Menge skizzieren mit Sinus und Cosinus

20.07.2015, 22:02

Seppelkoi

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Menge skizzieren mit Sinus und Cosinus

Meine Frage:
Howdy, ich denke, ihr werdet mich hier jetzt noch öfters sehen *schwitz*

Meine Aufgabe ist folgende:

Es sei B die Teilmenge von R2, die zwischen der Funktion y = cos(x) und der Funktion y = sin(x) für $\begin{eqnarray*} -\frac{\pi }{2} \leq x \leq \frac{\pi }{4} \end{eqnarray*}$ liegt.

(a) Skizzieren Sie die Menge B.
(b) Berechnen Sie $\begin{eqnarray*} \int_{B} \! 2(y-sin(x)) \, d(x,y) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich hab mal ein Bild hochgeladen, wo ich die Menge B eingezeichnet hätte. Ich bin von R2 etwas irritiert, da ich nicht weiß, ob das Auswirkungen auf die Menge hat (nicht steinigen bitte).

[attach]38772[/attach]

Beim Integral mache ich es erstmal kurz, ich hab da $\begin{eqnarray*} \frac{10\pi ^2}{32} + \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ raus. Kann das stimmen?

Ich habe echt gar keinen Bezug auf R2 genommen, deswegen vermute ich, dass das vollkommen falsch ist. Ich habe keine Lösung für die Aufgabe vom Prof bekommen.

Für das Integral habe ich als Grenzen $\begin{eqnarray*} -\frac{\pi }{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{\pi }{4} \end{eqnarray*}$ genommen.

Ich bin für jede Hilfe dankbar Big Laugh

Big Laugh

20.07.2015, 22:13

magic_hero

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RE: Menge skizzieren mit Sinus und Cosinus

Zitat:

Original von Seppelkoi
Ich hab mal ein Bild hochgeladen, wo ich die Menge B eingezeichnet hätte. Ich bin von R2 etwas irritiert, da ich nicht weiß, ob das Auswirkungen auf die Menge hat (nicht steinigen bitte).

Die Menge liegt halt in der Ebene, ist also Teilmenge des $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ . Deine Skizze sieht so weit okay aus, du solltest aber besser noch markieren (z.B. durch Schraffieren), was genau B ist.

Zitat:

Original von Seppelkoi
Beim Integral mache ich es erstmal kurz, ich hab da $\begin{eqnarray*} \frac{10\pi ^2}{32} + \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ raus. Kann das stimmen?

Da habe ich etwas anderes.

Zitat:

Original von Seppelkoi
Für das Integral habe ich als Grenzen $\begin{eqnarray*} -\frac{\pi }{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{\pi }{4} \end{eqnarray*}$ genommen.

Über was hast du denn dann integriert? verwirrt

verwirrt

Jedenfalls liegt hier natürlich eine Integration im Mehrdimensionalen vor, du integrierst ja über die Menge B, eine Teilmenge des $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ . Vielleicht hast du schon mal etwas vom Integrieren über Normalbereichen gehört? Das musst du hier machen.

22.07.2015, 14:19

Seppelkoi

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Nein, hab noch nie mehrdimensional Integriert, deswegen ist das auch falsch *schwitz*

Ich versuche mich mal daran und gebe Rückmeldung, danke!

22.07.2015, 14:50

Seppelkoi

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Ok... Also ich hab jetzt ne ganze Weile daran rumprobiert und ich bekomme einfach keinen Ansatz hin. Ich hab gegoogelt und rausgefunden, dass es wohl bestimmte Gesetze für mehrdimensionale Integrale gibt.

Kann ich denn die Regel

$\begin{eqnarray*} \int_{B}^{} \! f(x,y) \, d(x,y)= \int_{x=a}^{b} \int_{y=g(x)}^{h(x)} \! f(x,y) \, d(x,y) \end{eqnarray*}$

hier in diesem Fall anwenden? Es steht, dass diese Regel gilt wenn

$\begin{eqnarray*} B = {(x,y) | a\leq x\leq b , g(x)\leq y\leq h(x)} \end{eqnarray*}$

die Frage ist: Ist dies hier der Fall? Für x auf jeden Fall. Für y weiß ich es nicht. Ich hab dann versucht, das doppelte Integral aufzustellen, kam aber zu keinem vernünftigen, rechenbaren Kram.

Kann mir jemand mit einem Ansatz unter die Arme greifen und mir sagen, warum ich genau diesen Ansatz hier verwenden muss?

Vielen Dank

22.07.2015, 14:56

klarsoweit

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Zitat:

Original von Seppelkoi
Es steht, dass diese Regel gilt wenn

$\begin{eqnarray*} B = {(x,y) | a\leq x\leq b , g(x)\leq y\leq h(x)} \end{eqnarray*}$

die Frage ist: Ist dies hier der Fall?

Im Prinzip ja. Du mußt natürlich a und b sowie g(x) und h(x) korrekt wählen.

Zitat:

Original von Seppelkoi
Ich hab dann versucht, das doppelte Integral aufzustellen, kam aber zu keinem vernünftigen, rechenbaren Kram.

Dann mußt du mal posten, was du gerechnet hast.

22.07.2015, 15:42

Seppelkoi

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Ich hänge das mal als Bild an, so gut bin ich in Latex nicht.

Ich hoffe, man kann meine Schrift lesen!

[attach]38782[/attach]

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22.07.2015, 16:02

klarsoweit

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RE: Menge skizzieren mit Sinus und Cosinus
1. Ab der 3. Zeile ist das "dx" entschwunden.

2. Mein Hinweis, g(x) und h(x) korrekt zu wählen, kam nicht von ungefähr. Wenn du mal auf deinen Plot schaust, wird klar, daß sin(x) die untere und cos(x) die obere Grenze ist.

3. sin(x) * sin(x) = sin²(x²) ist grober Unfug. Fasse mal alles ordentlich zusammen und beachte auch den trigonometrischen Pythagoras.

24.07.2015, 12:04

Seppelkoi

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Sorry, aber ich hab keine Ahnung, was du meinst.

Ist der Ansatz denn richtig? Was gibt denn dann Sinus x mal Sinus x?

Ich hab keinen Plan.

24.07.2015, 12:14

klarsoweit

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Zitat:

Original von Seppelkoi
Sorry, aber ich hab keine Ahnung, was du meinst.

Rede ich so undeutlich? verwirrt

verwirrt

Hier das Integral, das zu berechnen ist:

$\begin{eqnarray*} \int_{-\pi/2}^{\pi/4} \int_{sin(x)}^{cos(x)} (y-sin(x)) ~dydx \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Seppelkoi
Was gibt denn dann Sinus x mal Sinus x?

Es ist $\begin{eqnarray*} a \cdot a = a^2 \end{eqnarray*}$ . Jetzt setze a = sin(x) ein.

26.07.2015, 13:57

Seppelkoi

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Also, nach vielen Rumprobieren:

Mein Ergebnis ist NULL!

Kann das stimmen? Vielen Dank im Voraus.

27.07.2015, 08:34

klarsoweit

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Es wäre schön, wenn du auch deine Rechnung gepostet hättest. Das erspart zum einen das Nachrechnen und zum anderen erleichtert es auch die Fehlersuche (ich komme nämlich auf ein anderes Ergebnis).

27.07.2015, 17:22

Seppelkoi

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So, dann werde ich nochmal alles aufschreiben:

$\begin{eqnarray*} \int_{B}^{} \! 2(y-sin(x)) \, dxdy = 2 * \int_{-\frac{\pi }{2} }^{\frac{\pi}{4} }\int_{sin(x)}^{cos(x)} \! y-sin(x) \, dxdy = 2 * \int_{-\frac{\pi }{2} }^{\frac{\pi}{4} } \! [\frac{1}{2} cos^2(x) + cos(x)]-[\frac{1}{2} sin^2(x) + cos(x)] \, dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = 2 * \int_{-\frac{\pi }{2} }^{\frac{\pi}{4} } \! \frac{1}{2} cos^2(x) - \frac{1}{2} sin^2(x)\, dx = 2 * ( [\frac{1}{6} sin^3(\frac{\pi}{4}) + \frac{1}{6} cos^3(\frac{\pi}{4})] - [\frac{1}{6} sin^3(-\frac{\pi}{2}) + \frac{1}{6} cos^3(\frac{\pi}{2})] \end{eqnarray*}$

BITTE NICHT STEINIGEN, ich hab einfach nicht so viel Erfahrung mit Integralen.

Ist das bis hier hin richtig?

Edit Guppi12: Zeilenumbruch eingefügt, um Überbreite zu vermeiden.

27.07.2015, 17:50

magic_hero

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Zitat:

Original von Seppelkoi
$\begin{eqnarray*} \int_{B}^{} \! 2(y-sin(x)) \, \textcolor{red}{d(x,y)} = 2 * \int_{-\frac{\pi }{2} }^{\frac{\pi}{4} }{\int_{sin(x)}^{cos(x)} \! y-sin(x) \, \textcolor{red}{dydx}} = 2 * \int_{-\frac{\pi }{2} }^{\frac{\pi}{4} } \! [\frac{1}{2} cos^2(x) + cos(x)]-[\frac{1}{2} sin^2(x) + cos(x)] \, dx =... \end{eqnarray*}$

Neben den rot markierten Stellen stimmt es ab da nicht. Du bildest die Stammfunktion falsch, $\begin{eqnarray*} \sin(x) \end{eqnarray*}$ ist eine Konstante bezüglich y!

Berechne zunächst noch einmal das innere Integral korrekt, also
$\begin{eqnarray*} \int_{sin(x)}^{cos(x)} \! y-sin(x) \, dy \end{eqnarray*}$ .

27.07.2015, 19:37

Seppelkoi

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Oh mein Gott, das stimmt ja, ich habe die ganze Zeit auch sin(x) "aufgeleitet", obwohl das bei dy gar nicht erlaubt ist! Vielen Dank, das ist mir vorher nie aufgefallen.

In meiner Schule (Fachabitur) ging es leider nie über die einfachsten Integrale überhaupt hinaus, deswegen fällt mir diese Thematik extrem schwer in der Uni.

Die Stammfunktion wäre dann $\begin{eqnarray*} y-\sin(x) = \frac{1}{2} y^2 - \sin(x) *y \end{eqnarray*}$

richtig? Nur, dass dieser Schritt mal richtig ist smile

smile

27.07.2015, 19:43

Seppelkoi

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Ups, oben sollte natürlich kein "=" dazwischen, sondern ein Pfeil! Ich bitte, dies zu entschuldigen.

28.07.2015, 08:42

klarsoweit

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Zitat:

Original von Seppelkoi
Die Stammfunktion wäre dann $\begin{eqnarray*} y-\sin(x) = \frac{1}{2} y^2 - \sin(x) *y \end{eqnarray*}$

richtig? Nur, dass dieser Schritt mal richtig ist smile

smile

Ist richtig, wenn wir mal das Gleichheitszeichen als "Pfeil" interpretieren. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Das war übrigens auch schon auf deinem gescannten Arbeitsblatt richtig. Ich hatte da (leider vergebens) nur versucht, darauf aufmerksam zu machen, daß die Integralgrenzen falsch herum notiert waren. smile

smile

30.07.2015, 17:11

Seppelkoi

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Ok... Ich hab jetzt so ewig lange herumprobiert und ich komme einfach zu keinem Ergebnis...

Kann mir jemand bitte bitte einfach mal eine Lösung geben, was rauskommt?

Ich habe einmal Null und einmal $\begin{eqnarray*} \frac{4}{12\sqrt{2} } - \frac{4}{6} \end{eqnarray*}$ raus...
Null schien für mich erst irgendwie cool, war es ja dann aber doch nicht.

Das letztere Ergebnis habe ich nun nach den verschiedenen Korrekturvorgängen raus, kann aber auch sein, dass ich mittlerweile für die Aufgabe die Nerven verloren habe unglücklich

unglücklich

30.07.2015, 18:04

magic_hero

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Zitat:

Original von Seppelkoi
Kann mir jemand bitte bitte einfach mal eine Lösung geben, was rauskommt?

Ja, nämlich $\begin{eqnarray*} \frac{3 \pi}{4} + \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ . Weiß aber nicht, was dir das jetzt bringen soll.

Daher mal noch ein Zwischenergebnis, nämlich nur das innere Integral (ohne Rechenschritte):
$\begin{eqnarray*} \int_{\sin(x)}^{\cos(x)} y-\sin(x) dy = \frac{1}{2} - \sin(x) \cos(x) \end{eqnarray*}$
Hast du das auch so (evtl. nach Vereinfachen)? Wenn nicht, liegt der Fehler schon irgendwo am Anfang.

31.07.2015, 10:24

Seppelkoi

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Dann bin ich zu blöd dazu, das Integral mit Grenzen richtig zu verinfachen.

Im Ursprungszustand habe ich:

$\begin{eqnarray*} \int_{sin(x)}^{cos(x)} \! y-sin(x) \, dy = [\frac{1}{2} sin^2(x) - sin(x) * sin(x)] - [\frac{1}{2} cos^2(x) - sin(x) * cos(x)] \end{eqnarray*}$

Wie da jetzt dann dein oben genanntes Zwischenergebnis rauskommen soll, erschließt sich mir nicht.
Ich bin einfach voll die Pfeife.

31.07.2015, 11:29

klarsoweit

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Zitat:

Original von Seppelkoi
Im Ursprungszustand habe ich:

$\begin{eqnarray*} \int_{sin(x)}^{cos(x)} \! y-sin(x) \, dy = [\frac{1}{2} sin^2(x) - sin(x) * sin(x)] - [\frac{1}{2} cos^2(x) - sin(x) * cos(x)] \end{eqnarray*}$

Du solltest einfach nicht zu viele Schritte auf einmal machen. Richtig ist:

$\begin{eqnarray*} \int_{sin(x)}^{cos(x)} \! y-sin(x) \, dy = [\frac{1}{2} cos^2(x) - sin(x) \cdot cos(x)] - [\frac{1}{2} sin^2(x) - sin^2(x)] \end{eqnarray*}$

Die Kunst ist, dieses ordentlich zusammenzufassen: also erstmal den sin²-Term zusammenfassen und die Klammer auflösen. Und noch ein wichtiger Hinweis auf eine Gleichung, die man aus der Schule kennen sollte:
$\begin{eqnarray*} sin^2(x) + cos^2(x) = 1 \end{eqnarray*}$ smile

smile

31.07.2015, 15:50

Seppelkoi

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Ok, das mit der Identität von Sinus und Cosinus wusste ich nicht...

Ist dann 1/2sin^2(x) + 1/2cos^2(x) = 1/2?

Sorry für kein Latex, bin grad unterwegs.

31.07.2015, 21:19

magic_hero

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Ja, ist korrekt.

02.08.2015, 21:35

Seppelkoi

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Also, nachdem ich jetzt gefühlt einen ganzen Block nur für diese Aufgabe vollgeschrieben habe, nun beim partiellen Integrieren nicht mehr weiter komme und generell keinen Plan habe, gebe ich auf. Selbst nach Einsatz eines Integralrechners und einfachem Einsetzen der Grenzen komme ich nicht auf das Ergebnis.

Ich bedanke mich für die tolle Hilfe hier, aber es nutzt alles nichts, ich komm einfach nicht drauf.

03.08.2015, 08:27

Leopold

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Dann hier eine vollständige Lösung zum Abschluß.

$\begin{align*} \int_B 2 \left( y - \sin x \right) ~ \dd (x,y) = \int_B 2y ~ \dd (x,y) \ - \ \int_B 2 \sin x ~ \dd (x,y) = \int \limits_{- \frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{4}} \int \limits_{\sin x}^{\cos x} 2y ~ \dd y ~ \dd x \ - \ \int \limits_{- \frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{4}} \int \limits_{\sin x}^{\cos x} 2 \sin x ~ \dd y ~ \dd x \end{align*}$

$\begin{align*} = \int \limits_{- \frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{4}} \left( \cos^2 x - \sin^2 x \right) ~ \dd x \ - \ \int \limits_{- \frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{4}} 2 \sin x \cdot \left( \cos x - \sin x \right) ~ \dd x = \int \limits_{- \frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{4}} \left( \cos^2 x - \sin^2 x - 2 \sin x \cos x + 2 \sin^2 x \right) ~ \dd x \end{align*}$

$\begin{align*} = \int \limits_{- \frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{4}} \left( 1 - 2 \sin x \cos x \right) ~ \dd x = \int \limits_{- \frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{4}} \dd x \ - \ \int \limits_{- \frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{4}} 2 \sin x \cos x ~ \dd x = \frac{3}{4} \pi - \left. \sin^2 x \ \right|_{- \frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{4}} \end{align*}$

$\begin{align*} = \frac{3}{4} \pi - \left( \frac{1}{2} - 1 \right) = \frac{3}{4} \pi + \frac{1}{2} \end{align*}$

05.08.2015, 17:29

Seppelkoi

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Ich raffe die zweite Zeile immer noch nicht... Ich mache mir langsam ernsthafte Gedanken darüber, mein Studium abzubrechen.

Wenn ich die Grenzen einsetze komme ich auf

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{} \! [2*(-cos(cos(x))] - [2*(-cos(sin(x))] \, dx \end{eqnarray*}$

Also nach dem Minus... Die Grenzen sind mir auch bekannt, ich will nur net jedes mal alles neu eintippen.

Wie zur Hölle machst du aus dem Kram dann dein Ergebnis der zweiten Zeile? Was hab ich denn bitte verpasst, dass ich sowas net kapiere? Ich glaube ich geh in meine alte Schule und hau dem Mathe Lehrer aufs Maul.

Ich fühl mich so dumm wie ein Stück Brot.

05.08.2015, 17:39

HAL 9000

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Du sprichst über das innere Integral $\begin{align*} \int\limits_{\sin(x)}^{\cos(x)} 2\sin(x) ~ \dd y \end{align*}$ ?

Anscheinend verwechselst du da $\begin{align*} x \end{align*}$ und $\begin{align*} y \end{align*}$ :

Für $\begin{align*} \int\limits_{\sin(x)}^{\cos(x)} 2\sin({\color{red}y}) ~ \dd y \end{align*}$ wäre dein Wert $\begin{align*} 2(-\cos(\cos(x)))-2(-\cos(\sin(x))) \end{align*}$ durchaus richtig, aber darum geht es hier nicht!!!

Bzgl. der $\begin{align*} y \end{align*}$ -Integration ist der wirkliche Integrand $\begin{align*} 2\sin({\color{red}x}) \end{align*}$ eine Konstante, daher ist das

$\begin{align*} \int\limits_{\sin(x)}^{\cos(x)} 2\sin(x) ~ \dd y = \Big[ 2\sin(x)\cdot y \Big]_{y=\sin(x)}^{\cos(x)} = 2\sin(x)\cos(x)-2\sin^2(x) \end{align*}$

in Leopolds Rechnung natürlich richtig.

Zitat:

Original von Seppelkoi
Ich glaube ich geh in meine alte Schule und hau dem Mathe Lehrer aufs Maul.

Du hast Glück, dass ich diesen deinen Ausraster erst jetzt lese, ansonsten hätte ich mir die Mühe oben gar nicht gemacht. Finger2

Finger2

05.08.2015, 17:41

Seppelkoi

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Zitat:

Original von HAL 9000
Du sprichst über das innere Integral $\begin{align*} \int\limits_{\sin(x)}^{\cos(x)} 2\sin(x) ~ \dd y \end{align*}$ ?

Anscheinend verwechselst du da $\begin{align*} x \end{align*}$ und $\begin{align*} y \end{align*}$ :

Für $\begin{align*} \int\limits_{\sin(x)}^{\cos(x)} 2\sin({\color{red}y}) ~ \dd y \end{align*}$ wäre dein Wert $\begin{align*} 2(-\cos(\cos(x)))-2(-\cos(\sin(x))) \end{align*}$ durchaus richtig, aber darum geht es hier nicht!!!

Der Groschen ist gefallen... Ich bin einfach total verwirrt und fühle mich mies. Wer kann mir qualifizierte Nachhilfe geben? Ich zahle gutes Geld...

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