Gleichungssystem lösen

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18.07.2015, 17:28	Jefferson1992	Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichungssystem lösen Huhu, Wie kann man am schnellsten dieses Gleichungssystem lösen: $\begin{eqnarray} x_{1}+tx_{2}+t^{2}x_{3}=t^{4} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} t^{2} x_{1}+x_{2}+tx_{3}=t^{3} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} t x_{1}+t^{2}* x_{2}+x_{3}=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & t & t^{2} \\ t^{2} & 1 & t \\ t & t^{2} & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} t^{4} \\ t^{3} \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Denkt euch die Erweitere Koeffizientenmatrix Ich habe es mit Cramer versucht, komme da aber auf falsche Ergebnisse. Danke euch!
18.07.2015, 18:13	Mi_cha	Auf diesen Beitrag antworten »
mit der Cramerschen Regel kommt man ganz gut hin. Vermutlich hast du dich verrechnet. Poste mal deine Ergebnisse/Rechnungen.
18.07.2015, 18:18	Bürgi	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichungssystem lösen Guten Abend und nur ein Hinweis (bin gleich wieder draußen) Für die Berechnungen der Determinanten bietet sich in Deinem Fall (auch) die Sarrussche Regel an.
19.07.2015, 11:09	Jefferson1992	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, habe folgendes gemacht: Nach Cramer: $\begin{eqnarray} <br /> x_{1}=\frac{det\begin{pmatrix} t^{4} & t & t^{2} \\ t^{3} & 1 & t \\ 0 & t^{2} & 1 \end{pmatrix} }{det\begin{pmatrix} 1 & t & t^{2} \\ t^{2} & 1 & t \\ t & t^{2} & 1 \end{pmatrix} } \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} det\begin{pmatrix} t^{4} & t & t^{2} \\ t^{3} & 1 & t \\ 0 & t^{2} & 1 \end{pmatrix}=t^{4}(1-t^{3})+t(t^{3})+t^{2}(t^{5})=t^{4}-t^{7}+t^{4}+t^{7}=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} det\begin{pmatrix} 1 & t & t^{2} \\ t^{2} & 1 & t \\ t & t^{2} & 1 \end{pmatrix} =(1-t^{3})+t(t^{2}-t^{2})+t^{2}(t^{4}-t)= 1-t^{3}+t^{6}-t^{3}=1 \end{eqnarray}$ also wäre $\begin{eqnarray} x_{1}=0 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x_{2} \end{eqnarray}$ habe ich: $\begin{eqnarray} det\begin{pmatrix} 1 & t^{4}& t^{2} \\ t^{2} & t^{3} & t \\ t & 0 & 1 \end{pmatrix}=t^{3}+t^{4}(t^{2}-t^{2})+t^{2}(-t^{4})=t^{3}-t^{6} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x_{3} \end{eqnarray}$ habe ich: $\begin{eqnarray} det\begin{pmatrix} 1 & t& t^{4} \\ t^{2} & 1 & t^{3} \\ t & t^{2} & 0 \end{pmatrix} = -t^{5}+t(t^{4})+t^{4}(t^{4}-t)= t^{8}-t^{5} \end{eqnarray}$ Wenn ich das aber einsetze in die erste Gleichung: $\begin{eqnarray} 0+t(t^{3}-t^{6})+t^{2}(t^{8}-t^{5})=t^{4}-t^{7}+t^{10}-t^{7}\neq t^{4} \end{eqnarray*}$ Was habe ich falsch gemacht? Danke!
19.07.2015, 11:48	Mi_cha	Auf diesen Beitrag antworten »
die Nennerdeterminante hast du im letzten Schritt falsch berechnet. Schaue dir nochmal die Regeln für Potenzen an. Richtig ist $\begin{eqnarray} 1+t^6-2t^3 \end{eqnarray}$ Die restlichen Determinanten der Zähler stimmen, so auch $\begin{eqnarray} x_{1}=0 \end{eqnarray}$ . Nun solltst du noch die Werte für $\begin{eqnarray} x_{2} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_{3} \end{eqnarray}$ vereinfachen. $\begin{eqnarray} x_{2}=\frac {t^3-t^6}{1+t^6-2t^3} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_{3}=\frac {t^8-t^5}{1+t^6-2t^3} \end{eqnarray}$
19.07.2015, 12:47	Jefferson1992	Auf diesen Beitrag antworten »
ah klar. sorry. dummer Fehler: Da musst du mir glaube ich helfen: Ich versuch mal: $\begin{eqnarray} \frac{t^{3}-t^{6}}{1+t^{6}-2t^{3}} =\frac{t^{3}(1-t^{2})}{t^{3}(\frac{1}{t^{3}}+t^{2}-2) }=\frac{1-t^{2}}{\frac{1}{t^{3}}+t^{2}-2 }=\frac{t^{2}(\frac{1}{t^{2}}-1)}{t^{2}(\frac{1}{t^{5}}+1-\frac{2}{t^{2}} ) } \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =(\frac{1}{t^{2}}-1)(t^{5}+1-\frac{t^{2}}{2}) =t^{3}+\frac{1}{t^{2}}-\frac{1}{2}-t^{5}-1+\frac{t^{2}}{2} =t^{3}-t^{5}-1,5+\frac{1}{t^{2} } +\frac{t^{2}}{2} \end{eqnarray*}$ Wo habe ich mist gebaut?
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19.07.2015, 12:52	Mi_cha	Auf diesen Beitrag antworten »
der Zähler sieht schon ganz gut aus. Klammere aber besser $\begin{eqnarray} -t^3 \end{eqnarray}$ aus. Du siehtst nachher, warum das Minus sinnvoll ist. Im Nenner steht eine bin. Formel. Ich schreibe das ein wenig um, dann erkennst du es vielleicht $\begin{eqnarray} x_{2}= \frac{-t^3 \cdot (-1+t^3)}{(t^3)^2-2t^3+1} \end{eqnarray}$
19.07.2015, 12:59	Jefferson1992	Auf diesen Beitrag antworten »
ah okay Muss man auch erstmal sehen. $\begin{eqnarray} x_{2}=\frac{-t^{3}(-1+t^{3})}{(t^{3}-1)^{2} } \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\frac{-t^{3}(-1+t^{3})}{(-1+t^{3})(-1+t^{3})}=\frac{-t^{3}}{-1+t^{3}} \end{eqnarray*}$
19.07.2015, 13:02	Mi_cha	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau. Jetzt bloß noch kürzen und das wars. Für $\begin{eqnarray} x_{3} \end{eqnarray}$ geht's analog. Edit. So stimmt es.
19.07.2015, 13:07	Jefferson1992	Auf diesen Beitrag antworten »
okay alles klar. $\begin{eqnarray} x_{3} \end{eqnarray}$ schenk ich mir War ja nur zur Übung. Vielen Dank Micha!
19.07.2015, 13:13	Mi_cha	Auf diesen Beitrag antworten »
gerne

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