Regressionsmodell

16.07.2015, 00:50	Dani90	Auf diesen Beitrag antworten »
Regressionsmodell Meine Frage: Gegeben ist das Regressionsmodell: $\begin{eqnarray} Y_{i} = \gamma + e_{i} \end{eqnarray}$ i=1,...,n a) Bestimme die Designmatrix X. b) Bestimme die orthogonale Projektion des Vektors v_{i} = (1,1,0,...,0)^T auf $\begin{eqnarray} L = \L (X) \subset \mathbb R_{n} \end{eqnarray}$ und die orthogonale Projektion des Vektorts v auf $\begin{eqnarray} \L ^\perp \subset \mathbb R_{n} \end{eqnarray}$ . c) Bestimme den Minimum-Quadrat-Schätzer $\begin{eqnarray} \gamma \wedge \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ . d) Entscheide und begründe, ob es einen für $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ erwartungstreuen linearen Schätzer $\begin{eqnarray} \gamma \wedge \end{eqnarray}$ gibt, so dass: Var( $\begin{eqnarray} \gamma \wedge) \end{eqnarray}$ < Var( $\begin{eqnarray} \gamma\vee \end{eqnarray}$ ), wobei $\begin{eqnarray} \gamma \wedge \end{eqnarray}$ der Minimum-Quadrat-Schäter für $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ ist. Meine Ideen: a) Designmatrix X= $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ ...\\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ b) jetzt wollte ich erstmal die Projektionsmatrix berechnen. Mit dieser Formel: $\begin{eqnarray} P_{L} = X (X^TX)^{-1} X^T \end{eqnarray}$ Kann es sein, dass man den Rest der Aufgabe gar nicht lösen kann, weil die Designmatrix keinen vollen Rang besitzt? Und dass auch $\begin{eqnarray} X^TX \end{eqnarray*}$ keine Inverse hat? Die beiden linearen Teilräume sind einmal der lineare Teilraum der durch die Spalten von X erzeugt wird und der andere Teilraum von orthogonalem Komplement. Bitte helft mir bei dieser Aufgabe, ich komme einfach nicht weiter. Danke schonmal.

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