Vektorfeld R2 Potential nachweisen und berechnen

17.07.2015, 16:09

Seppelkoi

Vektorfeld R2 Potential nachweisen und berechnen

Meine Frage:
Hallo Leute,

Ich habe bisher nur Anleitungen für Vektorfelder im R3 gefunden und stehe vollkommen auf dem Schlauch, da ich zum ersten Mal solch eine Aufgabe rechnen muss (ich bin eine totale Niete in Mathe, ich schreibe aber erst in 2 Monaten die Klausur, also ist für genug zeit gesorgt Augenzwinkern

)

Mein Prof fragt mich folgendes:

Gegeben ist das Vektorfeld R2:

f (x,y) =

6xy + cos(x)
3x^2 +1

Da soll ich erstens nachweisen, dass es überhaupt ein Potential gibt (das Potential ist die Stammfunktion des Vektorfeldes oder?) und dann dieses auch noch angeben.

Meine Ideen:
Ich habe leider keinen blassen Schimmer, wie ich da ran gehen soll, deswegen wäre ein langsames Heranführen an die Aufgabe cool.

Ich habe gelesen, dass die Rotation für beide Elemente des Vektorfeldes = 0 sein muss, hierfür muss ich beide Elemente (ich meine damit F1 und F2) ableiten und die Differenz bilden. Wenn da 0 rauskommt, weiß ich dann schon, dass das Vektorfeld ein Potential besitzt?

Das wäre erstmal meine Idee für den Nachweis. Die Berechnung lasse ich erstmal außen vor und frage dann nochmal Big Laugh

Danke für eure Hilfe.

17.07.2015, 16:22

Seppelkoi

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Also ich hab jetzt einfach mal drauf los gerechnet, beide Elemente differenziert (jeweils f1 nach y und f2 nach x) und siehe da:

6x - 6x = 0 ! Big Laugh

*grins*

Also hat das Vektorfeld ein Potetial richtig?

17.07.2015, 23:14

Seppelkoi

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Kann mir niemand helfen?

18.07.2015, 09:49

Huggy

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Wenn das Vektorfeld ein Potential hat, kannst du das Potential durch Integration finden. Das Vektorfeld sei $\begin{eqnarray*} f(x,y)=(f_x(x,y), f_y(x,y)) \end{eqnarray*}$ und das Potential sei $\begin{eqnarray*} F(x,y) \end{eqnarray*}$ . Dann muss gelten:

$\begin{eqnarray*} F(x,y)=\int f_x(x,y)dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F(x,y)=\int f_y(x,y)dy \end{eqnarray*}$

Beide unbestimmte Integrale enthalten eine Integrationskonstante. Konstant ist diese aber nur bezüglich der Variablen, über die integriert wurde. Sie kann noch von der anderen Variablen abhängen. Nenne also die Konstante des ersten Integrals $\begin{eqnarray*} c(y) \end{eqnarray*}$ und die des zweiten Integrals $\begin{eqnarray*} d(x) \end{eqnarray*}$ . Jetzt vergleiche die beiden Ergebnisse für $\begin{eqnarray*} F(x,y) \end{eqnarray*}$ . Dann siehst du, was du für $\begin{eqnarray*} c(y) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} d(x) \end{eqnarray*}$ einsetzen musst, damit die beiden Ergebnisse übereinstimmen.

18.07.2015, 10:32

Seppelkoi

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Also ich hab das jetzt mal so nach deiner Anleitung probiert und habe folgendes raus:

Wenn ich beides so integriere wie von dir beschrieben, kommt bei Fx raus

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{} \! Fx(x,y) \, dx = 3x^2+sin(x)+c(y) \end{eqnarray*}$

und bei Fy:

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{} \! Fy(x,y) \, dy = (3x^2+1)*y+d(x) \end{eqnarray*}$

Ich muss also für c(y) = y und für d(y) = sin(x) setzen.

Was ist nun das Potential? Die beiden Werte für c(x) und d(y), oder die kompletten Terme?
Und ich muss ehrlich sein, für das Integral nach y habe ich einen Rechner benutzt, weil ich sonst nicht auf die Lösung gekommen wäre. Warum multipliziert man beim Integrieren "wenn die Variable fehlt" denn den gesamten Term einfach mit y in meinem Fall?

Vielen Dank, ich glaube ich bin auf dem richtigen Weg

18.07.2015, 10:47

Seppelkoi

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Ups...
Bei dem ersten Integral komm natürilich

3x^2y raus

18.07.2015, 11:01

Huggy

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Zitat:

Original von Seppelkoi
Ich muss also für c(y) = y und für d(y) = sin(x) setzen.

Richtig. Wobei man zu beidem noch eine "konstante" Konstante e addieren kann. Vermeide aber bitte den Ausdruck konstante Konstante in der seriösen Mathematikwelt. Das ist meine private Terminologie, weil ja Mathematik auch mal lustig sein soll.

Zitat:

Was ist nun das Potential? Die beiden Werte für c(x) und d(y), oder die kompletten Terme?

Natürlich die kompletten Terme, da ja dann beide Integrale übereinstimmen. Also

$\begin{eqnarray*} F(x,y)=3x^2y + \sin x +y +c \end{eqnarray*}$

Du kannst jetzt prüfen, dass die partiellen Ableitungen von $\begin{eqnarray*} F(x,y) \end{eqnarray*}$ nach x und y das gegebene Vektorfeld $\begin{eqnarray*} f(x,y) \end{eqnarray*}$ reproduzieren. Wenn du meinen Bezeichnungen folgst sollte im inneren der Integrale ein kleines f stehen statt F.

Zitat:

Und ich muss ehrlich sein, für das Integral nach y habe ich einen Rechner benutzt, weil ich sonst nicht auf die Lösung gekommen wäre. Warum multipliziert man beim Integrieren "wenn die Variable fehlt" denn den gesamten Term einfach mit y in meinem Fall?

Weil bei der Integration über y ja x als Konstante zu betrachten ist. Dann ist auch $\begin{eqnarray*} 3x^2+1 \end{eqnarray*}$ eine Konstante und es ist so, als ob man eine Konstante $\begin{eqnarray*} a=3x^2+1 \end{eqnarray*}$ über y integriert und das ergibt $\begin{eqnarray*} ay \end{eqnarray*}$ .

19.07.2015, 19:05

Seppelkoi

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Vielen Dank Huggy,

du hast mir echt geholfen!

Liebe Grüße Tanzen

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