Differentialgleichung 2. Ordnung, Verständnisfrage

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stevomaniac Auf diesen Beitrag antworten »
Differentialgleichung 2. Ordnung, Verständnisfrage
Meine Frage:
Hallo,
Bei einer zB homogenen DGL gibt es ja ua. zwei Lösungen (des char. polynoms). Die Lösung der homogenen Dgl ist ja dann eine Linearkombination dieser beiden Lösungen. Ich verstehe allerding nicht den Sinn dahinter, warum man diese Linearkombination macht, da ja auch beide Lösungen alleine für sich Lösungen sind . was ist der Zweck der Kombination dieser beiden?


Meine Ideen:
.
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn nach der allgemeinen Lösung gefragt ist, ist man eben an der Menge aller Lösungen interessiert; alle Lösungen bekommt man nun durch die Linearkombination der einzelnen Lösungen.
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Oft sind neben der Dgl. noch gewissen Rand- oder Anfangsbedingungen gegeben, welche die allgemeine Lösung spezialisieren und eindeutig machen.
stevomaniac Auf diesen Beitrag antworten »

...
das heißt es ist einfach definitionssache ohne tieferen Sinn , dass die (allgemeine) Lösung die linearkombination der Lösungen ist?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Warum sollte das ohne tieferen Sinn sein? Ich hätte gerne die allgemeine Lösung, d.h. alle möglichen Lösungen der DGL bestimmt. Da wäre die Angabe einer einzigen, speziellen Lösung doch unsinnig.
stevomaniac Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, weil ja bereits beide Lösungen des char polynoms Lösungen der DGl sind. Warum also die Lösungen a1, a2 zu einer einzigen kombinieren? Lösung ist lösung, oder nicht? verwirrt



das wären ja zB bereits beides eigenständige lösungen

Bei einer homogenen lsg ist ja die linearkobination dann nichts anderes als 0 + 0 =0 oder?



(um missverständnisse zu vermeiden : ich meine jetzt rein ein homogenes problem ohne Anfangswertproblem. Das AP ist ja wiederum nur eine kobination aus homogener lsg + part. lsg)
 
 
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Zunächst einmal sind nicht die Lösungen des charakteristischen Polynoms die Lösungen, sondern es werden lediglich die Nullstellen des charakteristischen Polynoms verwendet, um die Lösungen zu bestimmen.

Und nein, "Lösung ist Lösung" trifft eben nicht zu. Wenn du die allgemeine Lösung des homogenen Gleichungssystems bestimmen sollst, dann ist eben nicht nur , sondern alle Vektoren der Form sind Lösungen. Anders aufgeschrieben, ergibt sich jede Lösung des LGS als Linearkombination .

So verhält es sich auch bei deiner DGL, wenn ich dich nach der allgemeinen Lösung von frage, dann ist zwar eine Lösung, genau wie und wie und wie....aber das sind eben nur ganz konkrete Lösungen, die sich aus der allgemeinen Lösung durch Einsetzen ganz konkreter Werte für ergeben.
stevomaniac Auf diesen Beitrag antworten »

hmm das verstehe ich nicht wirklich. Warum ist jetzt :



eine spezielle Lösung, es kann doch sowohl C als auch x beliebig gewählt werden?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Die Lösung einer DGL ist doch eine Funktion, wie willst du da beliebig wählen? geschockt
stevomaniac Auf diesen Beitrag antworten »

hmm verwirrt genau, y(x), aber x kann dabei ja beliebig gewählt werden
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Nochmal, die Lösung der Differentialgleichung ist eine Funktion! Natürlich kann alle Werte des zugrunde liegenden Definitionsbereichs annehmen, das heißt aber nicht, dass es "beliebig gewählt" werden kann.
stevomaniac Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt natürlich , "beliebig" war mathematisch ungenau.

Danke auf jeden Fall für die Erläuterungen!

Ich muss wohl einfach akzeptieren dass die lösung eine Linearkombination ist, auch wenn ichs nicht wirklich verstehe. Augenzwinkern

mfg
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Dann einmal anders rum...

Bestimme die allgemeine Lösung der DGL . Offensichtlich passt als Lösung. Ist das aber nun die allgemeine Lösung?
stevomaniac Auf diesen Beitrag antworten »

Nja
wenn ich der Definition folge dass die Lösung die Kombination von beiden Fundamentallösungen ist dann wärs hier ja:
richtig?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, aber darum ging es mir nicht.

Würdest du als Ergebnis akzeptieren?
stevomaniac Auf diesen Beitrag antworten »

ja eig schon, es erfüllt ja die gleichung..
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Und dass du damit nicht nur die Vielfachen ignorierst, sondern auch den gesamten Teil mit unterschlägst, stört dich nicht?
stevomaniac Auf diesen Beitrag antworten »

warum sollte es mich stören?
aber darum gehts auch gar nicht . Bei meiner Fragestellung gings darum den sinn hinter der linearkombination zu sehen.
Wie auch immer, dass Thema hat sich erledigt. Danke auf jeden Fall für deine posts!

mfg
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von stevomaniac
warum sollte es mich stören?


Weil du damit wichtige Informationen über die (allgemeine) Lösung unterschlägst. Aber gut, wenn du das nicht siehst, dann musst du einfach auswendig lernen, dass du Linearkombinationen angeben musst.
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