Schwere Integration

17.07.2015, 15:23

Tonido

Schwere Integration

Meine Frage:
3. Wie kann man folgende Gleichung k'(s)/[k(s)+c*exp(-s)] = 1 integrieren, also k(s) bestimmen? Falls einer in der Lage ist das zu lösen vielen vielen Dank.

Meine Ideen:
Mein Ansatz ist das oben die Ableitung von unten steht, ich ln(k(s)+c*exp(-s)) = s+d, d beliebige Zahl, dann e-Fkt also k(s) = d*exp(-s) - c*exp(-s), was aber leider falsch ist.

17.07.2015, 16:51

Mathema

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RE: Schwere Integration
Ich würde es mal mit Variation der Konstanten probieren.

Wink

17.07.2015, 18:14

Tonido

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RE: Schwere Integration
Ok, dann bekomme ich dk/ds = k + c*exp(-s), daraus dk = (k+c*exp(-s))ds, aber dk = ks - c*exp(-s)+d stimmt doch nicht weil ich ja k eigtl. über k integrieren muss oder? Danke schonmal

17.07.2015, 18:19

Mathema

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Kennst du das Verfahren Variation der Konstanten? Mir scheint nicht so.

17.07.2015, 18:32

Tonido

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Auf jeden Fall hatt ich das schon, ist doch wenn man k(s)=.. , aber was wäre das in diesem Fall? Wenn du mir es anhand von dem Beispiel ein bisschen erläutern kannst weiss ich es sicher wieder.. Danke

17.07.2015, 18:40

Mathema

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Nun gut:

Ich schreibe mal y(x) anstatt von k(s), ist mir irgendwie geläufiger. Einverstanden?

Deine DGL lautet dann:

$\begin{eqnarray*} y'=y+ce^{-x} \end{eqnarray*}$

Nun berechnen wir uns eine homogene Lösung, indem wir den x-Term (unsere Störfunktion) erstmal nicht beachten. Wir lösen also die Gleichung:

$\begin{eqnarray*} y'=y \end{eqnarray*}$

Kannst du das einmal machen?

PS: Eine Bitte noch: Benutze doch bitte den Formeleditor und schreibe mit Latex. Das ist für mich wesentlich einfacher zu lesen.

17.07.2015, 18:59

Tonido

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$\begin{eqnarray*} k'(s)=k(s) \end{eqnarray*}$ daraus folgt $\begin{eqnarray*} (1/k)dk=1ds \end{eqnarray*}$ daraus folgt $\begin{eqnarray*} k(s)=exp(s)*c \end{eqnarray*}$ das ganz in die inhomogene DGL einsetzten und c zu c(s), also zuerst $\begin{eqnarray*} k'(s) = exp(s)*c(s)+exp(s)*c'(s) \end{eqnarray*}$ un daraus folgt mit $\begin{eqnarray*} k'(s) = k(s) + d*exp(-s) \end{eqnarray*}$ . Ist d hier richtig oder c(s)? und dann alles einsetzen, stimmt das so?

17.07.2015, 19:14

Tonido

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ok habs, vielen Dank!

17.07.2015, 19:14

Mathema

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Also doch mit k(s) - ok.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} k(s)=exp(s)*c \end{eqnarray*}$

Die Variable c ist ja durch deine Gleichung schon belegt. Hier solltest du eher eine andere Integrationskonstante wählen, z.B. z.

Wir erhalten also die homogene Lösung $\begin{eqnarray*} y_h=ze^s \end{eqnarray*}$

Zitat:

$\begin{eqnarray*} k'(s) = exp(s)*c(s)+exp(s)*c'(s) \end{eqnarray*}$

Das stimmt - ich nenne c nun wieder z.

Es ergibt sich also eingesetzt folgende Gleichung:

$\begin{eqnarray*} z'e^s+ze^s=ze^s+ce^{-s} \end{eqnarray*}$

So - daraus nun deine partikuläre Lösung berechnen.

edit: Ok - alles klar, gerne.

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