DGL klassifirieren und in impiziter Form angeben

17.07.2015, 14:44

JonDoe

DGL klassifirieren und in impiziter Form angeben

Halloa Leute, ich muss euch um einen Gefallen bitten. Ich sitze schon lange an dierser Aufgabe und komm einfach nicht auf den richtigen Dampfer.
Klassifzieren Sie die folgende Differentialgleichung, zeigen Sie, dass sie exakt ist,
und bestimmen Sie ihre allgemeine Lösung in impliziter Form:

[x*y'(x) + y(x)]e^xy

17.07.2015, 15:54

Mathema

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Sollte eine Differentialgleichung nicht auch irgendwie ein Gleichheitszeichen beinhalten, oder irre ich mich? verwirrt

17.07.2015, 20:25

JonDoe

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Nun ich habe die 0 vergessen...

[x*y'(x) + y(x)]e^xy = 0

ich muss im Prinzip wie immer Variablentrennung machen... auch wenn ich absolut keine Ahnung habe was diese eckigen Klammer darstellen sollen unglücklich

:

[x*dy(x)/dx + y(x)] e^x * e^y

17.07.2015, 20:44

Mathema

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Dann verstehe ich nicht, wieso man eine implizite Lösung angeben soll.

Wenn deine Gleichung [x*y'(x) + y(x)]e^xy = 0 lautet, brauchst du nach dem Satz vom Nullprodukt nur die Gleichung

$\begin{eqnarray*} xy'+y=0 \end{eqnarray*}$

zu betrachten. Diese Gleichung kann mit Trennung der Variablen sehr einfach gelöst werden und besitzt die Lösung:

$\begin{eqnarray*} y(x)=\frac{c}{x} \end{eqnarray*}$

Das wäre ja aber eine explizite Lösung. verwirrt

18.07.2015, 16:12

JonDoe

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ok ich hab 10 mal geguckt ob ich was falsch abgeschrieben habe, aber nein es ist halt.
"Klassifzieren Sie die folgende Differentialgleichung, zeigen Sie, dass sie exakt ist,
und bestimmen Sie ihre allgemeine Lösung in impliziter Form."

18.07.2015, 16:54

Huggy

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Bei der Aufgabe sollst du etwas über die Lösung exakter DGLs lernen. Nun hat dir Mathema gezeigt, dass man viel einfacher zu der Lösung kommen kann. Wenn du dem folgst, hast du zwar die Lösung, aber das Übungsziel verfehlt.

Ihr habt sicher definiert, wann eine DGL exakt heißt. Prüfe das einfach mal nach. Und wenn man die "Stammfunktion" der exakten DGL hat, kann man ihre Lösung sofort in impliziter Form angeben. Mach das. Dann siehst du auch schnell, dass dise Lösung sich in die von Mathema angegebene Lösung transformieren lässt.

18.07.2015, 17:13

Mathema

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Alles klar - das macht Sinn. Gefragt ist hier also nach $\begin{eqnarray*} F(x;y) \end{eqnarray*}$ . Danke Huggy und sorry für die Vorwegnahme der Lösung.

Wink

18.07.2015, 17:50

magic_hero

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Eine kleine Anmerkung; weiter oben hattest du mal umgeformt:

Zitat:

Original von JonDoe
[x*y'(x) + y(x)]e^xy = [...] = [x*dy(x)/dx + y(x)] e^x * e^y

So kann man die e-Funktion aber nicht "auseinanderziehen", denn es ist $\begin{eqnarray*} e^{x} \cdot e^{y} = e^{x+y} \neq e^{xy} \end{eqnarray*}$ .

20.07.2015, 04:16

JonDoe

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Das habe ich jetzt nicht wirklich verstanden, wie ich das rechnen soll. unglücklich

Wwas mache ich denn jetzt mit dem e^xy ? mit ln wegkürzen? Aber dann hab ic hSchwierigkeiten die Stammfunktion zu bestimmen...

20.07.2015, 08:44

Huggy

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Wenn du die DGL als exakte DGL behandeln willst, multipliziere die Klammer erst mal aus. Die DGL lautet dann:

$\begin{eqnarray*} xe^{xy}y'+ye^{xy}=0 \end{eqnarray*}$

Sie hat jetzt die Form

$\begin{eqnarray*} a(x,y)y'+b(x,y)=0 \end{eqnarray*}$

Für eine DGL dieser Form ist definiert, wann sie exakt ist. Prüfe nach, ob sie exakt ist. Falls ja, schreibe mit der "Stammfunktion" des Funktionspaares $\begin{eqnarray*} a(x,y) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b(x,y) \end{eqnarray*}$ die Lösung der DGL hin.

Anmerkung: Die DGL bleibt übrigens exakt, wenn man sie auf die DGL

$\begin{eqnarray*} xy'+y=0 \end{eqnarray*}$

zurückführt, wie von Mathema gemacht. Es geht also noch nicht um die Thematik des integriernden Faktors.

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