Geschlossene Darstellung einer Rekurrenzgleichung

18.07.2015, 14:51	txangel	Auf diesen Beitrag antworten »
Geschlossene Darstellung einer Rekurrenzgleichung Hi , ich komm grad gar nicht weiter bei meiner Aufgabe: Die Funktion $\begin{eqnarray} T: N -> N \end{eqnarray}$ sei für alle $\begin{eqnarray} n \in N \end{eqnarray}$ durch T(0)= 0 T(1)= 1 T(n)= 2T(n-1) - T(n-2) +2 für n $\begin{eqnarray} \geq \end{eqnarray}$ 2 definiert. Ich soll eine geschlossene Darstellung für T finden und das Ergebnis mit vollständiger Induktion beweisen. Ich weiß nicht, wie ich die Funktion in eine geschlossene Darstellung bringen soll. Die Induktion ist kein Problem. Ich hab dazu im Internet schon einiges gefunden, aber das passte alles nicht zu meinem Problem, bzw. ich hatte es nicht verstanden. wäre toll, wenn jmd helfen könnte
18.07.2015, 15:16	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, Hast du dir mal die ersten paar Werte von $\begin{eqnarray} T(n) \end{eqnarray}$ ausgerechnet und aufgeschrieben? Wenn nein, solltest du das mal tun. Anders kannst du ja schlecht eine Idee haben, was die geschlossene Form sein könnte.
18.07.2015, 17:21	txangel	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt ja, das ist $\begin{eqnarray} n^{2} \end{eqnarray}$ Weiß jetzt aber nicht weiter
18.07.2015, 17:35	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das ist richtig. Deine Vermutung ist also $\begin{eqnarray} T(n) = n^2 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ . Nun verstehe ich allerdings nicht, warum du nicht weiter weißt, denn schließlich war ja die Induktion kein Problem, wie du sagst. Mehr als die Induktion durchzuführen musst du aber ja nun nicht mehr tun. Wo liegt also genau das Problem?
18.07.2015, 18:15	txangel	Auf diesen Beitrag antworten »
ok, also, ich hab's mir nur schwer gemacht, wegen der "geschlossenen Darstellung". Ich wusste nicht, was damit gemeint ist. Damit ist dann also gemeint, dass man eine andere "Darstellung" der Gleichung findet/ angibt, in der nicht rekursiv die Funktion neu aufgerufen wird? Das wäre ja viel einfacher als gedacht...
18.07.2015, 18:20	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja genau, $\begin{eqnarray} T(n) = n^2 \end{eqnarray}$ ist die gesuchte geschlossene Darstellung.
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19.07.2015, 18:20	txangel	Auf diesen Beitrag antworten »
super, vielen dank

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