Signum-Funktion stetig in 0?

18.07.2015, 19:57	credibil	Auf diesen Beitrag antworten »
Signum-Funktion stetig in 0? Hallo zusammen, ich beschäftige mich gerade mit der Stetigkeit und bin dabei auf die Signum-Fkt gestoßen. Hierbei habe ich gelesen, dass die Funktion in 0 unstetig ist. Das ist mir auch klar, wenn ich es sehe... allerdings wenn ich es mathematisch beweisen will, kommt bei mir immer Stetigkeit raus Sei $\begin{eqnarray} f(x) = \begin{cases} -1 & x <0 \\ 0 & x = 0 \\ 1 & x > 0 \end{cases} \end{eqnarray}$ Ich möchte nun zeigen, dass die Funktion in 0 stetig ist. Grenzwert am Punkt 0 zeigen: Für den Punkt 0 nehme ich die Folge $\begin{eqnarray} (a_n) = 0 \end{eqnarray}$ , also die konstante Nullfolge. Dann ist der Grenzwert $\begin{eqnarray} x_0 = 0 \end{eqnarray}$ . Wenn die Funktion in dem Punkt stetig ist, dann muss folgendes gelten: $\begin{eqnarray} f(0) = \lim_{x \to 0} f(x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(0) = 0 = \lim_{x \to 0} f(x) \end{eqnarray}$ Demnach wäre die Funktion in 0 doch stetig. Wo genau mache ich den Fehler?
18.07.2015, 20:00	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Signum-Funktion stetig in 0? Stetigkeit bedeutet, dass für alle Folgen $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a_n \to 0 \end{eqnarray}$ gilt, dass $\begin{eqnarray} f(a_n) \to f(0) \end{eqnarray}$ , nicht dass es eine Folge mit dieser Eigenschaft gibt.
18.07.2015, 20:04	credibil	Auf diesen Beitrag antworten »
Habe jetzt mehrmals gesehen, dass als Folgen $\begin{eqnarray} 1/n \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} -1/n \end{eqnarray}$ genommen wurden, um die unstetigkeit zu zeigen. Wenn ich beispielweise für den linksseitigen Grenzwert $\begin{eqnarray} (a_n) = -1/n \end{eqnarray}$ und für den rechtsseitigen Grenzwert $\begin{eqnarray} (b_n) = 1/n \end{eqnarray}$ nehmen würde, dann hätte ich doch ebenfalls den Grenzwert von 0 und käme auf das gleiche
18.07.2015, 20:06	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Was ist denn $\begin{eqnarray} f(a_n) \end{eqnarray}$ ? Und was kommt raus, wenn du in dem Ausdruck n gegen unendlich schickst?
18.07.2015, 20:12	credibil	Auf diesen Beitrag antworten »
Mir ist glaube ich mein vorheriger Denkfehler schon aufgefallen: Der Grenzwert besteht doch gar nicht im Punkt 0, oder? Denn der linksseitige Grenzwert wäre -1 und der rechtsseitige wäre 1, demnach gäbe es keinen Grenzwert und somit auch keine Stetigkeit.

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