnarray*} T[\varphi ] \end{eqnarray*}$ kann formal als $\begin{eqnarray*} \int dx\,T(x)\,\varphi (x) \end{eqnarray*}$ gelesen werden)

16.07.2015, 21:58

Münze

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Ja das ist eine Aufgabe aus der theoretischen Physik. Wie immer ziemlich schwammig so das man garnicht weiß was man zu tun hat. Big Laugh

Wie soll man das denn als Doppelintegral schreiben? Ich integriere über den kompletten Raum Soll ich mir das Integral $\begin{eqnarray*} I=\int_{-\infty}^{\infty}e^{i\omega t}d\omega \end{eqnarray*}$ definieren und dann $\begin{eqnarray*} I^2 \end{eqnarray*}$ betrachten und nach Polarkoordinaten transformieren? Dann hätte ich zumindest ein Doppelintegral ...

16.07.2015, 22:42

Guppi12

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Hallo,

ich kenne mich nicht so gut damit aus, wie Physiker mit Distributionen arbeiten, versuche dir aber mal bis Jayk wieder da ist, aus der Mathematikerperspektive zu antworten. (Jayk kann dir sicher viel besser helfen, weil er die Physikersichtweise gut kennt.) Vielleicht hilft das aber ja auch schonmal.

Temperierte Distributionen sind durch ihre Wirkung auf Schwartz-Funktionen bereits bestimmt (Mathematiker definieren sie so, dass das klar ist, ich weiß nicht, wie es in der Physik gemacht wird, diese Tatsache sollte aber bekannt sein.)

Willst du nun für eine Konstante $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ wissen, was $\begin{eqnarray*} \mathcal F(c) \end{eqnarray*}$ ist, musst du dir anschauen, wie $\begin{eqnarray*} \mathcal F(c) \end{eqnarray*}$ auf beliebiges $\begin{eqnarray*} \varphi\in\mathcal S(\mathbb R) \end{eqnarray*}$ wirkt. (Ich kenne dafür die Schreibweise $\begin{eqnarray*} \langle \mathcal F(c), \varphi\rangle \end{eqnarray*}$ , dem Post von Jayk entnehme ich aber, dass ihr dafür $\begin{eqnarray*} \int dx\,\mathcal F(c)(x)\,\varphi (x) \end{eqnarray*}$ schreibt? Dann will ich das auch mal tun). Das ist per Definition das gleiche wie $\begin{eqnarray*} \int dx~ c\mathcal F(\varphi)(x)= c\int dx~ \mathcal F(\varphi)(x) \end{eqnarray*}$ .

Siehst du hier, wie es weitergeht? Stichwort Fourierumkehrformel.

17.07.2015, 00:44

Jayk

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In der Physik ist es einfach so üblich, die Distributionen nicht als (stetige) Abbildung $\begin{eqnarray*} T: \mathcal S \to \mathbb C \end{eqnarray*}$ des Testfunktionenraums in die komplexen Zahlen aufzufassen, sondern als Integralkern $\begin{eqnarray*} T(x) \end{eqnarray*}$ , also statt $\begin{eqnarray*} \delta [\varphi ] \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \langle \delta , \varphi \rangle \end{eqnarray*}$ schreibt man $\begin{eqnarray*} \int dx\,\delta (x) \varphi (x) \end{eqnarray*}$ . Als rein formale Schreibweise gibt es das ja auch in einigen mathematischen Veröffentlichungen, nur daß sie halt in der Physik manchmal ein bißchen wörtlicher genommen wird (wobei ich glaube, daß viele Theoretiker wissen, wie es wirklich geht, wenn auch nicht alle).

Was ich mit dem Doppelintegral meinte, war eigentlich folgendes:

$\begin{eqnarray*} \int dk\,\mathcal F \delta (k)\,\varphi(k) = \int dk\,\left( \int dx\,\delta(x)\,e^{-ikx} \right)\,\varphi (k) \end{eqnarray*}$

Hier kann man $\begin{eqnarray*} \int dx\,\delta (x)\,f(x) = f (0) \end{eqnarray*}$ nutzen.
Das ist aber wahrscheinlich zu kompliziert gedacht, weil ich die Theorie kenne und mir überlegt habe, wie man das in Physikersprache übersetzt (also nicht ganz authentisch). Wahrscheinlich wird auch $\begin{eqnarray*} \mathcal F \delta (k) = \int dx\,e^{-ikx} \delta(x) = e^{i k \cdot 0} = 1 \end{eqnarray*}$ akzeptiert.
Das Vorgehen kann aber verwendet werden, um die Fouriertransformierte einer allgemeinen Distribution zu berechnen, und dann muß man wirklich mit einer Testfunktion phi paaren.

Entschuldigung, daß ich mich hier eingemischt habe und auch noch die fertige Lösung poste. Ich fand es aber im konkreten Fall angemessen, weil hier wirklich zwei unterschiedliche Vorstellungen aufeinander prallen.

Wenn man in Physik so eine Aufgabe bekommt, muß man immer ein bißchen pragmatisch sein, welche Mittel man anwendet. Typischerweise bekommt man nicht gesagt, was eine Distribution ist, und dementsprechend auch nicht, wie ihre Fouriertransformierte definiert ist. Man hantiert "einfach so" damit.

Noch eine Bemerkung: Die hier zu beweisende Aussage sieht man sehr häufig in der Form

$\begin{eqnarray*} \delta (x) = \frac 1 {2 \pi} \int dk\,e^{ikx} \end{eqnarray*}$ .

@Münze: Wenn Du ein bißchen mehr über Distributionentheorie lernen möchtest, empfehle ich, mal einen Blick in den zweiten Band (Quantenmechanik) der Scheck-Reihe zu werfen. Da gibt es einen Anhang über temperierte Distributionen, wo auf wenigen Seiten das wichtigste gesagt wird.

@Guppi: Wie gesagt, würde ich nicht davon ausgehen, daß in der Vorlesung jemals definiert worden ist, wie die Fouriertransformierte einer Distribution definiert ist. Es muß also mehr darum gehen, die Motivation nachzuvollziehen, warum die Definition so und nicht anders ist.

17.07.2015, 10:31

Münze

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Hallo ich habe direkt mehrere Fragen:

$\begin{eqnarray*} \int dk\,\mathcal F \delta (k)\,\varphi(k) = \int dk\,\left( \int dx\,\delta(x)\,e^{-ikx} \right)\,\varphi (k) \end{eqnarray*}$

Wie kommst du darauf und warum darf man das machen?

Jetzt berechnet du das Integral $\begin{eqnarray*} \int dx\,\delta(x)\,e^{-ikx} \end{eqnarray*}$ mithilfe der Definition der Delta Funktion und man erhält $\begin{eqnarray*} e^{-ik0}=1 \end{eqnarray*}$

Dann bleibt das Integral $\begin{eqnarray*} \int dk 1\varphi(k) \end{eqnarray*}$ übrig.Was ist nun $\begin{eqnarray*} \varphi(k) \end{eqnarray*}$ und wo kommt das her? verwirrt

und warum ist es damit schon gezeigt?
Ehrlich gesagt sehe ich das nicht...

Grüße und Danke Wink

17.07.2015, 17:50

Jayk

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Erstmal zu "warum darf man es machen": Man darf es eigentlich nicht machen, weil $\begin{eqnarray*} \delta (x) \end{eqnarray*}$ keine Funktion, sondern eine Distribution ist (und die Fouriertransformierte einer Distribution ist auch nicht als Integral definiert).

Nehmen wir mal an, $\begin{eqnarray*} \delta (x) = \psi (x) \end{eqnarray*}$ wäre eine Funktion, die sich gutartig verhält (konkret meine ich eine Schwartzfunktion, also eine, die glatt ist und im Unendlichen schneller als jede Potenz abfällt), und phi wäre auch so eine Funktion. Dann wäre das, was ich gemacht habe, einfach Einsetzen der Definition der Fouriertransformierten

$\begin{eqnarray*} \mathcal F \psi (k) = \int dx\,e^{-i k x}\,\psi(x) \end{eqnarray*}$ .

Dann ist

$\begin{eqnarray*} \int dk\, \mathcal F \psi (k)\,\varphi (k) = \int dk\, \left( \int dx\,e^{-i k x}\,\psi(x) \right) \varphi(k) \end{eqnarray*}$

phi(k) ist aber im x-Integral nur eine Konstante und darf reingezogen werden:

$\begin{eqnarray*} = \iint dk\,dx\, e^{-i k x}\,\psi(x) \varphi(k) \end{eqnarray*}$ .

Doch

$\begin{eqnarray*} \iint dk\,dx\, \vert e^{-i k x}\,\psi(x) \varphi(k) \vert= \iint dk\,dx\,\vert \psi(x) \varphi(k) \vert = \| \varphi \|_{L^1} \| \psi \|_{L^1} < \infty \end{eqnarray*}$ ,
(Schwartzfunktionen sind immer integrabel)

somit ist der Satz von Fubini anwendbar und die Integrale dürfen vertauscht werden:

$\begin{eqnarray*} \int dk\, \mathcal F \psi (k)\,\varphi (k) = \iint dx\,dk\, e^{-i k x}\,\varphi(k) \psi(x) = \int dx\, \psi (x) \mathcal F \varphi (x) \end{eqnarray*}$ .
(die Benennung der Variablen x und k gefällt mir hier nicht wirklich, aber das ist egal)

Aus diesem Grund wird die Fouriertransformierte einer temperierten Distribution so definiert, daß sie bei Anwendung auf eine Testfunktion (=Schwartzfunktion) so wirkt wie die Distribution auf die Fouriertransformierte der Testfunktion, wie auch schon Guppi12 gesagt hat. Konkret ist es so (wenn's Dich nicht interessiert, kannst Du diese Zeile überspringen): Der Testfunktionenraum S kann mit einer Topologie versehen werden, die ihn zu einem lokalkonvexen Hausdorff-Raum macht. Konvergenz ist dann durch Folgenkonvergenz charakterisiert (in allgemeinen topologischen Räumen braucht man so genannte Netze). Die Fouriertransformation verwandelt dann eine Schwartzfunktion in eine Schwartzfunktion, ist also eine Abbildung S->S, und zwar eine stetige. Andererseits kann man jede Schwartzfunktion als Distribution (eine stetige Abbildung des Testfunktionenraums S nach C) auffassen und dann auch jede Distribution durch Schwartzfunktionen approximieren (im Falle der Delta-Distribution z.B. durch immer schmaler werdende Gaußpakete). Man möchte die Fouriertransformation dann zu einer stetigen Abbildung S'->S' erweitern und das zwingt eben bereits zu dieser Definition.
Die Fouriertransformierte der Delta-Distribution ist zunächst einmal eine Distribution. Um eine Distribution zu kennen, mußt Du wissen, wie sie auf Testfunktionen wirkt (wie Guppi12 bemerkt hat, ist das in der rigorosen Definition offensichtlich). Allerdings ist die Fouriertransformierte der Delta-Distribution sogar eine Funktion (sogar eine konstante), so daß man das Argument etwas abkürzen kann und die Einführung einer Testfunktion $\begin{eqnarray*} \varphi (x) \end{eqnarray*}$ überflüssig erscheint. Ich habe eben auch nicht sofort daran gedacht, daß man das hier weglassen kann (eigentlich kann man es nicht weglassen, aber für einen Physik-Übungszettel finde ich das okay).

Zitat:

Dann bleibt das Integral $\begin{eqnarray*} \int dk 1\varphi(k) \end{eqnarray*}$ übrig.Was ist nun $\begin{eqnarray*} \varphi(k) \end{eqnarray*}$ und wo kommt das her? und warum ist es damit schon gezeigt?

Ja, damit ist es gezeigt, und zwar per Definition. Distributionen sind dadurch definiert, wie sie auf Testfunktionen wirken: Wenn Du zeigen willst, daß $\begin{eqnarray*} T=S \end{eqnarray*}$ für zwei Distributionen T und S gilt, dann hast Du zu zeigen, daß für alle Testfunktionen $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ gilt

$\begin{eqnarray*} \int dx\,T(x)\,\varphi(x) = \int dx\,S(x)\,\varphi(x) \end{eqnarray*}$ .

Wie habt ihr denn in der Vorlesung Distributionen eingeführt? Bei uns wurden die, wie gesagt, gar nicht eingeführt sondern "einfach so" verwendet, aber vielleicht habt ihr ja doch so etwas wie eine Definition, dann könnte man damit arbeiten.

PS:
Es ist nun nicht jede Distribution eine Funktion und auch nicht "fast" eine Funktion wie die Delta-Distribution. Habt ihr mal besprochen, was die Ableitung der Delta-Distribution ist? Normalerweise bekommt man gesagt, daß die durch partielle Integration definiert ist, d.h.

$\begin{eqnarray*} \int dx\,\delta'(x)\,\varphi(x) = - \int dx\,\delta(x)\,\varphi '(x) = - \varphi' (0) \end{eqnarray*}$ .

Was soll man sich angesichts dessen unter $\begin{eqnarray*} \delta '(x) \end{eqnarray*}$ vorstellen? Wenn man eine Vorstellung erzwingen will, kann man sich zwei unendlich schmale und unendlich hohe Peaks bei x=0 vorstellen, die unendlich dicht beieinander liegen. Das nur als Beispiel, warum man Distributionen immer im Zusammenhang mit Testfunktionen betrachten muß.

17.07.2015, 20:55

Münze

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Hallo Jayk, ich weiß zwar nicht ob du Physik studierst oder Mathe (Ich denke Mathe da du von der Theorie Ahnung hast?) aber bei uns wurde die Delta Funktion nach dem Motto eingeführt es gibt die Definition das $\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\delta(x-a)dx=f(a) \end{eqnarray*}$
ist und noch ein paar Eigenschaften dazu besprochen. Als im allgemeinen nutzen wir die Funktion nur um konkret etwas zu berechnen (Beispiel Potentiale in der Elektrostatik oder Biot Savart Gesetz). Wirklich Ahnung habe ich von der Theorie nicht und deshalb bin ich auch ehrlich gesagt ziemlich überfordert mit deinen Definitionen und Bedinungen.
Ich nehme das nun einfach mal zur Kenntniss und werde mich darüber etwas weiter einlesen.

Danke Wink

17.07.2015, 22:40

Guppi12

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Hallo Jayk,

erstmal danke für deine Beiträge. Ich habe mir schon gedacht, dass du hier wesentlich besser helfen kannst. Magst du noch kurz erläutern, was du hiermit meinst, es würde mich interessieren.

Zitat:

Es ist nun nicht jede Distribution eine Funktion und auch nicht "fast" eine Funktion wie die Delta-Distribution.

Also worin unterscheidet sich hier die Delta-Distribution von anderen?
Schließlich liegen die glatten Funktionen moderaten Wachstums dicht in den temperierten Distributionen, wir finden also für jede temperierte Distribution eine Folge solcher Funktionen, die im Schwach-*-Sinne gegen die Distribution konvergiert. Möchtest du darauf hinaus, dass die Delta-Distribution Ordnung 0 hat?

18.07.2015, 13:16

Jayk

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Hey!

@Guppi12: Mir ging es nur darum, anschaulich zu zeigen, daß Distributionen etwas vielfältiger sein können als nur die Delta-Distribution. Ich hatte nicht direkt eine mathematische Klassifikation im Kopf, sondern einfach, daß man sich die Delta-Distribution noch halbwegs als Funktion vorstellen kann (und das in der Physik auch tut), wohingegen diese Vorstellung bei anderen Distributionen schwierig ist. Mir ist schon bewußt, daß man immer eine Folge von Testfunktionen finden kann, aber ich finde die Vorstellung von zwei Peaks an derselben Stelle schwieriger als die Vorstellung eines einzelnen Peaks.
Ich denke aber, daß der von Dir angesprochene Grad der Delta-Distribution dieser Vorstellung ganz nahe kommt. Außerdem ist die Delta-Distribution vom positiven Typ und kann daher mit einem Maß identifiziert werden. smile

@Münze: Ich studiere Physik.
Das $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ hier entspricht dem $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ in eurer Definition.
Letztlich ist es immer schwierig, so eine Aufgabe zu bearbeiten, wenn man nicht die richtigen Werkzeuge hat. Stell Dir vor, Du sollst ein Haus aus Zahnstochern bauen. Dann kannst Du auch beliebig detailiert arbeiten, aber es wird nie wie ein richtiges Haus aussehen. Ein "Beweis" zur Distributionentheorie, wo man die Distributionen wie Funktionen behandelt, wird auch nie 100% überzeugend sein.

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