Vollständige Induktion

24.07.2015, 19:00

Rivago

Vollständige Induktion

So, Endspurt in der Prüfungsvorbereitung.. Montag ist Prüfung.. Ihr werdet mich jetzt 2 Tage an der Backe haben. Big Laugh

Es geht um die angehängte Aufgabe.

Wie ist es bei dieser Art von Aufgabe mit der Induktion? Das k stört mich verwirrt

Wenn ich den Induktionsanfang mache, um zu testen ob die Formel gilt, setze ich da jeweils für k und für n die gleiche Zahl ein?

Erstmal das, danach gehts weiter mit den anderen Fragen..

24.07.2015, 19:03

magic_hero

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Das k ist der Laufindex der Summe! Du solltest doch das Summenzeichen kennen, oder?! Augenzwinkern

24.07.2015, 19:15

Rivago

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Ja schon..

Also setze ich für den Anfang einfach zum Beispiel k = 0 und setze es bei k mal 3^k ein.. Und dann noch n = 0 und setze es in den Rest ein?

So, dann der Nachweis..

Den ersten Teil versteh ich noch, aber danach schon wieder nicht.. Wieso steht da jetzt $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} \cdot \left( 3^{n+1} \cdot (2n - 1) + 3 + 4(n +1) \cdot 3^{n + 1} \right) \end{eqnarray*}$

Das mit der 1/4 versteh ich noch.. Aber wieso steht dann 3^(n+1), aber in der Klammer steht noch (2n - 1)? verwirrt

Da müsste doch jetzt auch (2n + 1) stehen unglücklich

24.07.2015, 19:26

magic_hero

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Zitat:

Original von Rivago
Also setze ich für den Anfang einfach zum Beispiel k = 0 und setze es bei k mal 3^k ein.. Und dann noch n = 0 und setze es in den Rest ein?

Gehen wir mal ganz zu den Basics und betrachten die Summe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^n a_k =\sum\limits_{k=0}^n k \end{eqnarray*}$ für verschiedene $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ :
Für $\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$ ist das z.B. $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^1 k=0+1=1 \end{eqnarray*}$ .
Für $\begin{eqnarray*} n=2 \end{eqnarray*}$ ist das z.B. $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^2 k=0+1+2=3 \end{eqnarray*}$ .
Für $\begin{eqnarray*} n=3 \end{eqnarray*}$ ist das z.B. $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^3 k=0+1+2+3=6 \end{eqnarray*}$ usw.
Wie man sieht, "setzt" man für das k nichts ein, vielmehr besteht die Summe aus allen Summanden $\begin{eqnarray*} a_k=k \end{eqnarray*}$ für k von 0 bis n. Das k "läuft" also sozusagen von 0 bis n.

Zitat:

Original von Rivago
Den ersten Teil versteh ich noch, aber danach schon wieder nicht.. Wieso steht da jetzt $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} \cdot \left( 3^{n+1} \cdot (2n - 1) + 3 + 4(n +1) \cdot 3^{n + 1} \right) \end{eqnarray*}$

Das mit der 1/4 versteh ich noch.. Aber wieso steht dann 3^(n+1), aber in der Klammer steht noch (2n - 1)? verwirrt

Da müsste doch jetzt auch (2n + 1) stehen unglücklich

Was hier gemacht wurde, ist die Induktionsvoraussetzung einzusetzen.

An diesem Beispiel (den Induktionsanfang lasse ich hier weg, bitte aber nicht vergessen!):

Induktionsvoraussetzung: Für ein beliebiges, aber festes $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ gelte die Aussage, also $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^n (k \cdot 3^k) = \frac{3}{4} (3^n \cdot (2n-1) + 1) \end{eqnarray*}$ .

Induktionsschritt: Indem wir die Induktionsvoraussetzung (im 2. Gleichheitszeichen) verwenden, erhalten wir:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{n+1} (k \cdot 3^k) = \sum\limits_{k=0}^{n} (k \cdot 3^k) + (n+1) \cdot 3^{n+1} = \frac{3}{4} (3^n \cdot (2n-1) + 1) + (n+1) \cdot 3^{n+1} = ... \end{eqnarray*}$
Wie du siehst, wurde im ersten Schritt bzw. ersten Gleichheitszeichen lediglich die Summe aufgespalten, um dann die Induktionsvoraussetzung einzusetzen. Das ist eigentlich Standard.

/EDIT: Sehe gerade, du meinst vielleicht etwas anderes. Im nächsten Schritt, den ich hier bei mir nicht notiert habe, wird lediglich $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ ausgeklammert. Und zuvor hast du ja auch 2n-1, wie soll daraus einfach so 2n+1 werden? verwirrt

24.07.2015, 19:37

Rivago

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Ja, bis hier hin versteh ich es noch..

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{n+1} (k \cdot 3^k) = \sum\limits_{k=0}^{n} (k \cdot 3^k) + (n+1) \cdot 3^{n+1} = \frac{3}{4} (3^n \cdot (2n-1) + 1) + (n+1) \cdot 3^{n+1} = ... \end{eqnarray*}$

Aber jetzt scheint man (n + 1) einzusetzen, zumindest bei der 3, denn jetzt steht in der Lösung $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} (3^{n + 1} \cdot (2n-1) + 3) + 4(n+1) \cdot 3^{n+1} \end{eqnarray*}$

Außerdem klammert man 1/4 aus, was ich noch nachvollziehen kann. Aber das andere nicht. Bei der 3 setzt man n+1 ein, aber bei der Klammer, also da wo (2n - 1) steht, setzt man für das n nicht (n + 1) ein verwirrt

24.07.2015, 19:44

magic_hero

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Zitat:

Original von Rivago
Aber jetzt scheint man (n + 1) einzusetzen, zumindest bei der 3, denn jetzt steht in der Lösung $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} (3^{n + 1} \cdot (2n-1) + 3) + 4(n+1) \cdot 3^{n+1} \end{eqnarray*}$

Außerdem klammert man 1/4 aus, was ich noch nachvollziehen kann. Aber das andere nicht. Bei der 3 setzt man n+1 ein, aber bei der Klammer, also da wo (2n - 1) steht, setzt man für das n nicht (n + 1) ein verwirrt

Nein, man setzt nicht n+1 ein! Das darf man ja auch gar nicht bzw. darf man dann nicht "=" schreiben. Es wird lediglich umgeformt.

Im ersten Summanden wird die 3 in die Klammer reinmultipliziert und dann ist ja $\begin{eqnarray*} 3 \cdot 3^n = 3^{n+1} \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} 3 \cdot 1=3 \end{eqnarray*}$ . Aus dem zweiten Summanden, das ist hier $\begin{eqnarray*} (n+1) \cdot 3^{n+1} \end{eqnarray*}$ , wird lediglich das $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ ausgeklammert, und es ist dann $\begin{eqnarray*} (n+1) \cdot 3^{n+1} = \frac{1}{4} \cdot (4(n+1) \cdot 3^{n+1}) \end{eqnarray*}$ .

\EDIT: Vielleicht verwirrt dich die Klammersetzung. In dem Zitat von dir stimmt die nämlich nicht; nach der 3 kommt keine abschließende Klammer, die kommt erst ganz am Ende.

24.07.2015, 19:49

Rivago

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Ich verstehs nicht unglücklich

Betrachten wir mal nur den Teil:

$\begin{eqnarray*} = \frac{3}{4} (3^n \cdot (2n-1) + 1) + ... = \end{eqnarray*}$

Wie kommt es dann im nächsten Schritt zur 3^(n+1)?? Wo nimmst du die 3 her, damit man $\begin{eqnarray*} 3 \cdot 3^n = 3^{n + 1} \end{eqnarray*}$ rechnen kann?

24.07.2015, 19:51

magic_hero

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Es ist doch $\begin{eqnarray*} \frac{3}{4} = \frac{1}{4} \cdot 3 \end{eqnarray*}$ ... dann die 3 mit der Klammer multiplizieren.

24.07.2015, 19:54

Rivago

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Ich nehm es mal so hin...

24.07.2015, 20:00

magic_hero

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Zitat:

Original von Rivago
Ich nehm es mal so hin...

Wenn du das sagst, denke ich immer, du hast gar nichts davon verstanden.... ist das so?

Daher noch ein Versuch; ich betrachte nur den vorderen Teil.
Es gilt:
$\begin{eqnarray*} \frac{3}{4} (3^n \cdot (2n-1) + 1) = \frac{1}{4} \cdot 3 \cdot (3^n \cdot (2n-1) + 1) = \frac{1}{4} \cdot (3 \cdot 3^n \cdot (2n-1) + 3 \cdot 1) = \frac{1}{4} \cdot (3^{n+1} \cdot (2n-1) + 3). \end{eqnarray*}$
Falls es immer noch unklar ist: Wo genau liegt das Problem? Wir wollen dir ja helfen (andernfalls würde ich gar nicht erst antworten).

24.07.2015, 20:13

Rivago

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Genau, so hab ich es mir auch noch gedacht.. aber jetzt nehmen wir mal noch den hinteren Teil wieder mit dazu:

$\begin{eqnarray*} \frac{3}{4} (3^n \cdot (2n-1) + 1) + (n + 1) \cdot 3^{n + 1} = \frac{1}{4} \cdot 3 \cdot (3^n \cdot (2n-1) + 1) + (n + 1) \cdot 3^{n + 1} = \frac{1}{4} \cdot (3 \cdot 3^n \cdot (2n-1) + 3 \cdot 1) + 3 \cdot (n + 1) \cdot 3^{n + 1} = \end{eqnarray*}$

Nicht so?

24.07.2015, 20:17

magic_hero

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Ja, das stimmt so weit - du kannst die Multiplikationen innerhalb der Klammer natürlich noch zusammenfassen. In der Lösung, die du in deinem zweiten Beitrag gepostet hattest, wird aus dem hinteren Summanden jetzt auch noch $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ ausgeklammert. Probiere das doch einfach mal.

24.07.2015, 20:21

Rivago

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Sicher?

Schau dir mal den letzten Teil ganz genau an.. muss da wirklich die 3 hin???

24.07.2015, 20:23

magic_hero

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Zitat:

Original von Rivago
Schau dir mal den letzten Teil ganz genau an.. muss da wirklich die 3 hin???

Stellst du mir jetzt Fallen? Big Laugh

Die hatte ich übersehen, die gehört da natürlich nicht hin. Die 3 steht als Faktor ja nur im vorherigen Summanden!

\EDIT:
Mal markiert:

Zitat:

Original von Rivago
$\begin{eqnarray*} \frac{3}{4} (3^n \cdot (2n-1) + 1) + (n + 1) \cdot 3^{n + 1} = \frac{1}{4} \cdot \textcolor{red}{3} \cdot \textcolor{red}{(}3^n \cdot (2n-1) + 1\textcolor{red}{)} + (n + 1) \cdot 3^{n + 1} = \frac{1}{4} \cdot (3 \cdot 3^n \cdot (2n-1) + 3 \cdot 1) + (n + 1) \cdot 3^{n + 1} = \end{eqnarray*}$

24.07.2015, 20:27

Rivago

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Sorry

Ok, dann jetzt nochmal richtig:

$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{4} \cdot (3 \cdot 3^n \cdot (2n-1) + 3 \cdot 1) + (n + 1) \cdot 3^{n + 1} = \frac{1}{4} \cdot (3^{n+1} \cdot (2n - 1) + 3) + (n + 1) \cdot 3^{n + 1} \end{eqnarray*}$

Und jetzt klammert man da hinten nochmal 1/4 aus?

Das versteh ich nicht.. dann würde da ja jetzt stehen $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} \cdot (3^{n+1} \cdot (2n - 1) + 3) + \frac{1}{4} \cdot (4 (n + 1) \cdot 3^{n + 1}) \end{eqnarray*}$

24.07.2015, 20:33

magic_hero

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Zitat:

Original von Rivago
Das versteh ich nicht.. dann würde da ja jetzt stehen $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} \cdot (3^{n+1} \cdot (2n - 1) + 3) + \frac{1}{4} \cdot (4 (n + 1) \cdot 3^{n + 1}) \end{eqnarray*}$

Ja, das stimmt. Das tut man deshalb, weil man die Terme mit $\begin{eqnarray*} 3^{n+1} \end{eqnarray*}$ , die zudem noch mit einen Faktor der Form $\begin{eqnarray*} an+b \end{eqnarray*}$ versehen sind, zusammenfassen will. Um das jetzt zu tun, musst du oben nur noch $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ ausklammern, denn dann kannst du die beiden Klammern in eine zusammenfassen und dann alles, was innerhalb der Klammer steht, zusammenrechnen.

Genereller Hinweis: Es gibt unzählige andere Möglichkeiten, die Umformungen im Induktionsschritt zu vollziehen. Vielleicht wäre es sinnvoll, es erst selbst mal zu probieren, denn möglicherweise machst du es ja ganz anders und kommst dann trotzdem zur richtigen Lösung. In der Klausur hast du ja auch keinen Lösungsvorschlag...

24.07.2015, 20:36

Rivago

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Okay, ich glaub den Rest krieg ich alleine hin..

Jetzt haben wir 1 1/2 Stunden dafür gebraucht.. Ich weiß echt nicht wie ich durch die Prüfung kommen soll unglücklich

Bei Reihen und Extremwertaufgaben hängts ja auch noch gewaltig traurig

24.07.2015, 20:40

magic_hero

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Zitat:

Original von Rivago
Jetzt haben wir 1 1/2 Stunden dafür gebraucht.. Ich weiß echt nicht wie ich durch die Prüfung kommen soll unglücklich

Bei Reihen und Extremwertaufgaben hängts ja auch noch gewaltig traurig

Ruhe bewahren und rechne solche Aufgaben am besten mal selber, ohne die Lösung auch nur kurz anzusehen. Zum Beispiel hätte ich nämlich auch anders ausgeklammert, als es in dem Lösungsvorschlag gemacht wurde.

25.07.2015, 11:20

Rivago

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Zitat:

Original von magic_hero

Induktionsschritt: Indem wir die Induktionsvoraussetzung (im 2. Gleichheitszeichen) verwenden, erhalten wir:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{n+1} (k \cdot 3^k) = \sum\limits_{k=0}^{\textcolor{red}{n}} (k \cdot 3^k) + (n+1) \cdot 3^{n+1} = \frac{3}{4} (3^n \cdot (2n-1) + 1) + (n+1) \cdot 3^{n+1} = ... \end{eqnarray*}$

Hier noch kurz eine Frage: Müsste bei der rot markierten Stelle (auf dem Summenzeichen) nicht auch n+1 stehen?

25.07.2015, 11:27

Iorek

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Gegenfrage: warum würdest du da $\begin{align*} n+1 \end{align*}$ schreiben wollen? Was wird denn in dieser ersten Umformung gemacht?

25.07.2015, 11:30

Rivago

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Ich weiß nicht.. ich versteh das mit den Summenzeichen und mit k = .. hoch irgendwas eh nicht so richtig.. unglücklich

25.07.2015, 11:35

Iorek

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Ein geübter Umgang mit dem Summenzeichen ist für solche Aufgaben eigentlich absolute Grundlage...da solltest du dich dann noch einmal mit beschäftigen. Eventuell auch abseits der Induktion noch einmal ein paar Aufgaben dazu bearbeiten.

Versuch den Schritt den du machen willst einmal in Worten zu beschreiben, evtl. wird dann schon klar, warum da nur $\begin{align*} n \end{align*}$ stehen kann.

25.07.2015, 11:41

Rivago

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Vllt weil vorher schon (n + 1) steht und das nun gilt? Und das neue n hat nun den Wert (n + 1) verwirrt

25.07.2015, 11:43

Iorek

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Zitat:

Original von Iorek
Versuch den Schritt den du machen willst einmal in Worten zu beschreiben

Das meinte ich damit nicht, welche Umformung wird in diesem ersten Schritt bei solchen Aufgaben eigentlich immer gemacht?

25.07.2015, 11:51

Rivago

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Die Summe umschreiben?

Also $\begin{eqnarray*} k \cdot 2^k \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} (n + 1) \cdot 2^{n + 1} \end{eqnarray*}$

verwirrt

25.07.2015, 12:02

Iorek

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Das ergibt überhaupt keinen Sinn.

Bei Aufgaben solcher Bauart, zieht man im Induktionsschritt in der Regel die gegebene Summe zunächst so auseinander, damit man die Induktionsvoraussetzung anwenden kann.

Die Induktionsvoraussetzung bezieht sich hier auf $\begin{align*} \sum\limits_{k=0}^{n}k\cdot 3^k \end{align*}$ , also müssen wir $\begin{align*} \sum\limits_{k=0}^{n+1} k\cdot 3^k \end{align*}$ passend umformen. Da in der zweiten Summe lediglich ein weiterer Summand (nämlich der für $\begin{align*} (n+1) \end{align*}$ ) vorhanden ist, spalten wir diesen Summanden explizit ab:

$\begin{align*} \sum\limits_{k=0}^{n+1}k\cdot 3^k=\underbrace{(0\cdot 3^0)+(1\cdot 3^1)+(2\cdot 3^2)+\dots +(n\cdot 3^n)}_{=\sum\limits_{k=0}^nk\cdot 3^k}+((n+1)\cdot 3^{n+1})=\sum\limits_{k=0}^nk\cdot 3^k + (n+1)\cdot 3^{n+1} \end{align*}$

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