Integral, keine Nullstellen, rationale Funktion

21.07.2015, 17:49

StrunzMagi

Integral, keine Nullstellen, rationale Funktion

Berechnen Sie das angegebene Integral
$\begin{eqnarray*} \int \frac{dx}{(x^2+x+1)^2} \end{eqnarray*}$

Hallo Wink

,
Ich hab zwar das Integral berechnen können aber die Lösung im Buch und auf Wolfram ist anders. Es würde mich freuen, wenn wer meinen Rechnungsweg überprüfen könnte. Danke

$\begin{eqnarray*} \int \frac{dx}{(x^2+x+1)^2}= \int \frac{dx}{((x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4})^2} \end{eqnarray*}$
Substitution $\begin{eqnarray*} x+\frac{1}{2} = u, dx= du \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \int \frac{du}{(u^2+\frac{3}{4})^2} = \frac{16}{9} \int \frac{du}{(\frac{u^2+\frac{3}{4}}{\frac{3}{4}})^2} = \frac{16}{9} \int \frac{du}{((\frac{4u}{3})^2+1)^2} \end{eqnarray*}$
Subsitution $\begin{eqnarray*} s=\frac{4u}{3}, ds= \frac{4}{3} du \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \frac{4}{3} \int \frac{ds}{(s^2+1)^2} \end{eqnarray*}$
Substitution $\begin{eqnarray*} s=tan(k), ds= \frac{1}{cos^2(k)} dk \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\frac{4}{3} \int \frac{dk}{cos^2(k)(tan^2(k)+1)^2} =\frac{4}{3} \int \frac{dk}{(\frac{sin^2(k)+cos^2(k)}{cos^2(k)})^2 cos^2(k)}= \frac{4}{3} \int cos^2(k) dk = \frac{4}{3} \int \frac{cos(2k)+1}{2} dk = \frac{1}{3} sin(2k) + \frac{2}{3} k \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{3} sin(2 arctan(\frac{4(x+\frac{1}{2})}{3})) + \frac{2}{3} arctan(\frac{4(x+\frac{1}{2})}{3}) \end{eqnarray*}$

21.07.2015, 18:24

Mathema

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} = \int \frac{du}{(u^2+\frac{3}{4})^2} = \frac{16}{9} \int \frac{du}{(\frac{u^2+\frac{3}{4}}{\frac{3}{4}})^2} = \frac{16}{9} \int \frac{du}{((\frac{4u}{3})^2+1)^2} \end{eqnarray*}$

Sind deine letzten beiden Nenner wirklich gleich? Mir scheint nicht so:

$\begin{eqnarray*} (\frac{u^2+\frac{3}{4}}{\frac{3}{4}})^2=(\frac{u^2}{\frac{3}{4}}+1)^2=(\frac{4u^2}{3}+1)^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ((\frac{4u}{3})^2+1)^2=(\frac{16u^2}{9}+1)^2 \end{eqnarray*}$

Wink

22.07.2015, 10:15

StrunzMagi

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Halla Mathema,
Danke, dass du mich auf den Fehler hingewiesen hast.
Ich kam so zur Lösung $\begin{eqnarray*} \frac{2x+1}{(3(x^2+x+1)} + \frac{4}{3\sqrt{3}} arctan(\frac{2x+1}{\sqrt{3}}) \end{eqnarray*}$ , indem ich noch das Additionstheorem für sinus anwandt und sinus und cosinus durch tangens ausgedrückt habe und diese Lösung stimmt mit wolfram überein.

LG,
MaGi

22.07.2015, 11:51

Mathema

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Dann wird sie wohl stimmen, ich habe es jetzt nicht noch mal gerechnet.

Gern geschehen.

Wink

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