Orthonormalbasis angeben

19.07.2015, 12:54

Jefferson1992

Auf diesen Beitrag antworten »

Orthonormalbasis angeben

Hallo,

Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} \frac{\sqrt{2}+2 }{4} & \frac{\sqrt{2}-2 }{4} & \frac{1}{2} \\ \frac{\sqrt{2}-2 }{4} & \frac{\sqrt{2}+2 }{4} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{2} }{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Bewiesen ist schon, dass die Matrix orthogonal ist und eine Spiegelung beschreibt.

Jetzt ist meine Aufgabe;

Geben Sie eine Orthonormalbasis B an, sodass:

$\begin{eqnarray*} B^{-1}*A*B=\begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich habe irgendwie keine Idee, wie ich das mache..

Danke für Tips und Ratschläge smile

smile

19.07.2015, 13:26

Guppi12

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

B besteht aus Eigenvektoren von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ , die paarweise orthogonal sind. Da das Ergebnis bereits bekannt ist, brauchst du die Eigenwerte dafür nicht einmal mehr zu bestimmen. Du suchst also einen normierten Eigenvektor zum Eigenwert $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ und schreibst ihn in die erste Zeile deiner Matrix. Dann bestimmst du den Eigenraum zum Eigenwert $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ und schreibst eine Orthonormalbasis davon in die 2. und 3. Spalte. Siehe da, $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ tut, was es soll. Ist dir klar, wieso?

19.07.2015, 13:44

Jefferson1992

Auf diesen Beitrag antworten »

Gibt es eine Möglichkeit es ohne Eigenvektoren zu machen?
Das besprechen wir erst im 2. Semester.

19.07.2015, 14:04

Guppi12

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Das besprechen wir erst im 2. Semester.

geschockt

Dann sollte so eine Aufgabe auch erst im 2. Semester gestellt werden..

Zitat:

Gibt es eine Möglichkeit es ohne Eigenvektoren zu machen?

Nein, gibt es nicht. Fakt ist, dass dort letzenendes die Eigenvektoren drin stehen müssen. Man kann zeigen, dass, wenn es eine invertierbare Matrix $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ gibt, so dass $\begin{eqnarray*} B^{-1}AB \end{eqnarray*}$ in Diagonalgestalt ist, dann müssen die Spalten von $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ bereits Eigenvektoren von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ gewesen sein. Ihr müsst also definitiv die Eigenvektoren bestimmen, nur wisst ihr nicht, dass ihr das tut und habt scheinbar auch keine Anleitung dafür.

Ob ihr nun andere Methoden habt um dann am Ende trotzdem Eigenvektoren da reinzuschreiben und ihr nur nicht wisst, dass es Eigenvektoren sind, weiß ich nicht. Da wäre es hilfreich, wenn du mal beschreibst, was ihr so zuletzt gemacht habt. Vielleicht kann ich dann noch einen anderen Tipp geben. Habt ihr schon irgendwas in die Richtung gemacht, dass ihr Matrizen mit anderen multipliziert um sie auf eine andere Form zu bringen?

(Letzenendes verlangt die Aufgabe ja nicht nach einem Rechenweg, die Matrix könnte also auch einfach vom Himmel fallen und du weist nur deren Eigenschaften nach Teufel

Teufel

(Das wäre bei der bescheurten Vorgehensweise, das, was ich machen würde, ob das allerdings dann wirklich so durchgeht, kann ich nicht sagen Augenzwinkern

Augenzwinkern

)

19.07.2015, 14:20

Jefferson1992

Auf diesen Beitrag antworten »

http://img5.fotos-hochladen.net/uploads/img2015071914hfjilbyec1.jpg

http://img5.fotos-hochladen.net/uploads/img201507191497dsz4qgrt.jpg

das ist das was wir dazu gemacht haben. Ich werde da nicht schlau draus..

19.07.2015, 14:46

Guppi12

Auf diesen Beitrag antworten »

Etwas hilfreiches für die Aufgabe kann ich darin auch nicht erkennen.

Vielleicht sollt ihr euch das für die Aufgabe nötige ja auch selbst überlegen. Mal ein paar Gedanken dazu:

Wir suchen eine orthogonale Matrix $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} B^{-1}AB = D \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ die angegeben Diagonalmatrix sein soll.

Für den $\begin{eqnarray*} j. \end{eqnarray*}$ Einheitsvektor schreibe ich $\begin{eqnarray*} e_j \end{eqnarray*}$ , weiter $\begin{eqnarray*} b_1,b_2,b_3 \end{eqnarray*}$ für die Spalten von $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ (dann gilt $\begin{eqnarray*} b_j = Be_j \end{eqnarray*}$ ). Außerdem $\begin{eqnarray*} d_1,d_2,d_3 \end{eqnarray*}$ für die Diagonaleinträge von $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ . Soviel zur Notation.

$\begin{eqnarray*} B^{-1}AB = D \end{eqnarray*}$ ist äquivalent zu $\begin{eqnarray*} AB = BD \end{eqnarray*}$ .
Daraus folgt insbesondere

$\begin{eqnarray*} Ab_j = A(Be_j) = AB(e_j) = BD(e_j) = B(De_j) = B(d_je_j) = d_jBe_j = d_jb_j \end{eqnarray*}$ . (Ich habe etwas mehr Klammern und Schritte gemacht, als nötig wären.) Wir haben nun also folgendes: A muss die erste Spalte von $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} b_1 \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} d_1b_1 = -b_1 \end{eqnarray*}$ abbilden. Analog folgt, dass $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ die zweite und dritte Spalte $\begin{eqnarray*} b_2,b_3 \end{eqnarray*}$ jeweils auf $\begin{eqnarray*} b_2,b_3 \end{eqnarray*}$ abbildet.

Damit können wir nun Gleichungssysteme für die Spalten von $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ aufstellen. Für die erste Spalte erhalten wir demnach $\begin{eqnarray*} Ax = -x \end{eqnarray*}$ als Gleichungssystem. Die erste Spalte ist dann eine Lösung davon.

(Wir müssen noch etwas mehr tun, aber das ist fürs erste denke ich genug Input, hast du es bis hier verstanden?)

Anzeige

19.07.2015, 15:36

Jefferson1992

Auf diesen Beitrag antworten »

also, wenn ich das richtig verstanden habe.

A bildet die erste Spalte von B auf $\begin{eqnarray*} d_{1}b_{1} \end{eqnarray*}$ ab.

Das würde ja bedeuten, $\begin{eqnarray*} d_{1} \end{eqnarray*}$ weiß ich ja, das ist ja angeben.

Also habe ich doch:

$\begin{eqnarray*} A(b_{1})=(-1,0,0)*b_{1} \end{eqnarray*}$ oder?

19.07.2015, 15:40

Guppi12

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} d_1 \end{eqnarray*}$ ist hier nicht der erste Spaltenvektor von $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ , sondern nur der erste Eintrag. Du hast also
$\begin{eqnarray*} A(b_{1})=-1*b_{1} \end{eqnarray*}$ . Ich habe mich im Post oben auch an ein paar Stellen verschrieben.

Dort habe ich aus Versehen $\begin{eqnarray*} d_1 = 1, d_2=-1, d_3=-1 \end{eqnarray*}$ angenommen, es ist natürlich umgekehrt. Ich werde das korrigieren.

19.07.2015, 16:02

Jefferson1992

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Orthonormalbasis angeben
ah okay.

Also hätte ich ein Gleichungssystem:

$\begin{eqnarray*} A(b_{1})=-b_{1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A(b_{2})=b_{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A(b_{3})=b_{3} \end{eqnarray*}$

Also:
$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} \frac{\sqrt{2}+2 }{4} & \frac{\sqrt{2}-2 }{4} & \frac{1}{2} \\ \frac{\sqrt{2}-2 }{4} & \frac{\sqrt{2}+2 }{4} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{2} }{2} \end{pmatrix}* \begin{pmatrix} b_{11} \\ b_{21} \\ b_{23} \end{pmatrix} =-\begin{pmatrix} b_{11} \\ b_{21} \\ b_{23} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

19.07.2015, 16:08

Guppi12

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Gleichungssysteme (es sind 3 Stück, nicht 1) hast du richtig aufgestellt, wobei du das für $\begin{eqnarray*} b_2,b_3 \end{eqnarray*}$ natürlich nur einmal lösen musst, es ist ja das gleiche. Die Gleichung danach verstehe ich nicht.

Wenn dort

$\begin{eqnarray*} Ab_1 =\begin{pmatrix} \frac{\sqrt{2}+2 }{4} & \frac{\sqrt{2}-2 }{4} & \frac{1}{2} \\ \frac{\sqrt{2}-2 }{4} & \frac{\sqrt{2}+2 }{4} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{2} }{2} \end{pmatrix}* \begin{pmatrix} b_{11} \\ b_{21} \\ b_{31} \end{pmatrix} =-\begin{pmatrix} b_{11} \\ b_{21} \\ b_{31} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ stehen würde, dann wäre es aber richtig. So kann ich mir den 3. Eintrag der Vektoren nicht ganz erklären.

19.07.2015, 16:13

Jefferson1992

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Guppi12

$\begin{eqnarray*} Ab_1 =\begin{pmatrix} \frac{\sqrt{2}+2 }{4} & \frac{\sqrt{2}-2 }{4} & \frac{1}{2} \\ \frac{\sqrt{2}-2 }{4} & \frac{\sqrt{2}+2 }{4} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{2} }{2} \end{pmatrix}* \begin{pmatrix} b_{11} \\ b_{21} \\ b_{31} \end{pmatrix} =-\begin{pmatrix} b_{11} \\ b_{21} \\ b_{31} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ stehen würde, dann wäre es aber richtig. So kann ich mir den 3. Eintrag der Vektoren nicht ganz erklären.

mein ich doch Big Laugh

Big Laugh

$\begin{eqnarray*} Ab_1 =\begin{pmatrix} \frac{\sqrt{2}+2 }{4} & \frac{\sqrt{2}-2 }{4} & \frac{1}{2} \\ \frac{\sqrt{2}-2 }{4} & \frac{\sqrt{2}+2 }{4} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{2} }{2} \end{pmatrix}* \begin{pmatrix} b_{11} \\ b_{21} \\ b_{31} \end{pmatrix} =-\begin{pmatrix} b_{11} \\ b_{21} \\ b_{31} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Ab_2 =\begin{pmatrix} \frac{\sqrt{2}+2 }{4} & \frac{\sqrt{2}-2 }{4} & \frac{1}{2} \\ \frac{\sqrt{2}-2 }{4} & \frac{\sqrt{2}+2 }{4} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{2} }{2} \end{pmatrix}* \begin{pmatrix} b_{12} \\ b_{22} \\ b_{32} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} b_{12} \\ b_{22} \\ b_{32} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Äquivalent ist $\begin{eqnarray*} Ab_3 \end{eqnarray*}$

19.07.2015, 16:17

Guppi12

Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig.

Äquivalent dazu (im erstens Fall) ist übrigens das Gleichungssystem $\begin{eqnarray*} (A+E)b_1 = 0 \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ die Einheitsmatrix darstellt. Ist dir bereits bekannt, dass die Lösungsmenge eines solchen Gleichungssystems immer ein Unterraum des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ ist?

19.07.2015, 16:25

Jefferson1992

Auf diesen Beitrag antworten »

Wir hatten Unterräume vor 2 Wochen, aber ich bin gerade am wiederholen und da bin ich erst morgen smile

smile

Aber ich kann gerne versuchen zu erklären warum es ein Unterraum ist:

Dazu muss ich zeigen, dass ein Element, z.B. der 0-Vektor existiert.

Das ist der Fall wenn $\begin{eqnarray*} b_1 =0 \end{eqnarray*}$ ist.

Dann muss ich zeigen, dass zwei Elemente addiert wieder im Unterraum sind.

Das sehe ich ja schon an dem $\begin{eqnarray*} A+E \end{eqnarray*}$ , dass das wieder da drin ist.

und 3. Skalare Multiplikation

Wenn $\begin{eqnarray*} (A+E)b_1=0 \end{eqnarray*}$ ist, dann auch $\begin{eqnarray*} \lambda*(A+E)b_1=0 \end{eqnarray*}$

fertig. War das richtig? Big Laugh

Big Laugh

19.07.2015, 16:31

Guppi12

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja. Ich wollte das ansprechen, weil es für den nächsten Schritt wichtig ist.

Du erhälst also jeweils für das erste Gleichungssystem und für das zweite einen Unterraum. Im ersten Fall wird dieser eindimensional sein und im zweiten Fall wird dieser zweidimensional sein. Damit $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ nun eine orthogonale Matrix wird, kannst du dir für die Spalten von $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ da nicht einfach irgendwie Elemente herausnehmen, es müssen ganz bestimmte sein, schließlich sollen die Spalten von $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ eine Orthonormalbasis bilden. Das geht wie folgt:

Für $\begin{eqnarray*} b_1 \end{eqnarray*}$ ist es einfach, weil der Lösungsraum eindimensional ist. Nimm dir einfach irgendein von Null verschiedenes Element und normiere es. Für $\begin{eqnarray*} b_2,b_3 \end{eqnarray*}$ musst du eine Orthonormalbasis aus dem Lösungsraum auswählen. Weißt du schon, wie das geht?

(Damit das dann insgesamt eine Orthonormalbasis ist, muss ja auch noch $\begin{eqnarray*} b_1 \end{eqnarray*}$ senkrecht auf $\begin{eqnarray*} b_2,b_3 \end{eqnarray*}$ stehen, obwohl wir garnichts unternommen haben, um das zu gewährleisten. Das ist hier dann aber automatisch der Fall, sonst wäre $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ nicht orthogonal. Du musst es am Ende natürlich trotzdem überprüfen, weil ihr diese Tatsache dann wohl noch nicht untersucht habt.)

19.07.2015, 16:44

Jefferson1992

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Für $\begin{eqnarray*} b_1 \end{eqnarray*}$ ist es einfach, weil der Lösungsraum eindimensional ist. Nimm dir einfach irgendein von Null verschiedenes Element und normiere es. Für $\begin{eqnarray*} b_2,b_3 \end{eqnarray*}$ musst du eine Orthonormalbasis aus dem Lösungsraum auswählen. Weißt du schon, wie das geht?

Ich bin mir nicht sicher..

$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{2}+2 }{4}*b_{11}+ \frac{\sqrt{2}-2 }{4}*b_{21}+\frac{1}{2}*b_{31}=-b_{11} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{2}-2 }{4}*b_{11}+ \frac{\sqrt{2}+2 }{4}*b_{21}+\frac{1}{2}*b_{31}=-b_{21} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}*b_{11}+ \frac{1}{2}*b_{21}+\frac{-\sqrt{2}}{2}*b_{31}=-b_{31} \end{eqnarray*}$

Wie löse ich das denn?

19.07.2015, 16:45

Guppi12

Auf diesen Beitrag antworten »

Bring erstmal alles auf eine Seite. Danach kannst du das Gaußverfahren anwenden.

Edit: Moment, du hast da auch nicht die richtigen Einträge stehen. Im ersten Gleichungssystem tauchen doch nur die Werte $\begin{eqnarray*} b_{11},b_{21},b_{31} \end{eqnarray*}$ auf, die anderen dürfen da garnicht stehen.

19.07.2015, 16:55

Jefferson1992

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke. hab es bearbeitet.

Werde es mal lösen smile

smile

dauert was.

mache es später. Danke erstmal smile

smile

Denke spätestens Dienstag stelle ich meine Lösung rein smile

smile

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »