Unstetigkeit beweisen

19.07.2015, 13:42

credibil

Unstetigkeit beweisen

Hallo zusammen,

ich möchte mithilfe des Folgenkriteriums zeigen, dass eine Funktion an der Stellt $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ unstetig ist. Ich würde gerne wissen, ob ich mit meiner Lösung da richtig argumentiert habe.

Ich möchte also zeigen:

f ist stetig an der Stellt $\begin{eqnarray*} x_0 = 0 \end{eqnarray*}$ , gdw:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } a_n = 0 = \lim_{x \to \infty } f(x_n) = f(0) \end{eqnarray*}$

Sei $\begin{eqnarray*} f(x) = \begin{cases} 1/(x-1) & x <0 \\ 1/(x+1) & x >= 0\end{cases} \end{eqnarray*}$

Sei $\begin{eqnarray*} (a_n) = 1/n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (b_n) = -1/n \end{eqnarray*}$ , dann gilt:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} f(1/n) = 1 = f(0) = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} f(-1/n) = -1 \neq f(0) = 1 \end{eqnarray*}$

Somit ist das nicht für alle Folgen gültig und somit nicht stetig!

Alternativ hätte ich auch einfach zeigen können, dass kein Grenzwert am dem Punkt 0 existiert, oder? Das schließt ja dann gleichzeitig die Stetigkeit aus.

19.07.2015, 15:56

Guppi12

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Hallo,

Zitat:

f ist stetig an der Stellt $\begin{eqnarray*} x_0 = 0 \end{eqnarray*}$ , gdw:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } a_n = 0 = \lim_{x \to \infty } f(x_n) = f(0) \end{eqnarray*}$

Du musst sagen, was $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ sein soll und was $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ sein soll. Und mindestens ein Gleichheitszeichen ist da zu viel, außerdem hast du die falsche Variable im Limes. Einfach in Worte fassen, was du meinst, nicht so auf Formeln versteift sein. Richtig wäre:

Für jede Folge $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}a_n=0 \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}f(a_n) = f(0) \end{eqnarray*}$ .

Das, was du danach machst, ist richtig bis auf die falsche Variable im Limes. Es reicht aber eigentlich, die Folge $\begin{eqnarray*} (b_n) \end{eqnarray*}$ zu betrachten. Die andere ist unnötig und widerlegt auch nichts. Wenn ich das korrigieren würde, würde ich mir außerdem wünschen, dass du noch begründest, warum $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} f(-1/n) = -1 \end{eqnarray*}$ gilt.

Zitat:

Alternativ hätte ich auch einfach zeigen können, dass kein Grenzwert am dem Punkt 0 existiert, oder? Das schließt ja dann gleichzeitig die Stetigkeit aus.

Das ist genau das, was du oben getan hast, nur anders formuliert.

19.07.2015, 18:06

credibil

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Dankeschön! smile

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