Geometrische Reihe

24.07.2015, 20:48

Rivago

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Geometrische Reihe

Und weiter geht es hiermit..

Die a krieg ich hin, aber bei der b weiß ich einfach nicht wie ich vorgehen soll..

Ich glaub aber, dass das bei diesen Aufgaben immer das gleiche ist. Gibt es da kein "Kochrezept"? Wenn doch, mag es mir jemand beibringen?

24.07.2015, 21:13

Grashalmfest

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Das Kochrezept ist es den Ausdruck in der Reihe richtig zu formulieren.

Auf welche bekannte Reihe wird es hier wohl hinauslaufen?
Wie kannst du die Quadrate im n-ten Schritt formulieren?
Wie viele Quadrate gibt es im n-ten Schritt bzw. kommen jeweils hinzu.

24.07.2015, 21:27

Rivago

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Zitat:

Original von Grashalmfest

Auf welche bekannte Reihe wird es hier wohl hinauslaufen?

Das weiß ich nicht.. Woran erkennt man das?

Zitat:

Original von Grashalmfest
Wie kannst du die Quadrate im n-ten Schritt formulieren?

$\begin{eqnarray*} 2^n \end{eqnarray*}$ ?

Zitat:

Original von Grashalmfest
Wie viele Quadrate gibt es im n-ten Schritt bzw. kommen jeweils hinzu.

Ich weiß nicht traurig

traurig

24.07.2015, 21:32

Helferlein

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Dann schreib es Dir doch einfach mal auf: Wieviele Quadrate sind es in Schritt (1), wieviele kommen in Schritt (2) dazu und wieviele in Schritt (3)?

Der Flächeninhalt ist dann die Summe aus den einzelnen Anzahlen multipliziert mit ihrer Größe.

24.07.2015, 21:42

Rivago

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Die a hab ich ja gelöst..

Mir geht es jetzt um die b..

Ich hab im ersten Schritt 1, im 2. Schritt kommen 4 dazu, im 3. Schritt kommen 8 dazu..

Also ist es doch 1 + 4 + 8 + 16 + 32 + ...

Also 2^n ist die Anzahl der Quadrate..

24.07.2015, 21:47

Grashalmfest

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Zitat:

Ich weiß nicht

Für die Aufgabe ist es nicht unbedingt relevant zu wissen wie viele Quadrate man nun wirklich im n-ten Schritt hat. Es ist aber durchaus eine gute Übung mal darüber nachzudenken.

Du bist hier in der glücklichen Situation, dass es sich um eine Regelmäßigkeit handelt, die du hier erkennen musst.
Da ist Induktion immer gut. Die musst du eigentlich nicht mal formal durchführen, sondern es dir nur klar machen. Natürlich kannst du es auch beweisen.

Also:

Im 0ten Schritt (also am Anfang) haben wir 1 großes Quadrat.
Im nächsten Schritt kommen 4 dazu, wie du im Bild erkennen kannst. Das macht dann 5 Quadrate im 2ten Schritt.
Im dritten Schritt kommen 8 hinzu. Das macht also 13 Quadrate im 3ten Schritt.
Im vierten Schritt kommen 16 hinzu. Es handelt sich um Zweierpotenzen die jeweils hinzukommen. Damit landet man bei 29 Quadraten.

Du hast also die Folge

1,5,13,29, ...

Nun versuchst du eine Regelmäßigkeit zu finden, mit der du die nächste Zahl "vorhersagen" kannst. Das wäre die 61.
Wenn du eine solche Folge gefunden hast, dann kannst du versuchen ihre Gültigkeit mit Induktion zu beweisen.

Zitat:

Original von Grashalmfest
Wie kannst du die Quadrate im n-ten Schritt formulieren?

Die Frage war unpräzise von mir.
Ich hätte Fragen sollen wie du jeweils den Flächeninhalt der Quadrate im n-ten Schritt formulieren kannst.

Zitat:

Das weiß ich nicht.. Woran erkennt man das?

So viele Reihen sind dir bestimmt nicht bekannte, die einen extra Namen haben.
Hier kommen immer Zweierpotentien hinzu, wir haben also irgendwas exponentielles.
Welche bekannte Reihe werden wir vermutlich wiederfinden?

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24.07.2015, 21:52

Rivago

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Ach ich gebs auf.. Danke.

24.07.2015, 21:57

Grashalmfest

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Wenn du jetzt aufgibst, werde ich niemals erfahren was nun der maximale Flächeninhalt in Abhängigkeit von a ist, weil nur durch deine Fragen kann ich weiterrechnen.

Tue es also nicht für dich. Tue es für mich.

Wenn du noch lust auf die Aufgabe hast, dann gehe meinen Text durch und versuche dir von mir formulierten Fragen zu beantworten. Wenn dir das nicht gelingt, dann frage nach und ich versuche dir zu helfen. Ich bin mir sicher, dass du das hinbekommst.

24.07.2015, 22:09

Rivago

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Damit du es erfährst..

25.07.2015, 13:33

mYthos

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Zitat:

Original von Rivago
Ach ich gebs auf.. Danke.

Schon wieder? Aufgeben tut man einen Brief oder ein Paket.
In einem deiner bisherigen Threads habe ich dir schon auseinandergesetzt, dass es immer einen Weg gibt und dass Aufgeben die allersetzte Instanz ist.
Wenn du jetzt nicht darauf kommst, lass es doch mal einige Zeit liegen, man ist nicht immer gleich konditioniert.
Wenn du dann später darauf zurückkommst, kann es plötzlich klarer werden, weil du dann vielleicht anders an die Aufgabe herangehst.
Ausserdem hast du vielleicht von den Helfern neue Inputs erhalten ...

mY+

25.07.2015, 16:00

Rivago

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Also die Folge ist 1,5,13,29, ...

$\begin{eqnarray*} 29 = q^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} q = \sqrt[3]{29} \end{eqnarray*}$

Stimmt das?

25.07.2015, 16:56

Grashalmfest

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Nein, das stimmt leider nicht. 29 ist auch keine Kubikzahl, genau wie alle anderen Zahlen.

Wie gesagt ist es für die Aufgabe nicht relevant, aber eine gute Übung, weil man einige Aufgaben mit dieser Überlegung lösen kann.
Man rechnet ein paar Folgeglieder aus und versucht die Regelmäßigkeit zu erkennen, welche man durch Induktion dann beweist.

25.07.2015, 17:01

Rivago

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Oh man..

Ich denk es ist ne geometrische Folge???

Was macht man denn dann in der Lösung`?

25.07.2015, 17:11

Grashalmfest

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Ja, es ist eine geometrische Reihe.
Es geht darum den Flächeninhalt zu beschreiben.

Wie verändert sich denn der Flächeninhalt jeweils.
Also wenn du zu erst nur das große Quadrat mit dem Flächeninhalt a^2 hast, wie groß ist dann (eines) der neuen Quadrate?
Bzw. welche Seitenlänge haben die neuen Quadrate?

25.07.2015, 17:29

Rivago

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Nehm es mir nicht übel, aber ich komm mit der Art Hilfe nicht weiter..

25.07.2015, 17:37

mYthos

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Versuchen wir es mal anders:

Zitat:

Original von Rivago
Also die Folge ist 1,5,13,29, ...
...
Stimmt das?

Deswegen schon nicht, weil bei einer geometrischen Folge der Quotient zweier aufeinanderfolgender Glieder immer gleich sein muss.
Ist nun 5/1 = 13/5 = 29/13? Sicher nicht.

Baue die Glieder der Reihe so auf, wie in der Angabe beschrieben:

$\begin{eqnarray*} A_1 = a^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A_2 = 4 (\frac a 3)^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A_3 = 8 (\frac a 9)^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A_4 = 16 (\frac a {27})^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ldots \end{eqnarray*}$

Wenn du das nun weiter berechnest, kannst du - ab A2* - schon eine Gesetzmäßigkeit erkennen?
Diese Gesetzmäßigkeit $\begin{eqnarray*} a_n = f(n) \end{eqnarray*}$ berechnet, wie sich der Wert des n-ten Gliedes aus dem Index n ergibt.

Aber wichtiger ist nun, festzustellen, ob der Quotient zweier aufeinanderfolgender Glieder konstant und wie groß er ist.
Dann erkennst du - infolge der Quotienteneigenschaft - dass es sich um eine geometrische Reihe handelt.

(*) A1 "tanzt aus der Reihe", das kann man aber nachher leicht beheben.

mY+

25.07.2015, 17:42

Rivago

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Die Zahl vor der Klammer ist immer eine Zweierpotenz, also für die Unendlichkeit ist es 2^n

In der Klammer wird jeweils 1/3 dazu multipliziert..

25.07.2015, 17:48

mYthos

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Wenn in der Klammer immer mit 1/3 multipliziert wird, was heisst dies dann für das Quadrat?

Für die "Unendlichkeit" ist maßgebend, dass die Summe aller Glieder einen endlichen Wert hat.
Hier kommt es also nicht auf das Bildungsgesetz per se an, sondern, wie sich das nächstfolgende Glied aus dem vorhergehenden ergibt und mit welchem Glied die Reihe beginnt.
Für die Summe der unendlichen geometrischen Reihe verwendest du dann

$\begin{eqnarray*} s_{\infty} = \frac {b_1}{1 - q}; \ \ b_1 \ \text{erstes Glied}; \ \text{Quotient } |q| < 1 \end{eqnarray*}$

Also q muss kleiner als 1 sein (dann existiert der Grenzwert der Reihe und ist gleich obigem Ausdruck).

mY+

25.07.2015, 17:50

Rivago

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Und was muss ich jetzt damit machen?

Für b = 1 einsetzen?

25.07.2015, 17:54

mYthos

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Für b1 das erste Glied dieser Reihe.

Zunächst geht es aber um den Quotienten:
Wenn in der Klammer immer mit 1/3 multipliziert wird, was heisst dies dann für das Quadrat?
Ausserdem wird auch immer noch mit 2 multipliziert. Also ist der Quotient .. ?

25.07.2015, 17:59

Rivago

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Er ist 2/9..

Aber ich weiß nicht, ob ich da jetzt darauf gekommen wäre, wenn ich die Lösung nicht gekannt hätte verwirrt

verwirrt

25.07.2015, 18:02

mYthos

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Ja, 2/9
Deswegen, weil einerseits immer mit 2 multipliziert wird und andererseits, weil $\begin{eqnarray*} (\frac a 3)^2 = \frac 1 9 a^2 \end{eqnarray*}$ ist.

Noch zu dem Trick bei A1:
Die Reihe wäre "perfekt", wäre $\begin{eqnarray*} A_1 = 2a^2 \end{eqnarray*}$ , denn dann wäre q durchwegs konstant gleich 2/9.

Nun, wir rechnen einfach als wäre es so, also mit $\begin{eqnarray*} A_1 = 2a^2 \end{eqnarray*}$ (das ist unser erstes Glied "b1") und ziehen dann zum Schluß ein $\begin{eqnarray*} a^2 \end{eqnarray*}$ ab (in der Musterlösung ist dies auch so gemacht worden).
Wir können natürlich auch erst mit A2 beginnen und zum Schluss noch $\begin{eqnarray*} a^2 \end{eqnarray*}$ addieren.

mY+

25.07.2015, 18:06

Rivago

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hmm.. Also wir haben jetzt $\begin{eqnarray*} A_1 = 2a^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} q = \frac{2}{9} \end{eqnarray*}$

Wo muss ich das jetzt einsetzen?

25.07.2015, 18:11

mYthos

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Liest du eigentlich die Beiträge genau?
Habe ich dir angegeben!

Übrigens wurde in der Musterlösung der Grenzübergang durchgeführt, was aber nicht notwendig ist, wenn dies einmal allgemein gemacht und daraus dann diese Formel erstellt wird.

mY+

25.07.2015, 18:17

Rivago

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Zitat:

Original von mYthos

$\begin{eqnarray*} s_{\infty} = \frac {b_1}{1 - q}; \ \ b_1 \ \text{erstes Glied}; \ \text{Quotient } |q| < 1 \end{eqnarray*}$

Also dann in die..

$\begin{eqnarray*} s_{\infty} = \frac {2a^2}{1 - \frac{2}{9}} - a^2 = \frac{11}{7}a^2 \end{eqnarray*}$

Na ok, so schwer ist es ja nicht, wenn man weiß wie es geht..

Magst du mir noch bei einer ähnlichen Aufgabe helfen?

Aber noch was anderes..

In meinem Ordner aus der Schulzeit hab ich gerade 2 Formeln dazu gefunden:

$\begin{eqnarray*} S_n = \underbrace{ a_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1}}_{q > 1} = \underbrace{ a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q}}_{q < 1} \end{eqnarray*}$

Wo ist jetzt der Unterschied zu deiner Formel?

25.07.2015, 18:35

mYthos

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In deinen zuletzt angegebenen Formeln wurde der Grenzübergang noch nicht durchgeführt.
Also, hast du dort den Grenzwert

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} q^n \ \text{für } q < 1 \end{eqnarray*}$

zu ermitteln!

mY+

25.07.2015, 18:38

Rivago

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Okay

smile

Ich hab gerade noch eine andere Aufgabe gemacht, die hat auf Anhieb funktioniert smile

smile

Freude

Ich probier mal noch eine und melde mich wieder, wenn es nicht klappt smile

smile

Edit: Hast du auch noch eine Formeln für q > 1, bei der ich den Grenzübergang nicht machen muss?

25.07.2015, 18:41

mYthos

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Also, der gegenständliche Grenzwert ist 0. Damit kriegst du die "bewusste" Formel.
Hast du das so berechnen können?

mY+

25.07.2015, 18:43

Rivago

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Wie, was meinst du jetzt`?

25.07.2015, 18:59

mYthos

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Ob du den Grenzwert berechnen konntest, also $\begin{eqnarray*} \frac {a_1}{1-q} \end{eqnarray*}$ wegen $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} q^n = 0 \ \text{für } q < 1 \end{eqnarray*}$
---------

Die Formel für beliebige q ist als solche so bekannt, willst du sie beweisen?
---------

$\begin{eqnarray*} s_n := a_1+a_1q+a_1q^2 + ... + a_1q^{n-1} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_n = a_1q^{n-1} \text{ "Bildungsgesetz", und } n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

q ist der Quotient der geometrischen Folge/Reihe.
Je nachdem, ob q kleiner oder größer als 1 ist, gibt es einen Grenzwert der Reihensumme oder nicht.
Allerdings muss zuerst die Summenformel bekannt bzw. bewiesen sein, bevor du dich an die Grenzwertberechnung machen kannst.

$\begin{eqnarray*} s_n = a_1+a_1q+a_1q^2 + ... + a_1q^{n-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} s_n \cdot q = a_1q+a_1q^2 + ... + a_1q^{n-1} + a_1q^n \end{eqnarray*}$
____________________________________________________

Subtrahiere die beiden Gleichungen und stelle danach nach $\begin{eqnarray*} s_n \end{eqnarray*}$ um, und schon ergibt sich die gesuchte Formel.

mY+

25.07.2015, 19:03

Rivago

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Ja, ich konnte den Grenzwert berechnen. Steht ja schon oben, $\begin{eqnarray*} \frac{11}{7}a^2 \end{eqnarray*}$ smile

smile

Gibt es so eine Formel auch noch für q > 1?

Ich glaub dir mal und lass das mit dem Beweis.. hab dazu keine Zeit Augenzwinkern

Augenzwinkern

25.07.2015, 19:08

mYthos

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Wie schon gesagt, gibt es keinen Grenzwert für q > 1, warum? (solltest du kurz beantworten können)
------

Und, ich wollte wissen,
ob du allgemein den Grenzwert (diese Formel) berechnen konntest, also $\begin{eqnarray*} s_{\infty} = \frac {a_1}{1-q} \end{eqnarray*}$ wegen $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} q^n = 0 \ \text{für } q < 1 \end{eqnarray*}$
---------

mY+

25.07.2015, 19:23

Rivago

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Stimmt.. mal angenommen q = 2, dann wird das ja in der Unendlichkeit immer größer, statt kleiner, also geht gegen +Unendlich..

Geht der Grenzwert gegen 1?

25.07.2015, 20:05

mYthos

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Welchen Grenzwert meinst du, den von $\begin{eqnarray*} q^n \end{eqnarray*}$ ?
Wenn q < 1, geht dieser gegen Null.

25.07.2015, 20:07

Rivago

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Ach belassen wir es dabei smile

smile

Hab die Aufgabe ja jetzt gelöst und jetzt glaub auch das Prinzip verstanden.. Hab inzwischen 3 weitere Aufgaben lösen können smile

smile

25.07.2015, 20:25

mYthos

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Na, das ist doch schon mal ein Fortschritt smile

smile

Bis zum nächsten Mal!

mY+

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