Normalverteilung bei Ausfall von Bauteilen

23.07.2015, 13:53	MapexOlli	Auf diesen Beitrag antworten »
Normalverteilung bei Ausfall von Bauteilen Hallo zusammen und danke vorweg für dieses tolle Forum - ihr habt mir an der ein oder anderen Stelle schon wirklich geholfen! Meine Frage bezieht sich auf die Normalverteilung. Konkret geht es um folgende Aufgabe: "Ein Gerät enthält ein elektronisches Bauteil, dessen Funktionstüchtigkeit für die einwandfreie Funktion des Gerätes erforderlich ist. Fällt es aus wird es unmittelbar ersetzt (ohne Reparaturzeiten). Die erwartete Lebensdauer beträgt $\begin{eqnarray} \mu = 1000 \end{eqnarray}$ Std, und die Standardabweichung $\begin{eqnarray} \sigma = 600 \end{eqnarray}$ . Bestimmen Sie (approx.) die Mindestanzahl m von Reserveelementen, die gelagert werden müssen, um eine ununterbrochene Funktion des Gerätes für mehr als t=8000 Stunden mit einer Sicherheitswahrscheinlichkeit von min. 95% zu gewährleisten. Ich habe an die Standardnormalverteilung gedacht. Dabei ist n = m+1 , da ein Bauteil gerade läuft und der Rest in Reserve liegt. Dann ist Xi für $\begin{eqnarray} i \epsilon {1,...,n} \end{eqnarray}$ die Laufzeit des i-ten Bauteils und $\begin{eqnarray} S_{n}=\sum_{i=1}^n X_{i} \end{eqnarray}$ die Laufzeit aller Bauteile. Dann gilt mit dem Zentralen Grenzwertsatz, dass $\begin{eqnarray} \Phi \left( \frac {n \mu - t}{\sqrt{n} \sigma} \right ) = P( S_{n} > t) \end{eqnarray}$ (diese Formel habe ich aus unserem Skript und umgestellt nach 1 - Phi). Ab hier hänge ich allerdings fest. Wie komme ich von hier am schnellsten auf mein n? Liebe Grüße
24.07.2015, 09:26	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Normalverteilung bei Ausfall von Bauteilen Prüfe für ein paar Werte von n, ab wann gilt: $\begin{eqnarray} P(S_n>8000) \geq 0.95 \end{eqnarray}$ Edit: Verwechselung von Mittelwert und Summe korrigiert.
24.07.2015, 09:54	MapexOlli	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist aber merkwürdig - tatsächlich steht die Formel so bei uns im Skript und im Lehrbuch.. Ist da vielleicht ein Fehler drin? Leider sollen wir rechnerisch nachweisen - Tipp hierzu? Danke für deine Antwort!
24.07.2015, 10:25	MapexOlli	Auf diesen Beitrag antworten »
Hab es gelöst, kommt auch der richtige Wert raus. Die Formel aus dem Skript scheint zu stimmen, zumindest wenn man der Musterlösung glauben kann. Für die, die ein ähnliches Problem haben : Konkret habe ich die Formel aufgestellt, dass der Kehrwert von Phi größer sein muss als 1,64 (entspricht 95% als Phi). Dann kommt der (für mich) tricky part: Die Ungleichung nach 0 umstellen, mit PQ die Werte für Wurzel n bestimmen. Dann bekommen wir 2 n werte raus. Einer ist negativ, macht also keinen Sinn. Insgesamt kommen wir auf 11 Ersatzteile ! Danke ! LG
24.07.2015, 10:29	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Formel stimmt. Ich hatte Mittelwert und Summe verwechselt. Habe es oben korrigiert. Für eine rechnerische Herleitung kann man die Gleichung mit einem beliebigen numerischen Verfahren lösen. Man nimmt dann den nächst größeren ganzzahligen Wert. Mit der Umkehrfunktion der Standardnormalverteilung kann man es auch auf die Gleichung $\begin{eqnarray} \frac {n \mu - 8000}{\sqrt{n} \sigma} = \Phi^{-1}(0.95) \end{eqnarray}$ zurückführen.

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