Zufallsvariable

21.07.2015, 13:17	TU11	Auf diesen Beitrag antworten »
Zufallsvariable Meine Frage: Hallo allerseits, Ich hab mal eine Frage zu angehängten Aufgabe. Mein erstes Problem ist ich weiß nicht wie ich auf die Verteilungen von X und Y komme. Meine Ideen: Ich habe mir erst gedacht ich berechne die Wahrscheinlichkeit von X und Y aber wie ich das mache weiß ich leider nicht.
21.07.2015, 16:10	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Man kann das folgendermaßen machen. $\begin{align} \omega \end{align}$ ist eine Variable für den Ausgang des Zufallsexperiments. Wie sieht solch ein Ausgang aus? Dazu notiert man einfach, was die beiden Würfe ergeben. Schreiben wir $\begin{align} \text{K} \end{align}$ für Kopf und $\begin{align} \text{Z} \end{align}$ für Zahl, so gibt es vier mögliche Ausgänge. Und diese bilden den Ergebnisraum $\begin{align} \Omega \end{align}$ , also $\begin{align} \Omega = \left\{ \text{KK},\text{KZ},\text{ZK},\text{ZZ} \right\} \end{align}$ So steht $\begin{align} \omega = \text{ZK} \end{align}$ für den Ausgang, daß die Münze beim ersten Wurf Zahl und beim zweiten Wurf Kopf zeigt. In der Tabelle schreibst du also neben $\begin{align} \omega \end{align}$ diese vier Kombinationen hin, darunter ihre Wahrscheinlichkeiten. Die Wahrscheinlichkeiten ergeben sich aus der Angabe der Aufgabe "wobei unabhängig voneinander ... erzielt werde". Was ist z.B. $\begin{align} X(ZK) \end{align}$ ? Hier liefert der erste Wurf Zahl. Gemäß Definition von $\begin{align} X \end{align}$ gilt daher $\begin{align} X(ZK) = 1 \end{align}$ . Was ist z.B. $\begin{align} Y(KK) \end{align}$ ? Beide Male wurde Kopf geworfen, insbesondere haben die beiden Würfe das gleiche Ergebnis. Nach Definition von $\begin{align} Y \end{align}$ gilt daher $\begin{align} Y(KK) = 5 \end{align}$ . Jetzt solltest du die Tabelle ausfüllen können.
21.07.2015, 19:39	TU11	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke erst mal, jetzt verstehe viel mehr. Ich hätte aber dennoch eine Frage wie komm ich dann auf die P(w). Ich weiß das die wahrscheinlich kein Kopf oder Zahl zu werfen gleichwahrscheinlich ist nähmlich 1/2. Nun weiß ich aber nicht wenn ich KK habe und X(w)=4 ist wie ich dann die Wahrscheinlichkeit dafür ausrechne.
21.07.2015, 23:45	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Zufallsvariablen $\begin{align} X,Y \end{align}$ haben mit den Wahrscheinlichkeiten nichts zu tun. Erst bei der Berechnung ihrer Erwartungswerte kommen die Wahrscheinlichkeiten wieder ins Spiel. Die Unabhängigkeit kannst du dir so vorstellen: Die Münze hat kein Gedächtnis. Sie erinnert sich nicht, wenn sie zum zweiten Mal geworfen wird, was ihr Ergebnis beim ersten Wurf war. Der zweite Wurf erfolgt daher völlig unabhängig vom ersten. Daher sind die vier Kombinationen für $\begin{align} \omega \end{align}$ gleichberechtigt. Was muß daher die Wahrscheinlichkeit für eine solche Kombination sein?

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