Parametrisierung von Kurven bestimmen

17.07.2015, 12:40	Sopranino	Auf diesen Beitrag antworten »
Parametrisierung von Kurven bestimmen Hallöchen ihr Lieben, ich lerne gerade für Differenzialgeometrie und habe eine Aufgabe, bei der ich die Krümmung mit Vorzeichen berechnen muss. (An sich kein Problem). Ich scheitere aber daran, die Kurven zu Parametrisieren. Habe die Lösung vor mir liegen und verstehe es noch nicht so ganz. (Da wurde nur die Parametrisierung angegeben, nicht aber erläutert, wie) $\begin{eqnarray} (1) y-ax^{2}=1, a \neq 0 \\<br /> (2) x^{2}-y^{2}=1, x > 0 \end{eqnarray}$ So, nun lautet die Parametrisierung bei 1: $\begin{eqnarray} \gamma(y)=(x,1+ax^{2}), x \in \mathbb{R} \end{eqnarray}$ Nach umstellen der Formel oben kam ich auf: $\begin{eqnarray} y=1+ax^2 \end{eqnarray}$ So kommen die einzelnen Koordinaten zustande. Aber warum setze ich y=x? Oder verstehe ich das nicht? Wie gehe ich allgemein vor? Habe mir die Lösung zu 2 noch nicht angesehen, würde aber tippen, dass es in die Richtung geht wie: $\begin{eqnarray} y^2=x^2-1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y=\sqrt{x^2-1} \end{eqnarray}$ Und somit die Parametrisierung: $\begin{eqnarray} \gamma(y)=(x,\sqrt{x^2-1}) \end{eqnarray}$ Stimmt das?
17.07.2015, 12:45	Sopranino	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry, natürlich müssen die beiden Parametrisierungen lauten: $\begin{eqnarray} \gamma (x)=(x, 1+ax) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \gamma(x)=(x,\sqrt{x^2-1}) \end{eqnarray}$ Sosnt bekomme ich bei der Krümmung Probleme.
17.07.2015, 17:29	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
y und x sind wohl Koordinaten im x-y-System. Eine Parametrisierung, die wiederum x enthält schmeckt mir nicht so richtig. Und warum $\begin{eqnarray} \gamma(y) \end{eqnarray}$ ? wenn z.B. die Kurve k wiefolgt definiert ist: $\begin{eqnarray} k: y(x):=2x^2-3 \end{eqnarray}$ , dann würde ich schreiben: $\begin{eqnarray} \gamma(k)= (t,2t^2-3) \end{eqnarray}$ oder bin da auf dem Holzweg
18.07.2015, 12:03	Sopranino	Auf diesen Beitrag antworten »
Das verwirrt mich ja eben auch... Wie gesagt, das erste ist die uns vorgegeben Lösung, und bei der Lösung vom zweiten wurde das genauso gemacht, wie ich das versucht habe, nur nach x umgestellt, so dass ich $\begin{eqnarray} \gamma(x) \end{eqnarray}$ da stehen hatte. So blieb es unter der Wurzel immer positiv... Keine Ahnung...
18.07.2015, 14:22	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
gut, dann steht beim Gamma eben der Parameter damit das eindeutig klar ist. bei deinem $\begin{eqnarray} \gamma(\tau)=(\tau,\sqrt{\tau^2-1} \end{eqnarray}$ fehlt noch der Definitionsbereich: $\begin{eqnarray} \|\tau\| \geq 1 \end{eqnarray}$

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