Wahrscheinlichkeitsverteilung

24.07.2015, 23:47

Kimyaci

Wahrscheinlichkeitsverteilung

Für ein Würfelexperiment mit einem auf bestimmte Weise verfälschten Würfel gibt es die folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung:

$\begin{eqnarray*} \begin{tabular}{ccccccc}<br /> Augenzahl $i$ & $1$ & $2$ & $3$ & $4$ & $5$ & $6$ \\<br /> Wahrscheinlichkeit $p_i = p(i)$ & $p_1$ & $\frac 1 8$ & $\frac 1 8$ & $p_4$ & $\frac 1 8$ & $\frac 1 4$ \\<br /> \end{tabular} \end{eqnarray*}$

Bekannt ist ferner, dass eine gerade Zahl mit der Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} p(\text{gerade}) = \frac 1 2 \end{eqnarray*}$ auftritt.

a) Berechnen Sie die Einzelwahrscheinlichkeiten $\begin{eqnarray*} p_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p_4 \end{eqnarray*}$ .

b) Mit welchen Wahrscheinlichkeiten treten dabei die Ereignisse A = 1,6 und B = 2,3,4 auf?

Ich weiß nicht ob ich es mir zu einfach mache, aber:

a) Da die Ereignisse $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^3 A_{2i-1} \end{eqnarray*}$ ja mit einer Wahrscheinlichkeit p = 1/2 auftreten, sollte doch:

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^3 p(2i-1) = \frac 1 2 \end{eqnarray*}$

Und somit (da $\begin{eqnarray*} p_3 = p_5 = \frac 1 8 \end{eqnarray*}$ ) ist:

$\begin{eqnarray*} p_1 = \frac 1 4 \end{eqnarray*}$

sein. Da die Wahrscheinlichkeit, dass irgendein Ereignis eintreten muss, gleich 1 ist. Sollte ich doch $\begin{eqnarray*} p_4 \end{eqnarray*}$ über folgende Relation erhalten:

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^6 p_i = 1 \end{eqnarray*}$

Damit wäre

$\begin{eqnarray*} p_4 = \frac 1 8 \end{eqnarray*}$

Oder?

b) Was ist denn mit der Fragestellung gemeint? Heißt A = 1,6, dass zweimal gewürfelt wird und dabei einmal 1 und einmal 6 erhalten werden soll? Dann würde ich vorschlagen:

$\begin{eqnarray*} P(A_1 \cap A_6) = p(A_1) \cdot p(A_6) = p_1 \cdot p_6 = \frac 1 4 \cdot \frac 1 4 = \frac 1 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(B_2 \cap B_3 \cap B_4) = p_2 \cdot p_3 \cdot p_4 = \frac 3 8 \end{eqnarray*}$

verwirrt

25.07.2015, 01:17

Mathe-Maus

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RE: Wahrscheinlichkeitsverteilung
zu a) Hmm, ich würde aus den Daten und der Ast lesen, dass 1 gerade Zahl mit p= 1/2 auftritt ... da bleibt nur i=4 übrig ...

zu b) Da würde ich genauso vorgehen ...

------------
Ist das die Originalaufgabenstellung ? verwirrt

LG Mathe-Maus Wink

25.07.2015, 02:03

Kimyaci

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RE: Wahrscheinlichkeitsverteilung
Zunächst: Ja das ist die vollständige Aufgabenstellung im Originalwortlaut. Ich tippe die Aufgaben immer 1:1 so ab wie sie gestellt werden. Was stört dich denn dran?

Zitat:

zu a) Hmm, ich würde aus den Daten und der Ast lesen, dass 1 gerade Zahl mit p= 1/2 auftritt ... da bleibt nur i=4 übrig ...

Das hatte ich zunächst auch angenommen. Aber wenn die Zahl 1 mit der Wahrscheinlichkeit 50% auftritt ist die gesamte Wahrscheinlichkeit (auch ohne p4):

$\begin{eqnarray*} \sum_i^6 P_i > 1 \end{eqnarray*}$

was ja nicht sein kann, da es sonst über 100% wäre?

25.07.2015, 02:08

Mathe-Maus

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RE: Wahrscheinlichkeitsverteilung
Ich kann nirgends lesen, dass die Zahl 1 mit einer Wkt. von 50% auftritt ...
(Ist die Zahl 1 eine gerade Zahl ?)

25.07.2015, 02:18

Kimyaci

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Hups, ich sollte genauer lesen. Du meinst also, dass

$\begin{eqnarray*} p_4 = \frac 1 2 \end{eqnarray*}$

ist und man nur noch $\begin{eqnarray*} p_1 \end{eqnarray*}$ berechnen soll? Mich stört trotzdem der Fakt, dass dann die Gesamt-Wahrscheinlichkeit > 100% ist..

25.07.2015, 02:55

Dopap

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kurze Bemerkung: Ereignisse sind Teilmengen der Ergebnismenge $\begin{eqnarray*} \Omega=\{1,2,3,4,5,6\} \end{eqnarray*}$

sauber geschrieben also $\begin{eqnarray*} A=\{1,6\} \quad \text{und}\quad B= \{2,3,4\} \end{eqnarray*}$

schreib doch dein Alter mit in das Profil, das könnte manchmal helfen.

Stehen die Wahrscheinlichkeiten inzwischen fest? Augenzwinkern

25.07.2015, 03:01

Mathe-Maus

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$\begin{eqnarray*} p_4 = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ würde ich auch ansetzen.
Ist die einzige GERADE Zahl, deren Wkt. noch nicht vorliegt.

Die Summe aller Wkt. ist 1, somit musst Du nur noch p_1 ausrechnen ...

------------
@Dopap: Deine saubere Schreibweise sollte eigentlich in der Ast stehen ... Prost

25.07.2015, 03:04

Kimyaci

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Hm.

$\begin{eqnarray*} p_1 + p_2 + p_3 + p_4 + p_5 + p_6 = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} p_1 = - \frac 1 8 \end{eqnarray*}$

Wenn p4 = 1/2 ist stimmt was nicht, weil

$\begin{eqnarray*} p_2 + p_3 + p_4 + p_5 + p_6 > 1 \end{eqnarray*}$

ist..

25.07.2015, 03:17

Mathe-Maus

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Jepp, da hast Du Recht ...

Moment bitte ...

25.07.2015, 03:20

Kimyaci

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Puh, dann brauche ich mir doch keine Sorgen um negative Wahrscheinlichkeiten zu machen.

Ich weiß ja nun wie die Aufgabe zu lösen ist. Vielen lieben Dank für die Hilfe so spät noch! smile

25.07.2015, 03:22

Mathe-Maus

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Wenn man interpretiert, dass die geraden Zahlen mit einer Wkt. von 0,5 auftreten,
dann wäre ja
p_2 + p_4 + p_6 = 0,5

25.07.2015, 03:38

Kimyaci

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Dann wäre p_4 = 1/8. Dankeschön!

25.07.2015, 04:00

Mathe-Maus

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So, Server wieder da ...

Wenn man interpretiert, dass die geraden Zahlen zusammen mit einer Wkt. von 0,5 auftreten,

p_2 + p_4 + p_6 = 0,5

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{8} + p_4 + \frac{1}{4} = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} p_4= \frac{1}{8} \end{eqnarray*}$

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