Vierdimensionales Volumen

22.07.2015, 23:33

gaster

Vierdimensionales Volumen

Meine Frage:
wie groß ist das vierdimensionale Volumen des Körpers gegen durch

w²+y²+z²<=1 und x²+y²+z²<=1

Meine Ideen:
wenn man jeweils die vierte Koordinaten nicht betrachet geben die Gleichungen jeweils die Einheitskugel in 3d.

ich habe mir schon überlegt das dieses Volumen größer sein müsste als die 4 Dimensionale Einheitskugel welche nach Recherche pi2/2 =4,9... und kleiner als eine dreidimensional Kugel mal 2 für die vierte Koordinate(von -1 bis 1) 2*4*pi/3=8,4...

23.07.2015, 09:51

Ehos

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Um eine anschauliche Vorstellung zu bekommen, betrachten wir das analoge Problem im 3D-Raum, indem wir die z-Koordinate ignorieren. Übrig bleiben dann nur die 3 Koordinatenachsen x, y, w. Damit reduzieren sich die beiden Ungleichungen zu

w²+y²<1
x²+y²<1

Diese 2 Ungleichungen beschreiben 2 Zylinder mit dem Radius R=1, deren Achsen die waagerechte x-Achse bzw. die senkrechte w-Achse sind. Die Schnittmenge beider Zylinder ist das gesuchte Volumen. Das kann man sich gut vorstellen. Zur Berechnung dieses 3D-Volumens würde man 3D-Zylinderkoordinaten verwenden, also

$\begin{eqnarray*} x=R\cdot \cos(\phi) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y=R\cdot \sin(\phi) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} w=w \end{eqnarray*}$

Beim 4D-Volumen würde man also 4-dimensionale Zylinderkoordinaten verwenden

$\begin{eqnarray*} x=R\cdot \cos(\phi)\sin(\theta) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y=R\cdot \sin(\phi)\sin(\theta) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z=R\cdot \cos(\theta) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} w=w \end{eqnarray*}$

Demnach ist die Querschnittsfläche eines 4-dimensionalen Zylinders ein 3D-Kreis (=Kugel). Beim 3D-Zylinder war die Querschnittsfläche ein 2D-Kreis.

Versuche mal, das Volumen mit den 4 Koordinaten $\begin{eqnarray*} R, \phi, \theta, w \end{eqnarray*}$ zu parametrisieren. Zur Integration muss man noch die Jacobi-Determinante der 4D-Zylinderkoordinaten berechnen, was auf die übliche Weise funktioniert.

Wie du richtig schreibst, ergibt sich beim 3D-Problem als Schnittmenge der beiden 3D-Zylinder gerade das Volumen der 3D-Kugel mit R=1. Ich vermute, dass sich beim 4D-Problem das Volumen der 4D-Kugel ergibt.

23.07.2015, 13:15

Huggy

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Zitat:

Original von Ehos
Ich vermute, dass sich beim 4D-Problem das Volumen der 4D-Kugel ergibt.

Nein, tut es nicht!

$\begin{eqnarray*} V=2 \pi \end{eqnarray*}$

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