Stationäre Punkte einer Funktion |
| 21.07.2015, 15:50 | Max81 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
| Stationäre Punkte einer Funktion ich habe hier anscheinend eine ganze einfach Aufgabe, die ich trotzdem nicht direkt lösen kann. Die stationären Punkte einer Funktion ist soweit ich alles richtig mitbekommen habe f'(x)=0 Soweit so gut, keine Probleme. Die notwendige Bedingung für die Extrempunkte also. Nun habe ich hier aber eine Funktion mehrerer Veränderlicher, die lautet: g(x,y) = sqrt(x) * y^2 Die Aufgabe a) lautet: Berechnen Sie die partiellen Ableitungen erster Ordnung der Funktion g. Soweit habe ich keine Probleme und ich hoffe die Lösung ist richtig: Ableitung nach x = 1/2x^-1/2 * y^2 Ableitung nach y = sqrt(x) * 2y Die Aufgabe b) lautet: Ist der Punkt (1,1) ein stationärer Punkt der Funktion g? Genau hier tritt das Problem auf. Ich weiß ja, dass die Bedingung für die stationären Punkte f'(x) = 0 ist. Leider ist dieses Thema komplett an mir vorbei gegangen und hier weiß ich nicht mehr weiter. Muss ich jetzt da mein x=1 und y=1 ist die Werte in die partiellen Ableitungen = 0 einsetzen? Also: 1/2x^-1/2 * y^2 = 0 sqrt(x) * 2y = 0 Setze ich wie erwähnt die beiden Punkte in eine der beiden Ableitungen ein, sodass 0 rauskommt und wenn nicht, ist (1,1) kein stationärer Punkt? Ich würde mich über jegliche Hilfe freuen 
PS: Die Aufgabe c) lautet: Hat die Funktion im Punkt (1,1) ein relatives Extremum? Allein hier erkenne ich schon, dass (1,1) ein stationärer Punkt sein muss. |
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| 21.07.2015, 16:09 | magic_hero | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
RE: Stationäre Punkte einer Funktion
Du meinst wohl das richtige, drückst dich aber nicht korrekt aus. Ein stationärer Punkt einer stetig differenzierbaren Funktion (wobei ) ist ein mit , wobei den Gradienten bezeichnen soll, also der Vektor bestehend aus den partiellen Ableitungen. Deine partiellen Ableitungen stimmen auch.
Was davor stand, war irgendwie nicht besonders erhellend. 
Jedenfalls machst du genau das. Es sind aber nicht zwei Punkte, sondern nur einer, nämlich . Diesen setzt du in den Gradienten ein, und nur wenn das dann 0 ergibt, liegt ein stationärer Punkt vor.
Wie denn das? Es scheint zwar suggeriert zu werden (was ja oft bei solchen Aufgaben so ist), aber hier stimmt das nicht, denn (1,1) ist kein stationärer Punkt; denn wenn du (1,1) einsetzt, wird der Gradient nicht 0. |
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| 21.07.2015, 16:21 | Max81 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Wie man das Ganze genau definiert, weiß ich leider nicht. Habe nur gelesen, dass die Punkte der ersten Ableitung gleich 0 auch stationäre Punkte sind. Daher merke ich mir: Stationäre Punkte = f'(x) = 0 (Erste Ableitung gleich null) Nochmal zu der Aufgabe b) Dann hätte ich ja: Bedingung: 1/2(1)^-1/2 * (1)^2 = 0 Jedoch erhalte ich: 1/2 = 0, also kein stationärer Punkt Die zweite Partielle Ableitung brauche ich dann ja nicht, gehe ich mal von aus. Aber wenn ich die Werte in die zweite partielle Ableitung einsetze, bekomme ich 2 raus. Wieder ungleich 0 und daher kein stationärer Punkt. Soweit richtig? Ich hoffe ja. Wie geht man dann bei der Aufgabe c) vor? Ein relatives Extremum. Normalerweise muss ich ja hier die stationären Punkte ermitteln, in die zweite Ableitung einsetzen, also Extremstellen bestimmen. Die stationären Punkte wiederum in die Ausgangsfunktion einsetzen, um zu gucken, wie die Extremstellen relativ sind. Richtig? Aufgabe c) Hat die Funktion g im Punkt (1,1) ein relatives Extremum? Also müsste ich jetzt die x und y Werte der partiellen Ableitungen bestimmen, korrekt? Mir fällt aber grad nicht direkt ein, wie man da vorgehen könnte. |
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| 21.07.2015, 16:37 | magic_hero | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Es geht mir nur um deine Ausdrucksweise. Was du dir merkst, ist so schon okay, aber wenn dich jemand fragt, was ein stationärer Punkt sind, kannst du nicht sagen (oder schreiben) "= f'(x) = 0", sondern musst sagen, dass es ein x ist, für das f'(x)=0 gilt.
Auch wenn ich die Art und Weise, wie du es aufschreibst, nicht gut finde: Das Wesentliche ist richtig, (1,1) ist kein stationärer Punkt.
Du bringst hier offenbar einiges durcheinander. Um ein relatives oder auch lokales Maximum zu finden, ermittelt man zunächst einmal die stat. Punkte, korrekt. Das ganze setzt du dann in die zweite Ableitung ein, um zu sehen, ob überhaupt ein Extremum vorliegt und wenn ja, welcher Natur es ist (Maximum/Minimum). Achtung, im Mehrdimensionalen unterscheidet sich das natürlich deutlich vom Eindimensionalen, weil die zweite Ableitung eine Matrix, die sogenannte Hesse-Matrix, ist, die man dann auf Definitheit prüfen muss. Sollten dir diese Begriffe unklar sein, lies dir das am besten noch mal genauer durch, sei es in deinen Vorlesungsunterlagen oder einem guten Analysis-Buch.
Die Frage ist doch nur, ob in (1,1) ein relatives Extremum vorliegt. Dafür hast du bereits alles Notwendige berechnet. Ich finde die Aufgabenstellung daher aber auch etwas seltsam, weil nach 2. eigentlich schon alles klar ist. /EDIT: Ergänzend noch: "relativ" gehört hier zum Begriff Extremum dazu. Es gibt auch noch "absolute Extrema" - falls dir das auch kein Begriff ist, beherzige meinen Vorschlag weiter oben (-> Vorlesungsunterlagen oder Analysis-Buch). |
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| 21.07.2015, 16:50 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Nur ein Einwurf: (1,1) ist nicht etwa ein Randpunkt des Definitionsbereiches? |
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| 21.07.2015, 17:00 | Max81 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Was genau ist denn nicht gut an der Schreibweise von Aufgabenteil b) ? Absolute Extrema sind doch identisch mit globalen Extrema, oder? Vereinfacht ausgedrückt bestimme ich doch eine relative Extremstelle, indem ich die eine Extremstelle mit der anderen vergleiche. Sprich, ich habe bei Punkt 6 ein Maximum und bei 10 ein Maximum, jedoch ist Punkt 10 höher, daher absolut und Punkt 6 relativ. So habe ich das noch einigermaßen in Erinnerung, hatte aber gut 2 Jahre kein Mathe mehr
Oder nehmen wir an, es sind Ränder angegeben [0,2] und es sollen Maxima und Minima bestimmt werden, dann sollte man doch wie folgt vorgehen: 1. Mögliche Extrempunkte bestimmen f'(x) = 0 2. In die zweite Ableitung einsetzen f''(x) < 0 Maxima , f''(x) > 0 Minima 3. Funktionswert für den Extrempunkt ermitteln, also die Extremstelle, sei jetzt mal (2/-2) 4. Ränder in die Ausgangsfunktion einsetzen, bei 0 bekomme ich 1 und bei 2 die 7 So habe ich bei Rand 2 eine globale Extremstelle, bei (2/-2) eine lokale Extremstelle, nehmen wir an ein Tiefpunkt. Ist dies dann zugleich ein globaler Tiefpunkt? Eine Frage die ich da noch hätte, wäre, wie man auf Fragen mathematisch korrekt oder ausreichend antwortet wie: Hat die Funktion f ein Globales Minimum? Ich gehe von einer Funktion aus, die nur eine lokale Extremstelle, nämlich einen Tiefpunkt bei x=0 hat. So ist dies ja auch meine globale Extremstelle. Da du ja die Schreibweise bemängelst, würde ich mich über einige Vorschläge freuen
PS: (1,1) ist nach Aufgabe kein Randpunkt. |
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| 21.07.2015, 17:15 | magic_hero | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Mir fehlt da ein bisschen Struktur. Im Mehrdimensionalen würde ich schreiben: Für einen stationären Punkt müsste gelten. Da aber , liegt in kein stationärer Punkt vor. Oder ähnlich. Es sollte eben präzise sein.
Ja, das wird synonym zueinander verwendet.
Da bringst du einiges durcheinander... Bleiben wir mal im Eindimensionalen wie in deinem Beispiel. Du kannst eine Funktion haben, bei der das so ist, wie von dir beschrieben. Gleichzeitig kann aber auch 10 ein relatives (und absolutes) Maximum sein, weil relatives Maximum nur bedeutet, dass an der Stelle die Ableitung null wird. Ebenso muss es kein absolutes Maximum geben, kann aber mehrere relative Maxima geben, z.B. wenn die Funktion irgendwo gegen unendlich konvergiert. Es hängt dann aber alles vom Definitionsbereich und der genauen Definition der Funktion ab, das ganze ist ziemlich sensibel, wenn man nur ein kleines bisschen was ändert.
Das Beispiel ist nicht eindeutig genug, man sollte so etwas nur anhand einer konkreten Funktion besprechen.
Nicht unbedingt. Nimm eine Funktion, die nur einen Tiefpunkt bei x=0 hat, links und rechts davon aber je ein lokales Maximum und für beliebig klein wird, also gegen divergiert. Dann ist die lokale Minimalstelle sicher keine globale. Man muss da immer sehr vorsichtig sein.
Hm, dann ist die Aufgabe wie schon erwähnt etwas seltsam. Gib doch bitte mal den Definitionsbereich von g an. |
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| 21.07.2015, 17:38 | Max81 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Erstmal vielen Dank für deine Mühe, finde ich echt super! Die Aufgabenstellung beinhaltet nur die Funktion g(x,y) = sqrt(x) * y^2 Zu der Sache mit dem globalen Tiefpunkt und lokalem Tiefpunkt bei x=0, kann ich noch die Funktion hinzufügen f(x) = ln(x^2+1) Die erste Ableitung wäre, falls richtig bearbeitet: f(x) = 2x/x^2+1 f'(x) = 0 ; 2x=0 --> x = 0 Nun brauche ich hier keine weiteren Schritte, da 3 mögliche Graphen angegeben sind und nur eine davon nur eine Extremstelle bei x = 0 hat. Ein weiterer Graph hat zwei Extremstellen, also nicht relevant. Und da der Graph links und rechts im positiven Bereich ist, ist dieser Tiefpunkt bei x = 0 auch mein globaler Tiefpunkt, richtig? Die andere Aufgabe habe ich soweit abgeschlossen, da ja notwendige Schritte erfüllt wurden. Falls noch Luft nach oben vorhanden ist, könnte ich dir zwei weitere Fragen stellen, wobei eine davon nur zur Interpretation dient? Dazu gesagt, ist eine Funktion gegeben, von der die Stammfunktion ermittelt werden soll. Soweit ich richtig liege, ist dies ohne Probleme mit einer Substitution zu erledigen. Aufgabe a) Bestimmen Sie Integral f(x) dx Also die Stammfunktion bilden. Jedoch habe ich wieder eine Aufgabe b): Bestimmen Sie Integral (untere Grenze -4; obere Grenze 1) f(x) dx Aufgabenteil c) sagt ebenfalls, bestimmen Sie nun den Flächeninhalt, der zwischen dem Graphen der Funktion f und der x-Achse im Bereich x = -4 und x = 1 eingeschlossen wird. Wo ist nun der Unterschied, zwischen diesen beiden Aufgaben? Aufgabe c) hätte ich schon bei Aufgabe b) gemacht. Wie versprochen meine letzte Frage, wo ich absolut keine Idee habe: Gegeben ist wieder eine Funktion f(x) und die Aufgabe lautet: Geben Sie das größtmögliche Intervall (a,b) an, auf dem die Funktion f monoton fallend ist. Davor wurden die Ableitungen sowie Extremstellen von mir bestimmt. Vielen Dank nochmals
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| 21.07.2015, 19:03 | magic_hero | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Das ist ziemlich ungenau, denn die Funktion ist z.B. für x<0 ja schon mal gar nicht definiert. _____________________________________ Ich sehe dann richtig, dass du eine neue Aufgabe besprechen willst? Mach das nächste Mal vielleicht besser ein neues Thema dafür auf, sonst wird es schnell unübersichtlich.
Hier kann ich nicht ganz folgen. Du hast zu der Funktion drei Graphen zur Auswahl, von denen einer die Funktion darstellt? Davon gehe ich jetzt im Weiteren mal aus.
Ja, da für alle , liegt bei x=0 ein globales/absolutes Minimum vor. _____________________________________ Wieder eine neue Aufgabe:
Wenn keine Integralgrenzen gegeben sind, ja. Mach dir aber Gedanken darüber, ob du Funktion überall eine Stammfunktion hat. Es gibt auch Funktionen, die nur auf gewissen Intervallen eine Stammfunktion haben (z.B. weil sie sonst nicht [wohl-]definiert sind).
Ja, aber nur dann, wenn die Funktion zwischen -4 und 1 auch immer positiv (bzw. nichtnegativ) ist. Sonst musst du, um den Flächeninhalt zu erhalten, das Integral aufspalten in diejenigen Intervalle, wo die Funktion jeweils positiv bzw. negativ bleibt, dann diese Integrale ausrechnen und anschließend die Beträge der Ergebnisse addieren. (Du musst nämlich beachten, dass das Integral über eine negative Funktion negativ ist, ein Flächeninhalt aber immer positiv bzw. zumindest nichtnegativ sein sollte.) _____________________________________
Die Extremstellen brauchst du dafür gar nicht. Eine stetig differenzierbare Funktion ist monoton fallend, wenn ihre Ableitung nichtpositiv ist, d.h. gilt. Du musst also nur die Ableitung berechnen, schauen, wo ist, und dann das größtmögliche Intervall auswählen. |
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| 21.07.2015, 20:55 | Max81 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Du sagtest f'(x) kleiner gleich 0, um die Aufgabe mit den Intervallen zu erledigen. Muss ich dann anfangen beliebige Werte einzusetzen und gucken, ab wann die Funktion negativ wird? Neue Aufgabe Da ich bei diesem Thema bleibe, habe ich mal eine Aufgabe berechnet. Wäre nett, wenn einer mal drüber gucken könnte. f(x,y) = (x+y)^3-12xy Diese Funktion soll auf lokale Extrema und Sattelpunkt untersucht werden. Die Lösung dabei ist ein lokales Minimum bei (1,1) und ein Sattelpunkt bei (0,0) Meine Rechnung dazu: Ableitung nach x: 3(x+y)^2 * 1 - 12y = 0 für stationären Punkt Ableitung nach y: 3(x+y)^2 * 1 -12x = 0 für stationären Punkt Nun kann ich das Subtraktionsverfahren anwenden und erhalte: -12y+12x = 0 | +12y | :12 x=y x=y in die erste Gleichung eingesetzt erhalte ich nach dem Auflösen folgendes: 12y^2-12y = 0 Hier kann ich ausklammern y(12y-12) = 0 und erhalte: y1= 0 ; y2= 1 Ich habe also wenn ich richtig verstehe als stationäre Punkte (0,0) und (1,1) Nun muss ich die zweite Ableitung nach der Hesse-Matrix bestimmen: Muss ich jetzt die stationären Punkte (1,1) und (0,0) hier einsetzen? Wenn ja erhalte ich für (1,1) und für (0,0) Nun muss ja einfach die Determinante bestimmt werden: Fall 1 kriege ich 12 * 12 - 0 * 0 = 144 , also ein Minimum bei (1,1) wie in der Lösung Fall 2 kriege ich 0 * 0 - (-12) * (-12) = -144 , ist aber kein Sattelpunkt Hier irgendwo mache ich was falsch, wahrscheinlich bei der Hesse Matrix, oder sind die Punkte falsch? |
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| 22.07.2015, 11:33 | magic_hero | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Nein, du musst die Lösungsmenge der Ungleichung herausfinden. So etwas wirst du doch bestimmt schon mal gemacht haben?!
Hier mal wieder eine Anmerkung: Es muss nicht eine der beiden Gleichungen gelten, damit ein stationärer Punkt vorliegt, sondern beide zugleich; das meinte ich mit ungenauem Aufschrieb bzw. ungenauer Ausrucksweise. Du machst das dann ja letztlich auch so, hier gewinnt man aber einen anderen Eindruck.
Korrekt. 
Ausdrucksproblematik wie oben; die zweite Ableitung ist gerade die Hesse-Matrix. Die, die du berechnet hast, ist auch richtig. Dein weiteres Vorgehen stimmt dann auch bis zu:
Nein, du musst eben nicht einfach nur die Determinante bestimmen, sondern die Matrix auf Definitheit untersuchen. Dann kommt auch das richtige heraus. |
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