Konvergenz Folgen

19.07.2015, 12:57	MatherKenner77	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz Folgen Meine Frage: Hallo, ich soll die Konvergenz beweisen und den Grenzwert bestimmen von folgender Folge: $\begin{eqnarray} n(\frac{8}{9})^{n} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: ich habe das Folgendermaßen gelöst: $\begin{eqnarray} = n\frac{8^{n}}{9^{n}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\frac{8^{n}n}{9^{n}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\frac{8^{n}}{\frac{9^{n}}{n}} \end{eqnarray}$ und da $\begin{eqnarray} 9^{n}>8^{n}>n \end{eqnarray*}$ müsste die Folge gegen 0 konvergieren!
19.07.2015, 16:03	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Konvergenz womöglich schon, aber der Grenzwert 0 ist so nicht sicher. Forme um zu $\begin{eqnarray} a_n = \frac n {(\frac 9 8)^n} \end{eqnarray}$ und lasse L'Hospital darüber. mY+
19.07.2015, 16:41	MatheKenner77	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah an L'Hospital hatte ich gar nicht gedacht! Ja dann ist klar! Vielen Dank!
19.07.2015, 18:48	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Alternativ mit Bernoulli Ungleichung $\begin{eqnarray} ( 1 + x )^n \geq 1 + nx \end{eqnarray}$ (unter den sinnvollen Voraussetzungen) mit $\begin{eqnarray} x = 0.1 \end{eqnarray}$ erhalten wir $\begin{eqnarray} 1.1^n \geq 1 + \frac n {10} \geq \frac n {10} \implies 10 \cdot 1.1^n \geq n \end{eqnarray}$ . Damit kann man dann auch direkt zum Grenzwert übergehen.
27.07.2015, 12:55	MatheKenner77	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, jetzt habe ich das hier gerade nochmal ausgegraben und den letzten Beitrag gefunden! Irgendwie verstehe ich den Ansatz mit der Bernoulli Ungleichung nicht so ganz! Soll ich für x jetzt 8/9 einsetzen? Also: $\begin{eqnarray} (1+\frac{8}{9})^{n} \geq 1+nx \end{eqnarray}$ oder was meinst du genau damit?
27.07.2015, 13:05	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe Bernoulli nur gebraucht um $\begin{eqnarray} n \leq 10 \cdot 1.1^n \end{eqnarray}$ zu zeigen. Nun kann man die Abschätzung direkt in $\begin{eqnarray} n \cdot 8^n \cdot 9^{-n} \end{eqnarray}$ benutzen (für das einsame n vor den Exponentialfunktionen.)
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27.07.2015, 13:24	Mathekenner77	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ist: $\begin{eqnarray} n8^{n}9^{-n}\leq 101,1^{n}8^{n}9^{-n} \end{eqnarray*}$ oder wie? und woher kommt das x=0,1 bei der bernoulli ungleichung?
27.07.2015, 13:37	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau. Und das x kam von "mir". Faktisch hätte ich jedes $\begin{eqnarray} 0 < x < \frac 1 8 \end{eqnarray}$ nehmen können, $\begin{eqnarray} x = 0.1 \end{eqnarray}$ war eine schöne Zahl, so gut wie jede andere.
27.07.2015, 16:36	MatheKenner77	Auf diesen Beitrag antworten »
also das die 0,1 ist einfach zum abschätzen! aber was bringt mir das denn jetzt?Muss ich das nach n auflösen, aber das geht doch kaum
27.07.2015, 19:28	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist $\begin{eqnarray} 10 \cdot 1.1^n \cdot 8^n \cdot 9^{-n} = 10\left( \frac { 8.8 } 9\right)^n \to 0 \end{eqnarray}$ . Mehr wollte ich nicht sagen.

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