Multivariate Statistik - Randdichte, Erwartungswert, Varianz, Kovarianz

19.07.2015, 13:07	cliff25	Auf diesen Beitrag antworten »
Multivariate Statistik - Randdichte, Erwartungswert, Varianz, Kovarianz Gegeben ist folgende gemeinsame Dichtefunktion zweier unabhängig verteilter Zufallsvariablen: $\begin{eqnarray} f(x,y)=0.75-0.5x+1.5y-xy \end{eqnarray}$ wobei x und y ausschließlich Werte im Intervall [0;1] annehmen. a) Geben Sie jeweils die Randdichte von x und y an. b) Wie hoch ist der Erwartungswert von x bzw. y? c) Wie hoch ist der Erwartungswert des Produkts von x und y? d) Wie hoch ist die Varianz von x bzw. y? Zu a) hier müsste ich einfach $\begin{eqnarray} \int_{0}^{1} \! f(x,y) \, dx \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \int_{0}^{1} \! f(x,y) \, dy \end{eqnarray}$ ausrechnen, also: $\begin{eqnarray} f(x)=1.5-x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f(y)=0.5+y \end{eqnarray}$ Zu b) Das wäre dann wohl das Integral aus Randdichte * x (bzw. y) $\begin{eqnarray} \int_{0}^{1} \! xf(x) \, dx \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \int_{0}^{1} \! xf(y) \, dy \end{eqnarray}$ Und damit: $\begin{eqnarray} E(X)=0.417 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} E(y)=0.583 \end{eqnarray}$ Bei c) und d) weiß ich leider nicht mehr weiter. Vielen Dank für jede Hilfe!
19.07.2015, 23:21	Nullmenge	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Multivariate Statistik - Randdichte, Erwartungswert, Varianz, Kovarianz Hallo, ich habe jetzt zwar die Zahlenwerte nicht nachgerechnet, aber deine Ansätze sehen soweit gut aus. c) Die Zufallsvariablen X und Y (wobei X die Dichte f(x) und Y die Dichte f(y) haben) sind unabhängig, da $\begin{eqnarray} f(x,y)=f(x)\cdot f(y) \end{eqnarray}$ . Damit gilt $\begin{eqnarray} \mathbb E(XY)=\mathbb E(X)\cdot\mathbb E(Y) \end{eqnarray}$ d) $\begin{eqnarray} Var(X)=\mathbb E(X^2)-\mathbb E(X)^2 \end{eqnarray}$ . Letzteres hast du schon, musst du nur noch Quadrieren. Berechnen musst du noch $\begin{eqnarray} \mathbb E(X^2)=\int\limits_0^1x^2f(x)\ \mathrm dx \end{eqnarray}$
19.07.2015, 23:24	Nullmenge	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Multivariate Statistik - Randdichte, Erwartungswert, Varianz, Kovarianz Hab jetzt deine Ideen nachgerechnet und sie stimmen. Nur ein Tippfehler ist bei dir drin: $\begin{eqnarray} \int_{0}^{1} \! yf(y) \, dy \end{eqnarray}$ statt $\begin{eqnarray} \int_{0}^{1} \! xf(y) \, dy \end{eqnarray}$
20.07.2015, 00:39	cliff25	Auf diesen Beitrag antworten »
Besten Dank, wie ich mittlerweile herausgefunden habe geht bei c) auch: $\begin{eqnarray} E(XY)=\int_{0}^{1} \! \int_{0}^{1} \! xyf(x,y) \, dx \, dy \end{eqnarray}$
20.07.2015, 00:43	Nullmenge	Auf diesen Beitrag antworten »
So ist es allgemeiner. Aber wegen der Unabhängigkeit kannst du dir hier das Leben leichter machen.

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