Stammfunktion - Verschiedene Ergebnisse mit verschiedenen Methoden?

19.07.2015, 13:40

xCuse

Stammfunktion - Verschiedene Ergebnisse mit verschiedenen Methoden?

Meine Frage:
Hallo liebes Matheboard,
gegeben ist folgende Aufgabenstellung:
Gesucht ist eine Funktion $\begin{eqnarray*} F(x ) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} F(1)=0 \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} F'(x)=x*(x+10)^4 \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Letztendlich muss bei einer solchen Aufgabe ja das C der Stammfunktion F(x) gefunden werden. Dafür hab ich unterschiedliche Lösungsansätze die wir in der Hochschule erlernt haben verwendet. Das Problem hierbei ist, dass ich durch die partielle Integration und durch die Substitution auf das selbe C komme, mir mein Taschenrechner einen anderen Wert für C liefert, den ich durch eigenhändiges ausmultiplizieren der Aufgabe auch erhalte. Die Frage wäre nun wieso sich die Werte von einander unterscheiden, bzw. ob ich mich vielleicht irgendwo verrechnet habe. Ich schreibe euch hier mal die Rechnungen auf:

Partielle Integration:
$\begin{eqnarray*} \int \! x*(x+10)^4 \, dx \Rightarrow u=x;\quad u'=1;\quad v'=(x+10)^4;\quad v=\frac{(x+10)^5}{5} \Rightarrow \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{x*(x+10)^5}{5} -\int \! 1*\frac{/x+10)^5}{5} \, dx = \frac{x}{5} *(x+10)^5 -\frac{(x+10)^6}{30}+C \Rightarrow F(1)=0\Rightarrow C=26841,8 \end{eqnarray*}$

Substitution:
$\begin{eqnarray*} u=x+10;\quad \frac{du}{dx}=1;\quad dx=du;\quad x=u-10 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int \! x*(x+10)^4 \, dx =\int \! (u-10)*u^4 \, du =\int \! u^5-10u^4 \, du =\frac{u^6}{6}-\frac{10u^5}{5}+C =\frac{u^6}{6} -2u^5 +C\Rightarrow F(1)=0\Rightarrow C=26841,8 \end{eqnarray*}$

Taschenrechner:
Ergebnis: $\begin{eqnarray*} C=-6491,5 \end{eqnarray*}$

Ergebnis durch ausmultiplizieren:
$\begin{eqnarray*} x*(x+10)^4=x^5+40x^4+600x^3+4000x^2+10000x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int \! x^5+40x^4+600x^3+4000x^2+10000x \, dx =\frac{x^6}{6} +\frac{40x^5}{5}+\frac{600x^4}{4} +\frac{4000x^3}{3} +\frac{10000x^2}{2}+C =\frac{x^6}{6} +8x^5+150x^4 +\frac{4000x^3}{3} +5000x^2+C \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} F(x)=\frac{x^6}{6} +8x^5+150x^4 +\frac{4000x^3}{3} +5000x^2+C \Rightarrow F(1)=0 \Rightarrow C=-6491,5 \end{eqnarray*}$

Wäre nett wenn mir jemand erklären könnte wieso ich da verschiedene Ergebnisse bekomme, oder die Stelle an der ich mich eventuell verrechnet habe.

Vielen Danke schon mal smile

19.07.2015, 14:01

Mathema

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Löse doch mal diesen Term auf:

$\begin{eqnarray*} \frac{x}{5} *(x+10)^5 -\frac{(x+10)^6}{30} \end{eqnarray*}$

Du erhältst:

$\begin{eqnarray*} \frac{x^6}{6}+8x^5+150x^4+\frac{4000}{3}x^3+5000x^2\textcolor{red}{-\frac{100000}{3}} \end{eqnarray*}$

Hast du nun eine Erklärung?

edit:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} C=26841,8 \end{eqnarray*}$

Das Gleichheitszeichen ist hier übrigens verkehrt.

19.07.2015, 15:32

xCuse

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Tut mir Leid, aber ich verstehe das trotzdem nicht. Wenn ich meine Stammfunktion habe, die bei der partiellen Integration wie folgt lautet:
$\begin{eqnarray*} \frac{x}{5} *(x+10)^5 -\frac{(x+10)^6}{30}+C \end{eqnarray*}$
Dann ist es doch zunächst egal ob ich den Term auflöse oder nicht, da dies bereits meine Stammfunktion ist, die ich durch die partielle Integration ermittelt habe. Und wenn ich nun F(1)=0 auflösen will dann kann ich auch genau in die Stammfunktion oben meinen Wert x=1 einsetzen, was zu folgendem Ergebnis führt:
$\begin{eqnarray*} 0=\frac{1}{5} *(1+10)^5 -\frac{(1+10)^6}{30}+C \Rightarrow 0=\frac{-161051}{6}+C\Rightarrow C=26841,8 \end{eqnarray*}$

Das ich das hier
$\begin{eqnarray*} \frac{x^6}{6}+8x^5+150x^4+\frac{4000}{3}x^3+5000x^2\textcolor{red}{-\frac{100000}{3}} \end{eqnarray*}$
beim ausmultiplizieren erhalte hilft mir auch wenig, da mir der Taschenrechner als Stammfunktion folgendes liefert:
$\begin{eqnarray*} F(x)=\frac{x^6}{6} +8x^5+150x^4 +\frac{4000x^3}{3} +5000x^2 \end{eqnarray*}$
und das von dir rot geschriebene erst gar nicht drin vorkommt.
Und das ist auch der Knackpunkt den ich nicht verstehe. Solange mir keiner sagt das die von mir durch partielle Integration errechnete Stammfunktion falsch ist (ungeachtete ob der Term aufgelöst ist oder eben nicht) kann ich hier für mich selbst die Frage nicht beantworten warum meine Stammfunktion durch partielle Integration (als auch die mit Substitution) einen anderen Wert liefert als der Taschenrechner.

19.07.2015, 15:38

Mathema

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Du hast keinen Fehler. Beide Stammfunktionen sind richtig, sie unterscheiden sich nur durch einen konstanten Wert, nämlich meinen rot gekennzeichneten.

Rechne doch mal folgendes:

$\begin{eqnarray*} \frac{161051}{6}-\frac{100000}{3} \end{eqnarray*}$

Du wirst überrascht sein, was dort für dein Ergebnis rauskommt. Augenzwinkern

19.07.2015, 15:55

xCuse

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Okay, ich sehe jetzt das da letztendlich der selbe Wert rauskommt, wenn man den von dir rot gekennzeichneten Teil mit berechnet smile

Mir stellt sich jetzt jedoch die Frage, was das richtige Ergebnis für C ist.
Laut TR und auflösen wäre es wohl der Wert von -6491,5. Aber wie erkennt man denn sowas?
Ich hab jetzt in der Beispielaufgabe Zeit gehabt um sie mit verschiedensten Methoden durchzurechnen und durch den TR erkannt das die Ergebnisse unterschiedlich sind um anschließend hier zu fragen.
Aber was ist wenn dies eine Klausurfrage wäre wo ich unter Zeitdruck stehe und dann mit der Stammfunktion, welche ich nicht ausmultipliziert habe, rechne?
Wenn man dann den Wert des TR's als Vergleich nimmt und die Stammfunktion nicht ausmultipliziert die man sich durch partielle Integration errechnet hat sind das dann folglich keine Punkte in der Klausur oder ?

19.07.2015, 16:04

Mathema

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Nun ja - keine Punkte würde ich nun nicht sagen. Du musst dir halt einen Überblick verschaffen, ob noch konstante Werte in deinem Funktionsterm vorhanden sind. Das sieht man ja recht schnell. Das erste Produkt besitzt diese nicht, da der erste Faktor $\begin{eqnarray*} \frac{x}{5} \end{eqnarray*}$ lautet, das zweite Produkt lieferst noch den konstanten Wert $\begin{eqnarray*} -\frac{10^6}{30} \end{eqnarray*}$ . Das ist nicht wirklich schwierig zu erkennen, oder?

Gibst du als Ergebnis $\begin{eqnarray*} F(x)=\frac{x}{5} \cdot (x+10)^5 -\frac{(x+10)^6}{30}+\frac{161051}{6} \end{eqnarray*}$ an, ist es ja auch nicht verkehrt. Da bekommst du sicherlich volle Punktzahl in der Klausur.

Wink

19.07.2015, 16:08

xCuse

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Okay, also schön in den Kopf einprägen, dass man sowas im Eifer des Gefechts mit der Klausur nicht übersieht Big Laugh

Vielen Dank an dich für deine Mühe und Hilfe smile

19.07.2015, 16:10

Mathema

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Wie gesagt, wenn du es nicht erkennst und richtig fortsetzt, ist es auch nicht verkehrt.

Gern geschehen!

Dir noch einen schönen Sonntag.

Wink

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