Komplexes Kurvenintegral: holomorphe Funktion finden

24.07.2015, 10:42

Dreisteinx

Komplexes Kurvenintegral: holomorphe Funktion finden

Meine Frage:
Hallo!
Ich hänge gerade an einer Aufgabe fest. Sie lautet:
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{2\pi} \;\; |f(re^{it})| \leq r^3 \end{eqnarray*}$
r größer 0
Nun soll man alle holomorphen f finden, die das erfüllen.

Meine Ideen:
Leider weiß ich nicht wie ich anfangen soll, es würde mich freuen, wenn mir jemand von euch helfen könnte mit einem Tipp oder Ansatz! Vielen Dank schon mal im Voraus!

24.07.2015, 13:56

Guppi12

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Hallo,

und $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ soll vermutlich auch auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ definiert sein und obige Ungleichung für alle $\begin{eqnarray*} r>0 \end{eqnarray*}$ gelten?

Entwickele deine Funktion in $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ in eine Potenzreihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty a_nz^n \end{eqnarray*}$ .
Dann gilt für $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ die Identität

$\begin{eqnarray*} a_n = \frac{1}{2\pi i}\int_{|z|=r}\frac{f(z)}{z^{n+1}}dz \end{eqnarray*}$ . für beliebige $\begin{eqnarray*} r>0 \end{eqnarray*}$ . Nutze dies.

24.07.2015, 17:09

Dreisteinx

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Danke für deine schnelle Anwort!

Da ich keine konkrete Funktion f habe, dann kann ich ja nur die Taylor-Reihe hinschreiben, oder?
Muss man dann die Koeffizenten aus der Taylorreihe gleich dem Integral setzen? (Ich meine deine letzte Gleichung mit dem a_n)

24.07.2015, 17:20

Guppi12

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Ja genau, die Taylorreihe bleibt so allgemein, wie ich sie hingeschrieben habe. Das Ziel ist es jetzt, Informationen über die $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ zu erhalten.

Dafür hilft die Gleichung, die ich hingeschrieben habe. Noch ein Tipp. Es wird nach einer Abschätzung für $\begin{eqnarray*} |a_n| \end{eqnarray*}$ nach oben gesucht.

Edit: Was mir noch aufgefallen ist: Was genau meinst du mit Gleichsetzen? Da muss man nichts gleichsetzen, diese Seiten sind gleich. Dass diese Identität gilt, hat nichts mit der Voraussetzung an $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ zu tun. Ist dir diese Gleichheit nicht bekannt? Falls nicht, muss ich fragen, was ihr so zuletzt in der Vorlesung behandelt habt.

24.07.2015, 17:59

Dreisteinx

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Ich meinte:
Mit der Taylorreihe bekommt man raus, dass $\begin{eqnarray*} a_n=\frac{f^n(0)}{n!} \end{eqnarray*}$ und nun kann man sagen, dass

$\begin{eqnarray*} a_n=\frac{f^n(0)}{n!}= \frac{1}{2\pi i}\int_{|z|=r}\frac{f(z)}{z^{n+1}}dz \end{eqnarray*}$ für beliebige $\begin{eqnarray*} r>0 \end{eqnarray*}$ ist.

Ist der Ansatz so richtig?

24.07.2015, 18:06

Guppi12

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Ja genau, so ists richtig.

25.07.2015, 07:38

Dreisteinx

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Ich habe jetzt probiert, die $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ abzuschätzen und wollte fragen, ob meine Abschätzung richtig ist, ich komme jetzt nämlich nicht weiter...
$\begin{eqnarray*} a_n\leq \frac{1}{2\pi r^{n+1}} \int_{|z|=r} |f(z)|\;dz \end{eqnarray*}$

25.07.2015, 12:06

Guppi12

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Diese Abschätzung ist nicht richtig und macht auch nicht so viel Sinn. Sowohl rechts als auch links stehen potentiell nicht reelle Zahlen, die kann man nicht mit $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ vergleichen.

Vermutlich hast du diese Abschätzung benutzt: $\begin{eqnarray*} \left|\int_{\gamma}f(z)dz\right|\leq \int_\gamma |f(z)|dz \end{eqnarray*}$ , diese gilt aber für Kurvenintegrale nicht. Wie gesagt, muss die rechte Seite nichteinmal reellwertig sein. Selbst wenn sie es ist, ist die Abschätzung falsch, wie zum Beispiel die Funktion $\begin{eqnarray*} f(z)= \frac 1z \end{eqnarray*}$ zeigt, wenn man für $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ die Standardparametrisierung des Einheitskreises wählt. Stattdessen gilt $\begin{eqnarray*} \left|\int_{\gamma}f(z)dz\right|\leq \int_\gamma |f(z)||dz| \end{eqnarray*}$ , wobei die rechte Seite das nichtorientierte Kurvenintegral über $\begin{eqnarray*} |f| \end{eqnarray*}$ bezeichnet. Auf der linken Seite hast du einfach nur die Betragsstriche an $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ vergessen.

Am einfachsten machst du es dir, wenn du ganz zu Beginn die Standardparametrisierung der Kurve einsetzt. Dann hast du kein Kurvenintegral mehr und kannst wie gewohnt die Abschätzung benutzen, die du oben angewendet hast.

25.07.2015, 19:04

Dreisteinx

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Ich komme leider nicht weiter... traurig

ich verstehe gerade nicht wie ich was wo einsetzte, ich kann doch meine Kurve nicht einfach einsetzen, da steht ja noch $\begin{eqnarray*} z^{n+1} \end{eqnarray*}$

25.07.2015, 19:08

Guppi12

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Zitat:

ich kann doch meine Kurve nicht einfach einsetzen, da steht ja noch $\begin{eqnarray*} z^{n+1} \end{eqnarray*}$

Warum nicht? Wenn dich das stört, setze dir $\begin{eqnarray*} g(z) = \frac{f(z)}{z^{n+1}} \end{eqnarray*}$ . Und jetzt wende die Definition des Kurvenintegrals auf $\begin{eqnarray*} \int_{|z|=r}g(z)dz \end{eqnarray*}$ an.

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