Personen am Tisch

16.07.2015, 14:50

Kimyaci

Personen am Tisch

Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, 5 Personen

a) an einen rechteckigen Tisch

b) an einen runden Tisch

mit jeweils 5 Stühlen zu platzieren?

Ich weiß leider weder wie ich hier ansetzen soll noch unter welchen Fachbegriffen ich etwas dazu nachschlagen kann..

16.07.2015, 15:03

Mi_cha

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bei solchen Aufgaben überlegt man sich, ob mit/ohne Zurücklegen und mit/ohne Reihenfolge gezogen wird.
Nachzulesen bspw hier https://de.wikipedia.org/wiki/Abz%C3%A4hlende_Kombinatorik

im zweiten Schritt muss man sich dann klar machen, was der Unterschied zwischen einem rechteckigen und einem runden Tisch ist.

16.07.2015, 15:50

Kimyaci

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Danke schon mal!

Wenn ich das richtig verstehe, gibt es n = 5 unterscheidbare Objekte und k = 4 für den rechteckigen Tisch und k = 5 für den runden Tisch. Es handelt sich um Variationen (da Reihenfolge wichtig) ohne Wiederholungen, richtig?

Dann würde ich vermuten:

a) $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \cdot k! = \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \end{pmatrix} \cdot 4! = \frac{5!}{1!} = 120 \end{eqnarray*}$

Es gibt 120 verschiedene Möglichkeiten die Personen am rechteckigen Tisch anzuordnen.

b) $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \cdot k! = \frac{n!}{(n-k)!} = \frac{5!}{0!} = 120 \end{eqnarray*}$

Hm.. scheint mir nicht ganz logisch.

16.07.2015, 16:01

Mi_cha

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Zitat:

Es handelt sich um Variationen (da Reihenfolge wichtig) ohne Wiederholungen, richtig?

Das stimmt. Freude

Aber es gilt auch n=k=5, denn es gibt 5 Personen und 5 Stühle, sowohl für den runden als auch für den eckigen Tisch.

zu a) bei einem eckigen Tisch mit ungerader Bestuhlung gilt dann für die Anordnnugen

$\begin{eqnarray*} \frac{n!}{(n-k)!}=\frac{5!}{(5-5)!}=120 \end{eqnarray*}$ .

Das könnte man sich auch so überlegen: für die erste Person gibt es 5 freie Plätze, für die zweite Person noch 4 freie Plätze usw. Das ergibt $\begin{eqnarray*} 5 \cdot 4 \cdot ... \cdot 1=120 \end{eqnarray*}$ .

zu b) hier muss man ein wenig aufpassen, da einige Andordnungen durch Drehungen gleich sind. Folgt man der Alternativüberlgung, dann gilt:
bei der ersten Person ist es egal, wo sie sich hinsetzt - alle Plätze sind identisch (der Tisch ist ja rund). Für die zweite Person gibt es 4 Plätze, für die dritte Person 3 Plätze, ... Das macht insgesamt 4!=24 Anordnungen.

16.07.2015, 16:12

Kimyaci

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Wow, dankee!!

Zitat:

Folgt man der Alternativüberlgung, dann gilt:
bei der ersten Person ist es egal, wo sie sich hinsetzt - alle Plätze sind identisch (der Tisch ist ja rund). Für die zweite Person gibt es 4 Plätze, für die dritte Person 3 Plätze, ... Das macht insgesamt 4!=24 Anordnungen.

Den Gedankengang verstehe ich zwar, aber wie würde man das denn mathematisch konkret formulieren bzw. stellt das einen Spezialfall dar? Alleine wäre ich nicht drauf gekommen. verwirrt

16.07.2015, 16:18

Mi_cha

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wenn du das gerne mit einer Formel haben möchtest, sähe das etwa so aus.

Es gibt weiterhin 5! Anordnungen um den Tisch (vgl Teil a)). Jedoch gehen 5 Anordnungen aus Drehungen hervor. Demnach gilt:

$\begin{eqnarray*} | b| =\frac{5!}{5} =4!=24 \end{eqnarray*}$

16.07.2015, 16:27

Kimyaci

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Ach soo, danke hast mir seehr geholfen! Freude

16.07.2015, 16:28

Mi_cha

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Gerne

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