Teilbarkeitsregeln

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23.07.2015, 13:52	Entermyproblem	Auf diesen Beitrag antworten »
Teilbarkeitsregeln Meine Frage: Eine natürliche Zahl a, dargestellt im dezimalen Stellenwertsystem, ist genau dann durch einen Teiler t von 999 (=1000 ? 1) teilbar, wenn die Quersumme dritter Ordnung durch diesen Teiler t teilbar ist. (Wie sieht der Beweis dazu aus, verzweifle!) Meine Ideen: Bekannt ist 10³ kongruent 1 (mod t)
23.07.2015, 14:22	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Was ist denn die Quersumme dritter Ordnung?
23.07.2015, 15:28	ollie3	Auf diesen Beitrag antworten »
hallo, ich vermute mal mit quersumme 3.ordnung ist gemeint, das man die betreffende zahl von rechts nach links in 3er-blöcke aufteilt und die entstehenden 3stelligen zahlen addiert. Die zahl 12.345 hätte dann als quersumme 3.ord. 12+345=357. Und damit ist auch der beweis klar... gruss ollie3
23.07.2015, 17:59	Entermyproblem	Auf diesen Beitrag antworten »
Dritter Ordnung bedeutet, z.B. 235 + 764 ist die Quersumme 3. Ordnung von 764235, aber wie sieht nun der Beweis aus, wenn "klar" ist, dass 10³ kongruent 1 (mod t) ist, wie argumentiere ich also über die Kongruenzrelation im Dezimalsystem???
23.07.2015, 19:45	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Im dezimalen Stellenwertsystem hat $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ die Darstellung $\begin{eqnarray} a=a_0+10\cdot a_1+10^2\cdot a_2+10^3\cdot a_3+10^4\cdot a_4+...+10^n\cdot a_n \end{eqnarray}$ (mit $\begin{eqnarray} a_i\in\{0,...,9\} \end{eqnarray}$ ). Betrachte diese Summe modulo t (und denke dabei an $\begin{eqnarray} 10^3\equiv 1 \mod t \end{eqnarray}$ ).
23.07.2015, 20:44	Entermyproblem	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, mir fehlt jegliches Verständnis für den Beweis, keine Ahnung, wie ich zeigen kann, dass die Zahl a kongruent zu der Quersumme der "3er-Blöcke" des Teilers von 999 ist...???
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23.07.2015, 21:15	ollie3	Auf diesen Beitrag antworten »
hallo, ja dann mach ich mal weiter: $\begin{eqnarray} a=(a_0+10a_1+10^2a_2) + 10^3(a_3+10a_4+10^2a_5)+... \end{eqnarray}$ Man kann jetzt so weitermachen und immer nach 3 summanden eine potenz von 10^3 ausklammern, und in den klammern befinden sich immer die 3er blöcke. gruss ollie3
23.07.2015, 21:43	Entermyproblem	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, das hab ich verstanden! Super...nur wie beweise ich jetzt das Ganze?
23.07.2015, 21:56	ollie3	Auf diesen Beitrag antworten »
hallo, ja, und jetzt betrachtet man das ganze modulo t, und weil 10^3 , 10^6 , usw. alle kongruent zu 1 mod t sind, erhält man dann $\begin{eqnarray} a=(a_0+10a_1+10^2a_2)+(a_3+10a_4+10^2a_5)+ ... \end{eqnarray}$ , und das ist ja genau die summe der 3er-blöcke. gruss ollie3
24.07.2015, 20:08	Entermyproblem	Auf diesen Beitrag antworten »
Wäre der Beweis dann so richtig??? Satz 1 (Seitenweise Addition), Satz 2 (Multiplizieren mit Kongruenzen), Satz 3 (Potenzieren von Kongruenzen) Eine natürliche Zahl a, dargestellt im dezimalen Stellenwertsystem, ist genau dann durch einen Teiler t von 999 (=1000 – 1) teilbar, wenn die Quersumme dritter Ordnung durch diesen Teiler t teilbar ist. Beweis: Es gilt 10³ ≡1 (mod t) für alle t∈T(999) Seitenweise Multiplikation von Kongruenzen (Satz 2) führt zu: 10³ ≡1 (mod 999) und 10³ ≡1 (mod 999) ⇒^(Satz 2) 〖10〗^6 ≡1 (mod 999) 〖10〗^6 ≡1 (mod 999) und 10³ ≡1 (mod 999) ⇒^(Satz 2) 〖 10〗^9 ≡1 (mod 999) 〖10〗^9 ≡1 (mod 999) und 10³ ≡1 (mod 999) ⇒^(Satz 2) 〖10〗^12≡1 (mod 999) . . . 〖10〗^(3n-1)≡1 (mod 9) und 10³ ≡1 (mod 999) ⇒^(Satz 2) 〖10〗^3n ≡1 (mod 999) Also gilt 〖10〗^3j≡1 (mod 999) für i=0,1,2,…,n. Multiplikation der 3n + 1 Kongruenzen 〖10〗^3j≡1 (mod 9) für j=0,1,2,…,n jeweils mit z_i und Satz 3 ergibt z_i⋅〖10〗^3j≡z_i (mod 999) für i=0,1,2,…,n Schrittweise Addition (Satz 1) der 3n+1 Kongruenzen führt zu: folgt mit Satz 1 ∑_(i=0)^n▒z_i ⋅〖10〗^3j≡∑_(i=0)^n▒z_i (mod 999)
24.07.2015, 20:28	Entermyproblem	Auf diesen Beitrag antworten »
Wäre der Beweis dann so richtig??? Satz 1 (Seitenweise Addition), Satz 2 (Multiplizieren mit Kongruenzen), Satz 3 (Potenzieren von Kongruenzen) Eine natürliche Zahl a, dargestellt im dezimalen Stellenwertsystem, ist genau dann durch einen Teiler t von 999 (=1000 – 1) teilbar, wenn die Quersumme dritter Ordnung durch diesen Teiler t teilbar ist. Beweis:

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