Implizite Ableitung

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18.07.2015, 13:26	MatheNeuling1841	Auf diesen Beitrag antworten »
Implizite Ableitung Meine Frage: Hi, vielleicht könnte ihr mir helfen Ich hab folgende Funktion gegeben $\begin{eqnarray} f(x,y)=y-ln(\frac{1}{1+x^{2}y+y } ) \end{eqnarray}$ Und jetzt habe ich folgende Aufgabenstellung: Bestimmen Sie die Ableitung der durch $\begin{eqnarray} f(x,y)=c \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} c = ln(7) + 3 \end{eqnarray}$ implizit bestimmten Funktion $\begin{eqnarray} y(x) \end{eqnarray}$ und geben Sie die Steigung der Tangente im Punkt $\begin{eqnarray} (1,3) \end{eqnarray}$ an. Meine Ideen:* Mein Problem ist, das ich überhaupt keine Ahnung hab, was ich jetzt überhaupt machen soll! Ich hab die Funktion mal nach x und mal nach x abgeleitet, aber das bringt mir irgendwie nichts! Ich verstehe nicht so wirklich, was eigentlich meine Aufgabe ist! Vielen Dank für Hilfe! Edit (mY+): Es heisst NICHT impliziert, sondern implizit (!) Titel modifiziert.
18.07.2015, 14:08	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Setze anstatt f(x,y) den für c angegebenen Term ein, isoliere dann den $\begin{eqnarray} \ln \end{eqnarray}$ und setze letztendlich das Ganze in den Exponenten von e (--> entlogarithmieren). mY+
18.07.2015, 14:19	MatheNeuling1841	Auf diesen Beitrag antworten »
Also meinst du so, oder was? $\begin{eqnarray} ln(7)+3= y-ln(\frac{1}{1+x^{2}y+y } ) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} ln(7)+ln(\frac{1}{1+x^{2}y+y } )= y-3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 7+\frac{1}{1+x^{2}y+y } =e^{y} - e^{3} \end{eqnarray*}$
18.07.2015, 14:28	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Bis zur 2. Zeile stimmt es, danach hast du die Logarithmen- bzw. Potenzgesetze missachtet! $\begin{eqnarray} \log a + \log b \neq \log(a+b) \end{eqnarray}$ mY+
18.07.2015, 14:45	MatheNeuling1841	Auf diesen Beitrag antworten »
müsste wahrscheinlich so ausehen: $\begin{eqnarray} \frac{7}{1+x^{2}y+y } =e^{y}-e^{3} \end{eqnarray*}$ aber jetzt weiß ich nicht so wirklich was ich damit anfangen soll?
18.07.2015, 15:01	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Links ok, und was gehört auf der rechten Seite? Dort hast du ja denselben Fehler! mY+
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18.07.2015, 15:11	MatheNeuling1841	Auf diesen Beitrag antworten »
ja, das müsste dann $\begin{eqnarray} e^{y-3} \end{eqnarray}$ heißen
18.07.2015, 15:34	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, gut so! Vereinfache dann zu $\begin{eqnarray} 7e^3 = (1 + x^2y + y) \cdot e^y \end{eqnarray}$ (dann kann man besser ableiten) So sieht das übrigens aus: [attach]38752[/attach] mY+
18.07.2015, 15:51	MatheNeuling1841	Auf diesen Beitrag antworten »
ja, ich hatte das jetzt auch so vereinfacht! Und das soll ich jetzt ableiten? Nach x und nach y? Und was muss ich dann machen?
18.07.2015, 16:05	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Nur nach x, denn die Ableitung der Funktion y = f(x) ist gefragt. Da die Funktion nicht explizit vorliegt, sondern in der Form F(x; f(x)) = c, musst du eben implizit NACH x differenzieren. Dabei wird y zu y' und die Ableitung von $\begin{eqnarray} x^2y \end{eqnarray}$ beispielsweise lautet nach der Produktregel $\begin{eqnarray} 2xy + x^2y' \end{eqnarray}$ , usw. mY+
18.07.2015, 17:11	MatheNeuling1841	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn ich dich richtig verstanden habe, müsste das dann so aussehen: $\begin{eqnarray} 0=(2xy)e^{y}+e^{y'}(1+x^{2}y+y) \end{eqnarray}$
18.07.2015, 18:06	MatheNeuling1841	Auf diesen Beitrag antworten »
Oder wenn ich so darüber nachdenke müsste es eher so aussehen: $\begin{eqnarray} e^{y} (2xy+x^{2}y'+y')+e^{y'} (1+x^{2}y+y) \end{eqnarray}$
18.07.2015, 18:19	MatheNeuling1841	Auf diesen Beitrag antworten »
Obwohl es ja wahrscheinlich nicht $\begin{eqnarray} e^{y'} \end{eqnarray}$ sondern $\begin{eqnarray} y'e^{y} \end{eqnarray}$ heißt! Fällt mir gerade auf
18.07.2015, 19:11	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, dein letztes Statement ist richtig. Stelle nun nach y' um (du solltest zuallererst durch $\begin{eqnarray} e^y \end{eqnarray}$ dividieren, denn dieses ist nicht 0) und du hast bereits den gesuchten Differentialquotienten bzw. die Steigung. Diese muss für den gegebenen Punkt gleich -2/3 sein. Siehe auch den Graphen .. mY+
18.07.2015, 20:00	MatheNeuling1841	Auf diesen Beitrag antworten »
Also, wenn ich durch e^y teile und dann aus multipliziere komme ich auf: $\begin{eqnarray} 2xy+x^{2}y'+y'+y'+y'x^{2}+y'y \end{eqnarray}$ umgestellt ergibt das: $\begin{eqnarray} \frac{-2xy}{x^{2}-x^{2}y+y+2} = y' \end{eqnarray}$ oder verstehe ich das falsch, was du meinst?
18.07.2015, 20:10	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Das da oben ist KEINE Gleichung! Und 2 Rechenfehler sind da drin, sinngemäß (mit Korrektur) würde es dann passen! Ich habe dir ja auch schon das Resultat genannt (du kannst bei deinem Ergebnis mit dem Punkt (1; 3) die Probe machen!) mY+
19.07.2015, 11:48	MatheNeuling1841	Auf diesen Beitrag antworten »
ja müsste so aussehen: $\begin{eqnarray} -\frac{2xy}{x^{2}+x^{2}y+y+2} = y' \end{eqnarray}$ und wenn ich da meinen Punkt(1,3) einsetzte komme auch auf-2/3, was ja dann der Steigung der Tangente entspricht und somit der Lösung. Super dann habe ich jetzt auf jeden Fall die Aufgabe verstanden. so im nachhinein war die eigentlich gar nicht so schwer Auf jeden Fall, vielen Dank dir
19.07.2015, 11:52	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Implizite Ableitung Alternativ kann man sich das vorige umformen sparen: $\begin{eqnarray} f(x,y)=y-ln(\frac{1}{1+x^{2}y+y } ) =y+ln({1+x^{2}y+y } ) \end{eqnarray}$ . Wenn man die Gleichung $\begin{eqnarray} f(x,y(x)) = c \end{eqnarray}$ nach x differenziert, bekommt man (falls f_2 nicht verschwindet) $\begin{eqnarray} f_1(x,y(x)) + f_2(x, y(x)) y'(x) = 0 \iff y'(x) = - \frac{ f_1(x,y(x))} {f_2(x,y(x))} \end{eqnarray}$ , wobei f_1 die partielle Ableitung in der ersten, und f_2 die partielle Ableitung in der zweiten Koordinate bezeichnet. Die lassen sich auch in der oberen Form leicht errechnen.
19.07.2015, 15:22	MatheNeuling1841	Auf diesen Beitrag antworten »
Also wenn ich das so rechne wie beschrieben und dann nach x ableite, komme ich auf $\begin{eqnarray} 2xy+x^{2}y'+y'+7y'e^{3-y} \end{eqnarray}$ umgeformt und meinen Punkt eingesetzt komme ich dann wieder auf -2/3! aber was genau meinst du mit dem Bruch und f1 und f2?
19.07.2015, 16:39	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Was du da oben stehen hast, ist ein Term, KEINE Gleichung! f1 = Fx, f2 = Fy, es sind die partiellen Ableitungen von F(x; y) nach x und y. Und es gilt dabei allgemein $\begin{eqnarray} \frac{\dd y}{\dd x} = y ' = -\frac{\frac{\partial F}{\partial x}} {\frac{\partial F}{\partial y}} \end{eqnarray}$ Also hast du nur den (negativen) Quotienten der beiden partiellen Ableitungen berechnen. Und das ist eben einfacher. mY+

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