Fallunterscheidung bei Extremwerten mit Nebenbedingung

23.07.2015, 15:19

DrHWI

Fallunterscheidung bei Extremwerten mit Nebenbedingung

Meine Frage:
Hallihallo, Wink

ich übe momentan zur Klausurvorbereitung an Altklausuren und bin auf diese Aufgabe gestoßen:

Zu bestimmen sind alle Extremwerte der Funktion $\begin{eqnarray*} z=2x^2+y^2 \end{eqnarray*}$ , die auf der Parabel $\begin{eqnarray*} x=y^2-1 \end{eqnarray*}$ liegen.

Soweit ist das ja eigentlich kein Problem, dachte ich. smile

Meine Ideen:
Die Hilfsfunktion aufstellen
$\begin{eqnarray*} L(x,y,\lambda)=2x^2+y^2+\lambda(-x+y^2-1) \end{eqnarray*}$

Die Bedingungen bilden
$\begin{eqnarray*} L_x=4x-\lambda \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} L_y=2y+2\lambda y \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} L_{\lambda}=-x+y^2-1 \end{eqnarray*}$

Wenn ich nun gleichsetze, dann erhalte ich für $\begin{eqnarray*} x=-\frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ , für $\begin{eqnarray*} y=\pm \sqrt{\frac{3}{4}} \end{eqnarray*}$ und für $\begin{eqnarray*} \lambda=-1 \end{eqnarray*}$ .

Das alles stimmt laut Musterlösung auch so.
Aber laut meines Professors ist dies Fall 2 für die Lösung der Aufgabe.

Er schreibt in der Lösung: "Aus der zweiten Gleichung folgt Fall 1 y=0, x=-1".

Es existieren also 3 Extrema? $\begin{eqnarray*} P_1(0|-1),\,\,P_2(-\frac{1}{4}|\sqrt{\frac{3}{4}}),\,\, P_3(-\frac{1}{4}|-\sqrt{\frac{3}{4}}) \end{eqnarray*}$ ?

Er überprüft also zweimal y? Woher kommt dieses Wissen? Übersehe ich einfach etwas ganz Entscheidendes?

23.07.2015, 21:39

URL

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RE: Fallunterscheidung bei Extremwerten mit Nebenbedingung
Ich vermute, du hast aus $\begin{eqnarray*} L_y=2y+2\lambda y=0 \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \lambda = -1 \end{eqnarray*}$ geschlossen.
Das ist aber nur die halbe Wahrheit.

29.07.2015, 14:35

DrHWI

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Ja, ganz richtig. Dadurch komme ich ja auf $\begin{eqnarray*} x=-\frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ .
Habe ich etwa was übersehen? Forum Kloppe

29.07.2015, 14:44

HAL 9000

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Sprache kann tückisch sein...
Auch wenn irgendwie klar ist, dass es dir um eine Extremwertaufgabe mit Nebenbedingungen geht, so meint die Formulierung

Zitat:

Original von DrHWI
Zu bestimmen sind alle Extremwerte der Funktion $\begin{eqnarray*} z=2x^2+y^2 \end{eqnarray*}$ , die auf der Parabel $\begin{eqnarray*} x=y^2-1 \end{eqnarray*}$ liegen.

wortwörtlich aufgefasst etwas anderes:

Man soll erst alle Extremwerte (bzw. wohl eher -stellen) von $\begin{eqnarray*} z=2x^2+y^2 \end{eqnarray*}$ bestimmen und dann schauen, welche davon auf der genannten Parabel liegen.

Im vorliegenden Fall ist das nur die eine lokale Extremstelle (0,0), ein Minimum, und die liegt nicht auf der Parabel. Augenzwinkern

29.07.2015, 14:49

klarsoweit

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RE: Fallunterscheidung bei Extremwerten mit Nebenbedingung
@DrHWI: URL hat mit:

Zitat:

Original von URL
Ich vermute, du hast aus $\begin{eqnarray*} L_y=2y+2\lambda y=0 \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \lambda = -1 \end{eqnarray*}$ geschlossen.
Das ist aber nur die halbe Wahrheit.

darauf hingewiesen, daß es für die Gleichung $\begin{eqnarray*} L_y=2y+2\lambda y=0 \end{eqnarray*}$ noch andere Lösungen gibt.

29.07.2015, 15:09

DrHWI

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Ich bin mir nicht ganz sicher, ob ich auf dem richtigen Dampfer bin, aber versucht ihr mir zu sagen, dass ich die zweite Gleichung statt nach $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ nach y umstellen solle, um den zweiten Fall berechnen zu können?

Also
$\begin{eqnarray*} 2y+2\lambda y=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y(2+2\lambda)=0\,\, \rightarrow y=0 \end{eqnarray*}$ ? verwirrt

Damit würde sich dann durch Einsetzen des y-Wertes in die dritte Gleichung x=-1 ergeben.

29.07.2015, 15:49

URL

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Das hier ist der falsche thread für den richtigen Dampfer
Edit: Hat sich erledigt, weil klarsoweit aufgeräumt hat, siehe unten Wink

29.07.2015, 15:55

klarsoweit

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So, ich hab das mal zusammengefügt. smile

Zitat:

Original von DrHWI
Also
$\begin{eqnarray*} 2y+2\lambda y=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y(2+2\lambda)=0\,\, \rightarrow y=0 \end{eqnarray*}$ ? verwirrt

Damit würde sich dann durch Einsetzen des y-Wertes in die dritte Gleichung x=-1 ergeben.

Genau.

29.07.2015, 16:00

DrHWI

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Aaaahaaaa! Big Laugh

Vielen lieben Dank für die gute Hilfe! Gott

30.07.2015, 12:30

klauss

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RE: Fallunterscheidung bei Extremwerten mit Nebenbedingung
Hatte diesen Vorschlag seinerzeit unterlassen, da URL schon dran war. Im Nachhinein wäre aber evtl. der Hinweis nützlich gewesen, dass sich die Aufgabe mit dem Einsetzverfahren bequemer hätte lösen lassen, dann hätte man auch den dritten Extrempunktkandidat vermutlich plausibler erklären können.

30.07.2015, 12:55

URL

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RE: Fallunterscheidung bei Extremwerten mit Nebenbedingung
@klauss: Wenn du mit Einsetzverfahren meinst, die Nebenbedingung $\begin{eqnarray*} x=y^2-1 \end{eqnarray*}$ direkt in $\begin{eqnarray*} z=2x^2+y^2 \end{eqnarray*}$ einzusetzen und dann ein gewöhnliche Extremwertuntersuchung ohne Nebenbedingung zu machen, dann gebe ich dir recht: Das wäre einfacher gewesen.

30.07.2015, 13:14

klauss

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RE: Fallunterscheidung bei Extremwerten mit Nebenbedingung
So war's gemeint.

30.07.2015, 13:26

URL

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RE: Fallunterscheidung bei Extremwerten mit Nebenbedingung
Ich wundere mich immer wieder, dass dieser Weg nicht öfter beschritten wird. Vermutlich steht in der Aufgabenstellung explizit etwas von Lagrange.

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Fallunterscheidung bei Extremwerten mit Nebenbedingung

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