Partielle DGL mittels Separationsansatz

17.07.2015, 17:50

Tonido

Partielle DGL mittels Separationsansatz

Meine Frage:
Die partielle DGL: x^2*(d^2u(x,y)/(dx^2)) = ((du(x,y))/(dy)) - x*(du(x,y)/(dx)) , x,y>0 ist gegeben und soll mittels Separationsansatz gelöst werden.
Ges: Alle Lsg der Form u(x,y) = v(x)*w(y) , x,y>0.

Meine Ideen:
Der Separationsansatz führt auf (x^2*v''(x) + x*v'(x))/v(x) = w'(y)/w(y) = k^2. jetzt bekomm ich
x^2*v''(x)+v'(x)-k^2*v(x)=0. Jetzt steht allerdings in der Lsg. dass man den Ansatz v(x)= x^lambda verwendet und somit auf das charakteristische Polynom lambda^2-k^2=0 kommt. Woher weiss man dass v(x)=x^lambda und was bringt mir das charakteristische Polynom? Weiter würde ich gerne verstehen wie man auf folgende allgemeine Lösungen für v(x) kommt. Es gibt nämlich eine Lsg für k=0:
es folgt x^2*v''(x) + v'(x) = 0 also v''(x)/v'(x) = -1/x^2. ab hier nicht mehr sicher:
ln(v'(x))= 1/x +c also v'(x) = exp(1/x)*c und daraus v(x) =? Lsg ist v(x)=c1+c2*ln(x) wobei ich nicht weiss wie. , bei der Lösung für k ungleich 0:ist die Lsg v(x) = c1*x^k + c2*x^-k, was ich nicht verstehe. Die Lösungen für w(y) sind klar. Wenn jemand das erklären kann bin ich sehr dankbar. Mit freundlichen Grüßen

18.07.2015, 09:41

Tonido

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RE: Partielle DGL mittels Separationsansatz
Meine Frage:
Die partielle DGL: $\begin{eqnarray*} x^2*(d^2u(x,y)/(dx^2)) = ((du(x,y))/(dy)) - x*(du(x,y)/(dx)) , x,y>0 \end{eqnarray*}$ ist gegeben und soll mittels Separationsansatz gelöst werden.
Ges: Alle Lsg der Form $\begin{eqnarray*} u(x,y) = v(x)*w(y) , x,y>0. \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Der Separationsansatz führt auf $\begin{eqnarray*} (x^2*v''(x) + x*v'(x))/v(x) = w'(y)/w(y) = k^2 \end{eqnarray*}$ . jetzt bekomm ich
$\begin{eqnarray*} x^2*v''(x)+v'(x)-k^2*v(x)=0 \end{eqnarray*}$ . Jetzt steht allerdings in der Lsg. dass man den Ansatz $\begin{eqnarray*} v(x)= x^(lambda) \end{eqnarray*}$ verwendet und somit auf das charakteristische Polynom $\begin{eqnarray*} (lambda)^2-k^2=0 \end{eqnarray*}$ kommt. Woher weiss man dass $\begin{eqnarray*} v(x)=x^(lambda) \end{eqnarray*}$ und was bringt mir das charakteristische Polynom? Weiter würde ich gerne verstehen wie man auf folgende allgemeine Lösungen für v(x) kommt. Es gibt nämlich eine Lsg für k=0:
es folgt $\begin{eqnarray*} x^2*v''(x) + v'(x) = 0 \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} v''(x)/v'(x) = -1/x^2 \end{eqnarray*}$ . ab hier nicht mehr sicher:
$\begin{eqnarray*} ln(v'(x))= 1/x +c \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} v'(x) = exp(1/x)*c \end{eqnarray*}$ und daraus $\begin{eqnarray*} v(x) =? \end{eqnarray*}$ Lsg ist $\begin{eqnarray*} v(x)=c1+c2*ln(x) \end{eqnarray*}$ wobei ich nicht weiss wie man darauf kommt. , bei der Lösung für k ungleich 0:ist die Lsg $\begin{eqnarray*} v(x) = c1*x^k + c2*x^-k \end{eqnarray*}$ , was ich nicht verstehe. Die Lösungen für w(y) sind klar. Wenn jemand das erklären kann bin ich sehr dankbar. Mit freundlichen Grüßen

18.07.2015, 13:58

Huggy

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RE: Partielle DGL mittels Separationsansatz

Zitat:

Original von Tonido
Der Separationsansatz führt auf $\begin{eqnarray*} (x^2*v''(x) + x*v'(x))/v(x) = w'(y)/w(y) = k^2 \end{eqnarray*}$ .

So weit in Ordnung.

Zitat:

jetzt bekomm ich
$\begin{eqnarray*} x^2*v''(x)+v'(x)-k^2*v(x)=0 \end{eqnarray*}$ .

Und da steckt schon der Wurm. Da ist dir ein x verloren gegangen. Richtig ist:

$\begin{eqnarray*} x^2v''+xv'-k^2v=0 \end{eqnarray*}$

Kleine Ursache, große Wirkung! Ohne das fehlende x wäre alles Nachfolgende falsch. Und da es falsch wäre, ist es kein Wunder, dass du es nicht verstehen kannst. Nach der Korrektur sieht man der Gleichung sofort an, dass sie durch

$\begin{eqnarray*} v(x)=x^\lambda \end{eqnarray*}$

lösbar sein sollte. Jede Ableitung vermindert den Exponenten um 1, jede Multiplikation mit x erhöht ihn wieder um 1. $\begin{eqnarray*} \lambda =1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda =0 \end{eqnarray*}$ muss man allerdings ausschließen.

Nach dieser Korrektur sollte alles Folgende passen.

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