Extremwertaufgabe

18.07.2015, 17:16

Rivago

Extremwertaufgabe

Ich hab $\begin{eqnarray*} I(x) = \frac{1}{12}x \cdot (4R^2 - x^2)^{3/2} \end{eqnarray*}$

Und die Ableitung $\begin{eqnarray*} I'(x) = \frac{1}{12}(4R^2 - x^2)^{3/2} + \frac{1}{12}x \cdot (4R^2 - x^2)^{1/2} \cdot (-2x) \end{eqnarray*}$

Wie kann ich das noch weiter vereinfachen? unglücklich

18.07.2015, 17:35

Dopap

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es fehlt der Faktor 3/2 im 2. Summanden.

18.07.2015, 17:46

Rivago

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RE: Extremwertaufgabe
Hast Recht.. jetzt ist er aber wieder dabei..

Leider weiß ich trotzdem nicht, wie ich das vereinfachen kann verwirrt

$\begin{eqnarray*} I'(x) = \frac{1}{12}(4R^2 - x^2)^{3/2} + \frac{1}{12}x \cdot \frac{3}{2}(4R^2 - x^2)^{1/2} \cdot (-2x) \end{eqnarray*}$

18.07.2015, 19:40

mYthos

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Du musst doch Nullsetzen!
Dann kürze rechts die 2 und multipliziere mit 12 und dividiere durch $\begin{eqnarray*} (4R^2-x^2)^{\frac 1 2} \neq 0 \end{eqnarray*}$ !

Dieser Faktor kann zwar auch Null werden, aber er liefert keine sinnvolle Lösung, denn x kann nicht gleich 2R werden. Also setzen wir ihn ungleich Null.
Die verbliebene einfache Gleichung bringt dann die andere (sinnvolle) Lösung.

mY+

18.07.2015, 21:13

Rivago

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Naja, schon.. aber ich hab es mir nicht "getraut", jetzt schon 0 zu sezten, weil die Gleichung so groß ist..

In der Lösung hat man das noch erheblich vereinfacht..

18.07.2015, 21:35

mYthos

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Ja, das ist doch eh dasselbe; wie du das rechnest, ist egal, wichtig ist, dass es richtig ist.
Die Zwölftel hätte man z.B. schon von Anfang an weglassen können/sollen.
Und, hast du das nun beenden können?

mY+

18.07.2015, 21:40

Rivago

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Nein, ich bin leider zu blöd dazu unglücklich

Heute funktioniert irgendwie gar nichts.. alles was ich anfass geht schief traurig

18.07.2015, 21:54

mYthos

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Ob die Gleichung groß ist oder klein, Null setzen musst sie allemal.
Danach sollst du - nach dem Faktorisieren - alles kürzen, was nicht Null ist und nur die Faktoren untersuchen, welche Null werden können.

Das ist einerseits $\begin{eqnarray*} (R^2 - x^2) \end{eqnarray*}$ und andererseits $\begin{eqnarray*} (4R^2-x^2)^{\frac 1 2} \end{eqnarray*}$ , denn die Gleichung lautete ja im Endeffekt

$\begin{eqnarray*} (R^2-x^2) \cdot \sqrt{4R^2-x^2} = 0 \end{eqnarray*}$

Beim ersten Faktor wurde 4 ausgeklammert, mit den Zwölftel bleiben dann Drittel, somit war noch mit 3 zu multiplizieren.

So; funktioniert's jetzt?

mY+

18.07.2015, 22:06

Rivago

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Nein.. sobald da noch andere Variablen mit drin sind versteh ich gar nichts mehr unglücklich

Lass gut sein.. Sind dann halt Punkte, die mir in der Klausur fehlen..

18.07.2015, 22:21

mYthos

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Aufgeben tut man einen Brief .. Augenzwinkern

R ist eine gegebene, konstante Größe. Also musst du nach x auflösen.

$\begin{eqnarray*} 1.) \ R^2 - x^2 = 0 \ \to \ x = R \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2.) \ 4R^2 - x^2 = 0 \ \to \ x = 2R \end{eqnarray*}$

Welche Lösung ist sinnvoll und welche nicht?

Nachdem x bekannt ist, rechnest du y aus, das wird ebenfalls in R ausgedrückt.
Das ist es, finito!

EDIT: OK, noch mit der 2. Ableitung auf Max. überprüfen.

mY+

18.07.2015, 22:26

Rivago

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RE: Extremwertaufgabe
Ich versteh ja nichtmal, wie du aus diesem Zahlen- und Buchstabenwulst deine 2 Gleichungen rauskriegst..

$\begin{eqnarray*} I'(x) = \frac{1}{12}(4R^2 - x^2)^{3/2} + \frac{1}{12}x \cdot \frac{3}{2}(4R^2 - x^2)^{1/2} \cdot (-2x) \end{eqnarray*}$

18.07.2015, 22:36

mYthos

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Hab ich irgendwie ja auch beschrieben.
Also mal langsam:
I'(x) wird Null gesetzt
Die Zwölftel kann man gleich wegmultiplizieren und die 2 vom Bruch 3/2 mit den 2 von -2x kürzen.
Bleibt:

$\begin{eqnarray*} 0 = (4R^2 - x^2)^{3/2} - 3x^2(4R^2-x^2)^{1/2} \end{eqnarray*}$

Soweit klar?

mY+

18.07.2015, 22:39

Rivago

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Ja okay, kann ich nachvollziehen..

18.07.2015, 22:41

mYthos

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So, nun geht's ans Ausklammern. Wie wär's mit $\begin{eqnarray*} (4R^2-x^2)^{1/2} \end{eqnarray*}$ ?

18.07.2015, 23:02

Rivago

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$\begin{eqnarray*} 0 = (4R^2 - x^2)^{1/2} \cdot (1^1 - 3x^4) \end{eqnarray*}$

Ist das so richtig?

18.07.2015, 23:12

mYthos

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Mal grundsätzlich: Du stelltst deine Fragen im Hochschulbereich, allerdings sind diese eher dem Schulbereich zuzuordnen.
Im Hochschulniveau sollten dir auf jeden Fall die Modalitäten des Zerlegens in Faktoren und andere algebraischen Rechenregeln bekannt/vertraut sein.
Wenn (noch) nicht, dann ist unbedingt Üben angesagt, ansonsten wird's ziemlich mühsam.
Anyway, die zweite Klammer ist falsch, ich kann teilweise auch nicht nachvollziehen, wie du darauf gekommen bist.

Anstatt $\begin{eqnarray*} 1^1 \end{eqnarray*}$ gehört $\begin{eqnarray*} (4R^2-x^2)^1 \end{eqnarray*}$ (was ist das dann?), denn die Basis bleibt erhalten (!) und hinten ganz einfach $\begin{eqnarray*} 3x^2 \end{eqnarray*}$ . Weshalb die 4. Potenz?

mY+

18.07.2015, 23:25

Rivago

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Ich sag doch, ich bin zu blöd..

18.07.2015, 23:38

Dopap

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Hi Rivago! Übung macht's !

Wenn dir das Ausklammern einer Summe samt Potenzen Probleme bereitet, dann kann man auch zwischendurch substituieren um den Term übersichtlicher zu machen ( geht nicht nur bei Integralen ! )

$\begin{eqnarray*} A=(4R^2-x^2) \end{eqnarray*}$ , dann entsteht so etwas wie

$\begin{eqnarray*} 0=A\sqrt A - c \sqrt A \end{eqnarray*}$

und jetzt geht das Ausklammern problemlos!

18.07.2015, 23:43

mYthos

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Zitat:

Original von Rivago
Ich sag doch, ich bin zu blöd..

Wenn das wirklich deine Überzeugung ist, solltest du dir ein anderes Betätigungsfeld suchen .. Big Laugh

Ich glaube das aber nicht, offensichtlich ist es heute nicht dein Tag, das kann immer wieder passieren.
Aus den Fehlern, die dir hier aufgezeigt werden, solltest du lernen und NICHT einfach resignieren.
Lass' es für heute gut sein, morgen sieht das auch wieder ganz anders aus.

Ich denke auch, dass es ein Fehler ist, gleich mehrere Threads parallel laufen zu haben, wie ich es zumindest heute bei dir sehe.
Dadurch kannst du dich auf nichts richtig konzentrieren!

Also versuche doch, erst ein Thema zu beenden, bevor es ans nächste geht.
Und, sind deine Themen tatsächlich im Hochschulbereich gelagert? Eigentlich gehören sie, zumindest teilweise, in den Schulbereich verschoben.
Ich beabsichtige, dies auch tun. Es ist ein Irrglaube, dass Themen im Schulbereich weniger beachtet werden und deshalb eher im Hochschulbereich zu posten sind.

Zum Thema:

$\begin{eqnarray*} a^{3/2} = a^1 \cdot a^{1/2} = a \cdot \sqrt a \end{eqnarray*}$

mY+

19.07.2015, 00:02

Rivago

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Zitat:

Original von mYthos
Und, sind deine Themen tatsächlich im Hochschulbereich gelagert? Eigentlich gehören sie, zumindest teilweise, in den Schulbereich verschoben.

Ich studier Maschinenbau. Ich kann aber auch nichts dazu, dass das Niveau anscheinend deutlich unter dem eines reinen Mathe-Studiums liegt und (deiner Meinung nach) in den Schulbereich gehört.

Ich mach morgen weiter..

19.07.2015, 00:06

mYthos

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Gut, dann betreffen die Themen eine höhere technische Lehranstalt und werden vorerst nicht verschoben.
Gute Nacht!

mY+

19.07.2015, 10:30

Rivago

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Also ich hab jetzt $\begin{eqnarray*} I'(x) = (4R^2 - x^2)^{1/2} \cdot ((4R^2 - x^2) - 3x^2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} I'(x) = (4R^2 - x^2)^{1/2} \cdot ((4R^2 - 4x^2) \end{eqnarray*}$

Das mit der Substitution scheint eine gute Idee zu sein, muss ich mir mal im Hinterkopf behalten. Danke smile

Wie setze ich das nun 0?

19.07.2015, 12:29

mYthos

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Der Satz vom Nullprodukt (gehört ebenso zu den Grundlagen!):

Ist ein Produkt gleich Null, so muss mindestens ein Faktor Null sein. Es können dies auch mehrere sein.
Also hast du jeden einzelnen der Faktoren Null zu setzen (falls diese die Variable enthalten und für einen bestimmten Wert derselben Null werden können).

mY+

19.07.2015, 23:05

Rivago

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$\begin{eqnarray*} 0 = \sqrt{4R^2 - x^2} \end{eqnarray*}$

Quadrieren..

$\begin{eqnarray*} 0 = 4R^2 - x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4R^2 = x^2 \end{eqnarray*}$

Wurzel ziehen

$\begin{eqnarray*} x = \pm 2R \end{eqnarray*}$

Und der andere Faktor:

$\begin{eqnarray*} 0 = 4R^2 - 4x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2 = R^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = \pm R \end{eqnarray*}$

So sollte es passen.. hast du ja weiter vorne auch schon so geschrieben smile

20.07.2015, 00:43

mYthos

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So, nun haben wir die Lösungen!
Welche sind im Sinne der Aufgabe sinnvoll? Liegt ein Maximum vor? Und wie groß ist die andere Seite des Querschnittes?

mY+

20.07.2015, 21:49

Rivago

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Es ist nur $\begin{eqnarray*} x = R \end{eqnarray*}$ sinnvoll, da bei $\begin{eqnarray*} x = 2R \end{eqnarray*}$ der komplette Durchmesser die Seite des Rechtecks wäre.

y krieg ich, indem ich x in die Ausgangsgleichung einsetze, also in mein I(x), oder?

Um herauszufinden, ob Min oder Max, muss ich nochmal ableiten und dort dann meine gefunde Lösung, also R, einsetzen. Bei kleiner 0 liegt ein Maximum vor, größer 0 ein Minimum.

Oder erkennt man das auch schon woanders dran?

Ich denke, dass ich mit dem Rest der Aufgabe alleine klar komm. Werde das in den nächsten Tagen dann mal machen und mich zurück melden, sollte was nicht klappen.

Danke für eure Ausdauer.. wenn ich jetzt - wieder mit halbwegs klarem Kopf und geordneten Nerven - zurückdenke, dann ist die Aufgabe letztendlich doch ziemlich einfach unglücklich

Bin nur gerade ziemlich fertig, da ich mich auf 8 Prüfungen innerhalb von 6 Tagen vorbereiten muss und es überall hier und da noch gewaltig klemmt traurig

21.07.2015, 00:05

mYthos

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So weit hast du den weiteren Weg richtig beschrieben, nur eines funktioniert so nicht:
Um y zu bekommen, ist NICHT in I(x) einzusetzen (wie willst du dort ein y finden, wenn keines dort steht? Und I ist ja auch noch nicht bekannt.)!
Vielmehr ist die Nebenbedingung heranzuziehen, also in

$\begin{eqnarray*} x^2 + y^2 = (2R)^2 \end{eqnarray*}$

Daher ist $\begin{eqnarray*} y = R \sqrt 3 \end{eqnarray*}$

mY+

21.07.2015, 09:30

Ehos

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Wenn man Polarkoordinaten einführt, reduziert sich die Aufgabe zu einem Problem mit einer einzigen Koordinate ohne Nebenbedingungen (Schulmathematik). Setze also

$\begin{eqnarray*} x=2R\cdot \cos(\phi) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y=2R\cdot \sin(\phi) \end{eqnarray*}$

Einsetzen in $\begin{eqnarray*} I=\tfrac{1}{12}\cdot xy^3 \end{eqnarray*}$ liefert

$\begin{eqnarray*} I(\phi)=\tfrac{1}{12}\cdot \underbrace{2R\cos(\phi)}_{x}\cdot \underbrace{8R^3\sin^3(\phi)}_{y^3} \end{eqnarray*}$

Diese Funktion differenziert man nach $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ und setzt die Ableitung gleich Null usw. Wenn man $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ berechnet hat, setzt man es oben ein und bekommt x, y.

21.07.2015, 12:52

Mathema

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Ein schöner Weg - aber eigentlich wird durch die Einführung von Polarkoordinaten die Schulmathematik grade verlassen. Zumindest in Schleswig-Holstein sind diese im Lehrplan seit G8 nicht mehr (fest) verankert und werden dementsprechend weitestgehend nicht mehr thematisiert. So ändern sich die Zeiten und Ansprüche. Das kann in einem anderen Bundesland, indem es z.B. noch Leistungskurse gibt, anders sein, das vermag ich nicht zu beurteilen.

Der Weg von mythos ist jedoch reinste Schulmathematik - da gebe ich ihm recht.

Wink

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