Indikatorfunktion integrieren

22.07.2015, 20:11

telli

Indikatorfunktion integrieren

Meine Frage:
Hallo ich möchte ein Integral ausrechnen, komme aber nicht weiter:

$\begin{eqnarray*} \int_{x-0.5}^{x+0.5} 1_{[-0.5,0.5]}(t) dt \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich habe das Integral zuerst zerlegt:

$\begin{eqnarray*} \int_{x-0.5}^{x+0.5} 1_{[-0.5,0.5]}(t) dt = \int_{x-0.5}^{x} 1_{[-0.5,0.5]}(t) dt + \int_{x}^{x+0.5} 1_{[-0.5,0.5]}(t) dt \end{eqnarray*}$

Ich weiss, dass ich für disjunkte Vereinigungen die Indikatorfunktion als eine Summe schreiben kann. An dieser Stelle hilft mir das aber nicht weiter. Was muss ich jetzt machen?

22.07.2015, 23:16

Nullmenge

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RE: Indikatorfunktion integrieren
Meine erste Idee wäre Substitution:

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{x-0,5}^{x+0,5} 1_{[-0,5;0,5]}(t)\ \mathrm dt =\left|\begin{matrix}u&=&t-x\\\mathrm du&=&\mathrm dt\end{matrix}\right|=\int\limits_{-0,5}^{0,5}1_{[-0,5;0,5]}(u+x)\ \mathrm du \end{eqnarray*}$

Vielleicht hilft dir das ja schon weiter. In welchem Zusammenhang willst du das Integral berechnen? Hat es vllt etwas mit Wahrscheinlichkeiten zu tun?

edit:
Herauskommen könnte womöglich sowas wie $\begin{eqnarray*} \max\{1-x,0\} \end{eqnarray*}$ . Das habe ich mir allerdings geometrisch überlegt. Wie man formal darauf käme, müsste man sich noch überlegen.

22.07.2015, 23:44

telli

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RE: Indikatorfunktion integrieren
Hallo danke für deine Antwort.

Zitat:

In welchem Zusammenhang willst du das Integral berechnen? Hat es vllt etwas mit Wahrscheinlichkeiten zu tun?

Nein es handelt sich um B-Splines an sich Numerik. Da wurden irgendwelche rekursiven Funktionen definiert.

Die sehen so aus:
$\begin{eqnarray*} B_0(x):= 1 \end{eqnarray*}$ falls $\begin{eqnarray*} x \in [ -0.5,0.5] \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ sonst
und
$\begin{eqnarray*} B_{m+1}(x) := \int_{x-0.5}^{x+0.5} B_m(t)dt \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} m = 0,1,2,... \end{eqnarray*}$

Ich wollte für m = 0 nachrechnen was $\begin{eqnarray*} B_{m+1} = B_1 \end{eqnarray*}$ ist.
$\begin{eqnarray*} B_0 \end{eqnarray*}$ ist ja nichts anderes als die Indikatorfunktion?

Zitat:

Herauskommen könnte womöglich sowas wie $\begin{eqnarray*} \max\{1-x,0\} \end{eqnarray*}$

Du liegst ziemlich nahe. Die Lösung habe ich, sollte:
$\begin{eqnarray*} B_1(x) = 1-|x| \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} |x| \leq 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} |x| > 1 \end{eqnarray*}$
rauskommen.

23.07.2015, 00:09

Nullmenge

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RE: Indikatorfunktion integrieren
In der Numerik kenne ich mich leider nicht wirklich gut aus. Aber trotzdem sollten wir auf die Lösung kommen. Da x auch negativ sein könnte (haben ja keine Einschränkungen gegeben), kommt der Betrag ins Spiel, also $\begin{eqnarray*} 1-|x| \end{eqnarray*}$ . Das Maximum kann ja ersetzen durch $\begin{eqnarray*} |x|\le1 \end{eqnarray*}$ , womit wir die Lösung erhalten.

23.07.2015, 11:47

telli

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RE: Indikatorfunktion integrieren
Die Lösung ist ja scho plausibel aber ich würde zu gerne wissen, wie man das Integral analytisch lösen kann. Dieses Problem taucht auch bei Integrationstheorie bzw. bei Faltungen von Funktionen auf. Habe eben nie genau verstanden wie das gelöst wird. Das mit Substitution hilft mir schon weiter. Ich werde mal da weiter versuchen vielleicht klappts.

23.07.2015, 12:15

URL

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RE: Indikatorfunktion integrieren
Ich sehe nicht, wie das ohne Fallunterscheidung geht.
Für $\begin{eqnarray*} x\leq -1 \end{eqnarray*}$ ist das Integral, ich nenne es $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ , sicher Null.
Für $\begin{eqnarray*} -1\leq x \leq 0 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} {-0.5}\leq x +{0.5} \leq {0.5} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} {-1.5}\leq x {-0.5} \leq {-0.5} \end{eqnarray*}$ .
Die obere Integrationsgrenze ist also im Indikatorintervall, die untere nicht und folglich
$\begin{eqnarray*} \int_{x-0.5}^{x+0.5} 1_{[-0.5,0.5]}(t) dt = \int_{-0.5}^{x+0.5} 1_{[-0.5,0.5]}(t) dt = x+0.5-(-0.5)=x+1 \end{eqnarray*}$
Der Rest geht analog.

23.07.2015, 14:26

telli

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RE: Indikatorfunktion integrieren

Zitat:

Ich sehe nicht, wie das ohne Fallunterscheidung geht.
Für $\begin{eqnarray*} x\leq -1 \end{eqnarray*}$ ist das Integral, ich nenne es $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ , sicher Null.
Für $\begin{eqnarray*} -1\leq x \leq 0 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} {-0.5}\leq x +{0.5} \leq {0.5} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} {-1.5}\leq x {-0.5} \leq {-0.5} \end{eqnarray*}$ .
Die obere Integrationsgrenze ist also im Indikatorintervall, die untere nicht und folglich
$\begin{eqnarray*} \int_{x-0.5}^{x+0.5} 1_{[-0.5,0.5]}(t) dt = \int_{-0.5}^{x+0.5} 1_{[-0.5,0.5]}(t) dt = x+0.5-(-0.5)=x+1 \end{eqnarray*}$
Der Rest geht analog.

Danke für den Vorschlag.

Es sollte aber:
$\begin{eqnarray*} B_1(x) = 1-|x| \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} |x| \leq 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} |x| > 1 \end{eqnarray*}$
Rauskommen

Mit Substitution und Fallunterscheidung klappt es aber. Habe zumindest 1-x bekommen wie der Betrag zustande kommt muss ich noch überlegen.

23.07.2015, 15:00

magic_hero

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RE: Indikatorfunktion integrieren

Zitat:

Original von telli
Es sollte aber:
$\begin{eqnarray*} B_1(x) = 1-|x| \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} |x| \leq 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} |x| > 1 \end{eqnarray*}$
Rauskommen

Das tut es in URL's Vorschlag auch, denn er betrachtet den Fall $\begin{eqnarray*} -1 \leq x \leq 0 \end{eqnarray*}$ , für den $\begin{eqnarray*} 1-|x|=1+x=x+1 \end{eqnarray*}$ gilt.

Vermutlich hast du daher bei deiner Fallunterscheidung irgendwo noch einen Vorzeichenfehler, wenn du stets $\begin{eqnarray*} 1-x \end{eqnarray*}$ erhältst, was nur im Fall $\begin{eqnarray*} 0 \leq x \leq 1 \end{eqnarray*}$ sein sollte.

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