Unabhängig identischeverteilte Zufallsvariablen

16.07.2015, 19:55

Fakelove1

Unabhängig identischeverteilte Zufallsvariablen

Sind $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ unabhängig identischverteilte Zufallsvariablen, dann gilt ja $\begin{eqnarray*} E[XY]=E[X]E[Y]. \end{eqnarray*}$
Gilt dann auch $\begin{eqnarray*} E[X^{2}]=E[X]^{2} \end{eqnarray*}$ ?

16.07.2015, 22:27

Dopap

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probier das doch mal mit einem Spielwürfel:

$\begin{eqnarray*} E(X)=3.5 \rightarrow (E(X))^2=12.25<br /> E(X^2)=... \end{eqnarray*}$

16.07.2015, 22:49

fakelove11

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Ok, danke. Also nicht.

Gibt es aber eine bestimmte Regel, die das besagt?

16.07.2015, 23:24

Dopap

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die Allgemeinheit wird doch durch ein Gegenbeispiel widerlegt.
Demnach braucht man auch keine Regel, dass etwas nicht gilt.

Bei Wiki steht lediglich:

$\begin{eqnarray*} E(X_i X_j)=E(X_i)E(X_j) \end{eqnarray*}$ für i,j= 1...n und $\begin{eqnarray*} i\neq j \end{eqnarray*}$

17.07.2015, 12:32

HAL 9000

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Zitat:

Original von fakelove11
Gibt es aber eine bestimmte Regel, die das besagt?

Es ist ja $\begin{align*} \operatorname{var}[X] = E[X^2] - (E[X])^2 \end{align*}$ , und daher ist $\begin{align*} E[X^2] = (E[X])^2 \end{align*}$ äquivalent zu $\begin{align*} \operatorname{var}[X] = 0 \end{align*}$ . Und dies wiederum kann nur für (fast sicher) konstante Zufallsgrößen $\begin{align*} X \end{align*}$ eintreten. Mit "Unabhängigkeit" oder "identischer Verteiltheit" hat das also nichts zu tun.

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