Anfangswertprobleme - Satz von Peano - unerfüllte Voraussetzungen

17.07.2015, 12:17	Lara1993	Auf diesen Beitrag antworten »
Anfangswertprobleme - Satz von Peano - unerfüllte Voraussetzungen Meine Frage: Hallo, ich habe folgendes AWP gegeben: $\begin{eqnarray} <br /> y'=y^2<br /> y(0)=0<br /> \end{eqnarray}$ und soll kommentieren, wie die Tatsache, dass die Lösung bei t=0 einen Pol hat, mit dem Satz von Peano zusammenpasst. Meine Ideen: Der Satz von Peano setzt die Stetigkeit der rechten Seite auf einem beschränkten Gebiet voraus und garantiert eine Lösung, wenn der Anfangswert sich in diesem Gebiet befindet. Die rechte Seite ist $\begin{eqnarray} y^2 \end{eqnarray}$ und stetig auf ganz R und damit auch stetig auf einem beschränkten Gebiet, z.B. $\begin{eqnarray} D=[-1,1]\times[-1,1] \end{eqnarray}$ , das den Anfangswert enthält. Durch Trennung der Variablen erhält man aber die Lösung $\begin{eqnarray} y(t)=1/(1-t) \end{eqnarray}$ , die unstetig in t=1 ist und deren Quadrat (also die rechte Seite) ebenfalls unstetig in t=1 ist. Also wäre meiner Ansicht nach die Bedingungen des Satz von Peano deshalb nicht erfüllt, weil die rechte Seite letzten Endes unstetig in t=1 ist. Ich weiß aber nicht, wie man das der rechten Seite hätte ansehen können, ohne die Lösung zu kennen. Vielleicht bringe ich ja hier Definitionsbereiche durcheinander? Auch hab ich vielfach gelesen, dass die rechte Seite ja unbeschränkt sei und das ein Problem darstellt, aber das kann ich nicht nachvollziehen, weil es ja keine Voraussetzung des Satzes ist. Kann mir jemand helfen?
17.07.2015, 12:56	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Anfangswertprobleme - Satz von Peano - unerfüllte Voraussetzungen Kann es sein, dass es $\begin{eqnarray} y(0) = 1 \end{eqnarray}$ heissen sollte? Ansonsten stimmt deine Lösung nicht, und die eindeutige Lösung nach Picard-Lindelöf wäre konstant 0. Und der Satz von Peano garantiert eine lokale Lösung, nicht mehr.
17.07.2015, 14:11	Lara1993	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Anfangswertprobleme - Satz von Peano - unerfüllte Voraussetzungen Ohja, soll natürlich $\begin{eqnarray} y(0)=1 \end{eqnarray}$ heißen, da hab ich mich vertippt.
17.07.2015, 14:20	Lara1993	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Anfangswertprobleme - Satz von Peano - unerfüllte Voraussetzungen Aber die Lösung existiert ja lokal in t=1 nicht. Und sollte doch lokal in jedem Punkt existieren, oder? Unsere Aufgabe, diese Tatsache zu kommentieren, ist natürlich eine ziemlich vage Aufgabenstellung, also mache ich das gerade vielleicht nur komplizierter als es ist. Wie könnte man denn dieses Beispiel sinnvoll diskutieren im Zusammenhang von Existenz und Eindeutigkeit der Lösung?
17.07.2015, 14:26	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Anfangswertprobleme - Satz von Peano - unerfüllte Voraussetzungen Lokal heißt folgendes: In der Nähe vom Punkt, wo der Anfangswert vorgeschrieben wird (hier 0) existiert eine Lösung. D.h. es existiert eine (offene) Umgebung um die 0, s.d. es eine Lösung gibt. Und da es Umgebung um die 0 gibt, die nicht die 1 enthalten (z.B. $\begin{eqnarray} ( -\frac 1 4, \frac 1 2) \end{eqnarray}$ ) sehe ich keinen Widerspruch.

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