Komplexes Kurvenintegral und Homotopie

24.07.2015, 16:39

Willi87

Komplexes Kurvenintegral und Homotopie

Meine Frage:
Hallo,

wir sollten das Kurvenintegral von $\begin{eqnarray*} \int_{\gamma} \bar{z} dz \end{eqnarray*}$ berechnen. Die Kurve $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ verläuft von $\begin{eqnarray*} -1-i \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} 1-i \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} 1+i \end{eqnarray*}$ .
Soweit bin ich noch gekomen. Parametrisiere ich beide Wege als Geraden von $\begin{eqnarray*} -1-i \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} 1-i \end{eqnarray*}$ und von $\begin{eqnarray*} 1-i \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} 1+i \end{eqnarray*}$ und berechne beide Integrale, bekomme ich $\begin{eqnarray*} 2i +2i = 4i \end{eqnarray*}$ . Das Ergebnis lautet also $\begin{eqnarray*} \int_{\gamma} \bar{z} dz = 4i \end{eqnarray*}$ .
Jetzt kommt meine eigentliche Frage, wenn ich eine homotope andere Parametrisierung verwende, sollte doch das gleiche Ergebnis raußkommen.
Verwende ich aber dieses mal die Kurve $\begin{eqnarray*} \gamma_1(t) = \sqrt{2}exp(it) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} t \in [\frac{5}{4}\pi , \frac{1}{4}\pi ] \end{eqnarray*}$ habe ich doch eine homotope Kurve mit den selben Punkten (Kreis um 0 mit Radius Wurzel 2). Das Ergebnis des Integrals

$\begin{eqnarray*} \int_{\gamma_1} \bar{z} dz = \int_{\gamma_1} \bar{\gamma_1}(t) \dot{\gamma_1}(t) dt = \int_{\frac{5}{4}\pi}^{ \frac{1}{4}\pi} \frac{1}{ \sqrt{2}exp(it)} \sqrt{2}iexp(it) dt = i \int_{\frac{5}{4}\pi}^{ \frac{1}{4}\pi} 1 dt = -i\pi \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Das Ergebnis von $\begin{eqnarray*} 4i \end{eqnarray*}$ stimmt, denn es wurde auch schon verbessert. Aber warum kommt bei der Parametrisierung mit dem Kreis nicht das gleiche Ergebnis rauß?

24.07.2015, 17:03

Guppi12

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Hallo,

das liegt daran, dass $\begin{eqnarray*} z\mapsto \bar z \end{eqnarray*}$ keine holomorphe Funktion ist. Wegunabhängigkeit bei homotopen Wegen mit gleichen Endpunkten gilt nicht für beliebige Funktionen.

Edit: Übrigens müsstest du in der Kreisparametrisierung eigentlich von $\begin{eqnarray*} \frac 54\pi \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} \frac 94\pi \end{eqnarray*}$ integrieren.

24.07.2015, 20:43

Willi87

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Hallo,

erstmal danke für die Antwort.
Laut den Büchern brauche ich für homotopie, holomorpie und der Weg muss einfach zusammenhängend sein (also keine Löcher) auf dem Gebiet.
Aber $\begin{eqnarray*} \bar{z} \end{eqnarray*}$ besitzt doch nur ein "Loch" im Nullpunkt. Ist es dann nicht irrelevant? Denn der Weg geht ja nicht durch den Nullpunkt? Also betrachte ich das Gebiet in dem der Weg des Kreises mit Radius Wurzel 2 verläuft.
Und du hast natürlich recht die Integrationsgrenzen waren noch falsch bei mir.

24.07.2015, 20:48

Iorek

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Zitat:

Original von Willi87
Laut den Büchern brauche ich für homotopie, holomorphie und der Weg muss einfach zusammenhängend sein (also keine Löcher) auf dem Gebiet.

Was meinst du, dass $\begin{align*} \overline{z} \end{align*}$ ein Loch im Nullpunkt hat? Dass dort eine (die einzige) Nullstelle ist? Darum geht es hier nämlich nicht. Sieh dir nochmal an, was Guppi zu $\begin{align*} z\mapsto \overline{z} \end{align*}$ und holomorph geschrieben hat.

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