Integral 1/(cos^3(x))

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19.07.2015, 12:07	StrunzMagi	Auf diesen Beitrag antworten »
Integral 1/(cos^3(x)) Berechne das angegebene Integral $\begin{eqnarray} \int \frac{dx}{cos^3(x)} \end{eqnarray}$ Ich habe paar Sachen probiert. Versuch 1: Partielle Integration: $\begin{eqnarray} \int \frac{dx}{cos^3(x)}= \frac{tan(x)}{cos(x)} - \int \frac{tan(x)sin(x)}{cos^2(x)}= \frac{tan(x)}{cos(x)} - \int \frac{tan^2(x)}{cos(x)} dx=\frac{tan(x)}{cos(x)} -\int \frac{sin^2(x)}{cos^3(x)} \end{eqnarray}$ Da bin ich nicht weitergekommen mit der Subsitution $\begin{eqnarray} cos(x) =u, -sin(x) dx = du \end{eqnarray}$ . Versuch 2: Subsitution $\begin{eqnarray} tan(x/2)=t \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int \frac{dx}{cos^3(x)} \end{eqnarray}$ Substitution $\begin{eqnarray} tan(x/2)=t, \frac{1}{2(1+t^2)} dx = dt \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} cos(x) =\frac{1-t^2}{1+t^2} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \int \frac{2(1+t^2)^4}{(1-t^2)^3}dt=\int \frac{2(1+t^2)^4}{(1-t)^3(1+t)^3} dt \end{eqnarray}$ Da würde ich wieder stecken bleiben. Versuch 3: $\begin{eqnarray} \int \frac{dx}{cos^3(x)}= \int \frac{dx}{cos^2(x)(1-sin^2(x))} = \int \frac{dx}{cos^2(x)-cos^2(x) sin^2(x)} \end{eqnarray}$ Hier die selbe Subsitution wie bei Versuch 2 führt zu $\begin{eqnarray} \int \frac{2(1+t^2)^3}{(1-t^2)^2(1-4t^2)} dt \end{eqnarray}$ Ich weiß nicht mehr was ich noch versuchen könnte oder wo es zu weiterrechnen geht. Würde mich über Hilfe freuen.
19.07.2015, 12:17	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Versuch 3 sieht vielversprechend aus. Benutze aber $\begin{eqnarray} \cos^2 = 1 - \sin^2 \end{eqnarray}$ statt $\begin{eqnarray} \cos = 1 - \sin^2 \end{eqnarray}$ . Danach sollte die Substitution $\begin{eqnarray} z = \sin \end{eqnarray}$ funktionieren.
19.07.2015, 12:19	Mathema	Auf diesen Beitrag antworten »
Versuch 3 verstehe ich nicht. Es ist $\begin{eqnarray} 1-\sin^2(x)=\cos^2(x) \end{eqnarray}$ und somit $\begin{eqnarray} \cos^2(x)(1-\sin^2(x))=\cos^4(x) \end{eqnarray}$ . Spontan könnte ich mir vorstellen, dass man vielleicht hier mit weiter kommt, aber das müsste ich auch erstmal probieren. Versuch 4: $\begin{eqnarray} \int \frac{dx}{cos^3(x)}=\int \frac{\sin^2(x)+\cos^2(x)}{cos^3(x)}dx \end{eqnarray}$ edit: zu spät...
19.07.2015, 12:25	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Folgender Versuch führt garantiert ans Ziel: 1.)Multiplikation Zähler und Nenner mit cos(x) 2.) $\begin{eqnarray} cos^2(x)= 1 -sin^2(x) \end{eqnarray}$ 3.)Substitution: $\begin{eqnarray} z=sin(x) \end{eqnarray}$ 4. Weiter mit PBZ EDIT: zu spät
19.07.2015, 15:51	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Der erste Versuch lässt sich auch noch verwenden: Im Integral auf der rechten Seite ersetzt man $\begin{eqnarray} \sin^2(x)=1-\cos^2(x) \end{eqnarray}$ . Das liefert das Ausgangsintegral mit anderem Vorzeichen und $\begin{eqnarray} \int \frac{dx}{\cos(x)} \end{eqnarray}$ . Letzteres bekommt man mit der Subsitution $\begin{eqnarray} tan(x/2)=t \end{eqnarray}$ in den Griff.
19.07.2015, 16:37	StrunzMagi	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für eure Antworten! IndiFU, $\begin{eqnarray} \int \frac{dx}{cos(x)(1-sin^2(x))} = \int \frac{dx}{cos(x)-cos(x)sin^2(x)} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z=sin(x), dz= cos(x) dx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \int \frac{dz}{(1-z^2)-(1-z^2)z^2} = \int \frac{dz}{1-z^2-z^2+z^4} = \int \frac{dz}{(z^2-1)^2} \end{eqnarray}$ Ich hätte da nun Partialbruch zerlegung versucht aber mit $\begin{eqnarray} \frac{1}{(z^2-1)(z^2-1)}=\frac{A}{z-1}+\frac{B}{z-1}+ \frac{C}{(z+1)} + \frac{D}{(z+1)} \end{eqnarray}$ klappt das nicht so wirklich.. grosserloewe, Ja genau da komme ich dann zum selben Integral wie oben.
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19.07.2015, 17:07	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, falls Du meinen Weg gehen willst: Ich erhalte dann: $\begin{eqnarray} \int \frac{1}{(1-z^2)^2} \, dz \end{eqnarray}$ das ist gleich: $\begin{eqnarray} \int \frac{1}{(z-1)^2(z+1)^2} \, dz \end{eqnarray}$ Ansatz: = $\begin{eqnarray} \frac{A}{z-1} +\frac{B}{(z-1)^2} +\frac{C}{z+1} +\frac{D}{(z+1)^2} \end{eqnarray*}$ geht wunderbar. viel Spaß
19.07.2015, 17:16	StrunzMagi	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo grosserloewe, Ich hätte dazu noch eine Frage: Wie kommst du denn auf den Ansatz, dass du den Term genauso zerlegst? Mir ist klar der Term $\begin{eqnarray} (1-z^2)^2 \end{eqnarray}$ hat eine doppelte Nullstelle bei 1 und bei -1, aber auf genau die Zerlegung wäre ich nicht gekommen. Hallo URL, $\begin{eqnarray} \int \frac{dx}{cos^3(x)}= \frac{tan(x)}{cos(x)} - \int \frac{tan(x)sin(x)}{cos^2(x)}= =\frac{tan(x)}{cos(x)} -\int \frac{sin^2(x)}{cos^3(x)}=\frac{tan(x)}{cos(x)} -\int \frac{1-cos^2(x)}{cos^3(x)} dx=\frac{tan(x)}{cos(x)} -I + \int\frac{1}{cos(x)} dx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int\frac{1}{cos(x)} dx = \int \frac{cos(x)}{cos^2(x)} dx= \int \frac{cos(x)}{1-sin^2(x)}dx= \int \frac{du}{1-u^2}= \frac{1}{2} \int \frac{du}{1-u} + \frac{1}{2} \int \frac{du}{1+u}=\frac{1}{2} ln(\|1-sin(x)\|\|1+sin(x)\|)=\frac{1}{2} ln(\|1-sin^2(x)\|) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int \frac{dx}{cos^3(x)} =\frac{1}{2}[\frac{tan(x)}{cos(x)} +\frac{1}{2} ln(\|1-sin^2(x)\|)] \end{eqnarray*}$ LG
19.07.2015, 18:04	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist eleganter als meine Idee mit der Substitution
19.07.2015, 18:14	Mathema	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Integral $\begin{eqnarray} \int \frac{dx}{\cos(x)} \end{eqnarray}$ ist eigentlich auch in jeder brauchbaren Formelsammlung zu finden. In meiner Formelsammlung (Sieber / Klettverlag) steht es als: $\begin{eqnarray} \int \frac{dx}{\cos(x)}=\ln\|\tan(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4})\| \end{eqnarray}$ Hab`s aber auch schon so gesehen. In dieser Formelsammlung findest du unter "Einige besondere Integrale" (8) auch einen Ansatz, auch wenn man in einer Klausur diese wohl nicht zur Verfügung hat.
20.07.2015, 15:42	StrunzMagi	Auf diesen Beitrag antworten »
Supa danke URL. grosserloewe, könntest du mir trotzdem noch erklären wie man zu dem Ansatz: $\begin{eqnarray} \frac{A}{z-1} +\frac{B}{(z-1)^2} +\frac{C}{z+1} +\frac{D}{(z+1)^2} \end{eqnarray}$ kommt?Mir ist klar, dass der Term $\begin{eqnarray} (1-z^2)^2 \end{eqnarray}$ eine doppelte Nullstelle bei 1 und bei -1, aber auf genau die Zerlegung wäre ich nicht gekommen. Liebe Grüße
20.07.2015, 19:31	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist der Standardansatz für doppelte Nullstellen: Wikipedia-Link
20.07.2015, 20:17	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Hier noch eine Alternative: $\begin{align} \frac{1}{\cos^3 x} = \underbrace{\frac{1}{\cos^2 x}}_{= \frac{\dd}{\dd x} \left( \tan x \right)} \cdot \frac{1}{\cos x} \end{align}$ . Jetzt drückt man noch $\begin{align} \frac{1}{\cos x} \end{align}$ durch $\begin{align} \tan x \end{align}$ aus. Aus dem trigonometrischen Pythagoras $\begin{align} \cos^2 x + \sin^2 x = 1 \end{align}$ ergibt sich nach Division durch $\begin{align} \cos^2 x \end{align}$ die Beziehung $\begin{align} 1 + \tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x} \ \ \Leftrightarrow \ \ \frac{1}{\cos x} = \pm \sqrt{1 + \tan^2 x} \end{align}$ Und damit folgt: $\begin{align} \frac{1}{\cos^3 x} = \pm \left( \frac{\dd}{\dd x} \left( \tan x \right) \right) \cdot \sqrt{1 + \tan^2 x} \end{align}$ In Intervallen, in denen der Cosinus positiv ist, zum Beispiel für $\begin{align} x \in \left( - \frac{\pi}{2} \, , \, \frac{\pi}{2} \right) \end{align}$ , gilt das positive Vorzeichen, in Intervallen, in denen der Cosinus negativ ist, zum Beispiel für $\begin{align} x \in \left( \frac{\pi}{2} \, , \, \frac{3}{2} \pi \right) \end{align}$ , gilt das negative Vorzeichen. Man kommt jetzt mit der Substitution $\begin{align} t = \tan x \end{align}$ ans Ziel: $\begin{align} \int \frac{\dd x}{\cos^3 x} = \pm \int \sqrt{1 + t^2} ~ \dd t \end{align}$ Das letzte Integral kann man mit Standardmethoden bearbeiten (Boardsuche betätigen) oder in einer Formelsammlung nachschauen.
21.07.2015, 10:18	StrunzMagi	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke leopold, auch eine supa Lösungsmethode Danke IfindU für den Link LG, MaGi

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