Vollständige Induktion (2)

25.07.2015, 11:28

Rivago

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Vollständige Induktion (2)

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k = 0}^n (k \cdot 2^k) = 2 + 2^{n+1} \cdot (n-1) \end{eqnarray*}$

IA gelingt..

Induktionsannahme spar ich mir jetzt auch mal aufzuschreiben..

Induktionsbehauptung:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k = 0}^{n + 1} (k \cdot 2^k) = \sum\limits_{k = 0}^n (k \cdot 2^k) + (n + 1) \cdot 2^{n + 1} = 2 + 2^{n + 1} \cdot (n - 1) + (n + 1) \cdot 2^{n + 1} \end{eqnarray*}$

Stimmt das nicht? In der Lösung steht schon wieder was anderes unglücklich

unglücklich

25.07.2015, 11:32

Iorek

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Als Tipp: gewöhne dir für solche Aufgaben ein absolut genaues und rigoroses Vorgehen an. Einfach IA und IV überspringen mag verlockend sein, eine saubere Vorgehensweise würde hier aber helfen.

Schreibe dir doch mal auf, was du gerade überhaupt zeigen willst, sprich schreibe die zu zeigende Behauptung mit $\begin{align*} n+1 \end{align*}$ einmal sauber auf. Vielleicht hilft dir das schon, den nächsten Schritt zu sehen (und was die Lösung sagt, ist zunächst noch nicht relevant).

25.07.2015, 11:33

Mi_cha

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doch, bisher stimmt das. Du bist aber noch nicht am Ende.

25.07.2015, 11:39

Rivago

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Hier auf meinem Zettel hab ich es aufgeschrieben, Iorek Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich war jetzt nur zu faul, dass auch hier nochmal zu schreiben.

Ich hab jetzt 2^n+1 ausgeklammert.. $\begin{eqnarray*} 2^{n + 1} \cdot ((n - 1) + (n + 1)) + 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2^{n + 1} \cdot 2n + 2 \end{eqnarray*}$

Und nun?

25.07.2015, 11:43

Iorek

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Zitat:

Original von Iorek
Schreibe dir doch mal auf, was du gerade überhaupt zeigen willst, sprich schreibe die zu zeigende Behauptung mit $\begin{align*} n+1 \end{align*}$ einmal sauber auf.

25.07.2015, 11:50

Rivago

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Ich will zeigen, dass $\begin{eqnarray*} 2 + 2^{n + 1} \cdot (n - 1) \end{eqnarray*}$ das gleiche ist wie $\begin{eqnarray*} 2 + 2^{n + 1} \cdot (n - 1) + (n +1) \cdot 2^{ n + 1} \end{eqnarray*}$

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25.07.2015, 11:55

Iorek

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Nein, das willst du nicht zeigen. unglücklich

unglücklich

Behauptung: $\begin{align*} \sum\limits_{k=0}^n k\cdot 2^k=2+2^{n+1}(n-1) \end{align*}$

Dies soll mit vollständiger Induktion bewiesen werden. Im Induktionsanfang setzen wir $\begin{align*} n=0 \end{align*}$ und rechnen beide Seiten aus, passt. In der Induktionsvoraussetzungen/Induktionsannahme gehen wir davon aus, dass die Aussage für ein festes, beliebiges $\begin{align*} n\in\mathbb N \end{align*}$ stimmt. Nun zeigen wir, dass daraus die Gültigkeit der Aussage für $\begin{align*} n+1 \end{align*}$ folgt, in Zeichen oft als $\begin{align*} n\mapsto n+1 \end{align*}$ geschrieben.

Also wollen wir nun zeigen, dass $\begin{align*} \sum\limits_{k=0}^{n+1} k\cdot 2^k=2+2^{(n+1)+1}((n+1)-1) \end{align*}$ .

25.07.2015, 11:59

Rivago

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Jetzt versteh ich gar nichts mehr..

Naja, lassen wir es dabei gut sein.. Auf den Nachweis gibt es eh nur 2 Punkte. Muss ich die halt freiwillig hergeben..

25.07.2015, 12:04

Iorek

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Wo liegt denn gerade dein Problem? Alles was ich gemacht habe ist die Behauptung $\begin{align*} \sum\limits_{k=0}^n k\cdot 2^k=2+2^{n+1}(n-1) \end{align*}$ zu nehmen, und für jedes $\begin{align*} n \end{align*}$ ein $\begin{align*} (n+1) \end{align*}$ einzusetzen.

Im Rahmen welcher Klausur wirst du es denn mit solchen Aufgaben zu tun bekommen?

25.07.2015, 12:11

Rivago

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Mein Problem liegt darin, dass du die Aufgabe wieder ganz anders angehst, als zum Beispiel gestern diese hier gemacht wurde: Vollständige Induktion

Da hat man eben nicht überall n+1 eingesetzt, da wo ein n steht, sondern nur bei $\begin{eqnarray*} k \cdot 3^k \end{eqnarray*}$ . Bei dem k dann n+1 eingesetzt und dan Rest so gelassen..

Mathe im Studiengang Maschinenbau.. Am Montag. Ich weiß jetzt schon, dass ich da durchfall Freude

Freude

25.07.2015, 12:18

Iorek

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Dann scheint dir generell das Prinzip der vollständigen Induktion noch nicht klar zu sein, was man macht, warum man das macht etc.; dafür könntest du dir z.b. mal die Veranschaulichung und Beispiele auf Wikipedia ansehen, da wird das nochmal gut zusammengefasst.

Ich gehe die Aufgabe überhaupt nicht anders an, als ihr es gestern gemacht habt. Du bist im Prinzip auch schon am Ziel, aber du siehst es noch nicht.

Du musst zeigen: $\begin{align*} \sum\limits_{k=0}^{n+1} k\cdot 2^k=2+2^{(n+1)+1}((n+1)-1) \end{align*}$ . Auf der rechten Seite kann man natürlich noch ein paar Sachen zusammenfassen.

Du stehst bei: $\begin{align*} \sum\limits_{k=0}^{n+1} k\cdot 2^k=2^{n+1}\cdot 2n+2 \end{align*}$ . Eine weitere Umformung und du bist genau da, wo du hinwillst.

25.07.2015, 12:23

Rivago

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Und wie forme ich das jetzt noch weiter um?

25.07.2015, 12:32

Iorek

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Form zuerst einmal $\begin{align*} \sum\limits_{k=0}^{n+1} k\cdot 2^k=2+2^{(n+1)+1}((n+1)-1) \end{align*}$ soweit um, dann sollte es eigentlich auch mit der zweiten Umformung klappen. smile

smile

25.07.2015, 12:36

Rivago

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Wie gesagt, ich versteh nicht, warum du das so schreibst..

In dem anderen Thread wurde es nicht so gemacht.

25.07.2015, 12:44

Iorek

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Es wurde nicht explizit so aufgeschrieben, das hatte ich dir als Hilfe vorgeschlagen, aber genau das habt ihr gestern gemacht. unglücklich

unglücklich

In deinem ersten Post lieferst du als Bild: $\begin{align*} \sum\limits_{k=0}^n k\cdot 3^k=\frac{3}{4}(3^n\cdot(2n-1)+1) \end{align*}$ .

In deinem zweiten Post hast du ein Bild mit der Lösung angehängt. Ich nehmen jetzt mal die ganzen Zwischenschritte raus, dann steht da: $\begin{align*} \sum\limits_{k=0}^{n+1} k\cdot 3^k=\frac{3}{4}(3^{n+1}\cdot(2n+1)+1) \end{align*}$ . Und wenn wir jetzt ganz scharf hingucken, dann könnte man auch $\begin{align*} \sum\limits_{k=0}^{n+1} k\cdot 3^k=\frac{3}{4}(3^{n+1}\cdot(\underbrace{2(n+1)-1}_{=2n+2-1=2n+1})+1) \end{align*}$ schreiben, was nichts anderes ist, als in der Ausgangsgleichung für jedes $\begin{align*} n \end{align*}$ ein $\begin{align*} (n+1) \end{align*}$ eingesetzt zu haben.

Und das Vorgehen bei der Induktion sieht nun einmal so aus: ausgehend von der Annahme, dass die Behauptung für ein festes, beliebiges $\begin{align*} n\in\mathbb N \end{align*}$ bereits gezeigt wurde, folgt die Gültigkeit der Aussage für $\begin{align*} n+1 \end{align*}$ .

Und bei deiner Aufgabe können wir noch $\begin{align*} \sum\limits_{k=0}^{n+1} k\cdot 2^k=2^{n+1}\cdot 2n+2=2^{n+2}n+2=2+2^{n+2} \end{align*}$ zusammenfassen. Das entspricht dann genau der Aussage, die zu zeigen war.

25.07.2015, 12:53

Rivago

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Induktionsvoraussetzung: Für ein beliebiges, aber festes $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ gelte die Aussage, also $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^n (k \cdot 3^k) = \frac{3}{4} (3^n \cdot (2n-1) + 1) \end{eqnarray*}$ .

Induktionsschritt: Indem wir die Induktionsvoraussetzung (im 2. Gleichheitszeichen) verwenden, erhalten wir:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{n+1} (k \cdot 3^k) = \sum\limits_{k=0}^{n} (k \cdot 3^k) + (n+1) \cdot 3^{n+1} = \frac{3}{4} \textcolor{red}{(3^n \cdot (2n-1) + 1)} + (n+1) \cdot 3^{n+1} = ... \end{eqnarray*}$

Wo wurde da n+1 eingesetzt?

Wie gesagt, ich würde jetzt hier Schluss machen, da ich es eh nicht verstehe.. die 2 Punkte muss ich halt liegen lassen unglücklich

unglücklich

25.07.2015, 12:58

Iorek

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Ok...versteh es nicht falsch, aber ich habe den Eindruck, dass du überhaupt keine Ahnung hast, was du da überhaupt machst, wo du hin willst, was der Sinn hinter der Induktion ist. Und auch wenn eine Induktion in so einer Klausur eigentlich als reine Rechenaufgabe angelegt ist, solltest du schon ein klein wenig davon verstanden haben, um überhaupt den notwendigen Rechenweg zu sehen. Du solltest dir also noch einmal das Prinzip der vollständigen Induktion klar machen.

25.07.2015, 13:04

Rivago

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Ich hab keine Zeit mehr, mir das noch anzueignen. Montag ist die Prüfung. Dachte halt, dass das Prinzip immer das selbe ist, aber anscheinend ja nicht..

25.07.2015, 13:05

Iorek

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Das Prinzip ist immer vergleichbar, ja. Aber du hast das Grundkonzept auf dem dieses Prinzip aufbaut noch nicht verstanden; das macht die Sache natürlich erheblich schwerer.

25.07.2015, 14:41

Mathema

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Ich probiere auch noch mal mein Glück:

Zitat:

Induktionsschritt: Indem wir die Induktionsvoraussetzung (im 2. Gleichheitszeichen) verwenden, erhalten wir:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{n+1} (k \cdot 3^k) = \sum\limits_{k=0}^{n} (k \cdot 3^k) + (n+1) \cdot 3^{n+1} = \frac{3}{4} \textcolor{red}{(3^n \cdot (2n-1) + 1)} + (n+1) \cdot 3^{n+1} = ... \end{eqnarray*}$

Wo wurde da n+1 eingesetzt?

Du ersetzt im Induktionsschritt jedes n durch (n+1). Diese Aussage gilt es zu zeigen. Du kannst sie dir also gerne erstmal hinschreiben und darfst sie nie aus den Augen verlieren. Es gilt also folgendes zu zeigen:

Wir nehmen unsere Voraussetzung:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^n (k \cdot 3^k) = \frac{3}{4} (3^n \cdot (2n-1) + 1) \end{eqnarray*}$ .

und ersetzen alle n die wir finden durch (n+1):

$\begin{eqnarray*} \textcolor{red}{\sum\limits_{k=0}^{n+1} (k \cdot 3^k)} = \frac{3}{4} (3^{n+1} \cdot (2(n+1)-1) + 1)= \textcolor{blue}{\frac{3}{4} (3^{n+1} \cdot (2n+1) + 1)} \end{eqnarray*}$ .

Diese Gleichheit gilt es zu zeigen.

So - nun geht´s los. Wir starten mit rot und formen nun so lange um, bis wir bei blau landen. Dann ist die Induktion fertig. Was wir dabei benutzen dürfen, ist die IV, wir müssen also immer kennzeichnen, wenn wir diese nutzen.

$\begin{eqnarray*} \textcolor{red}{\sum\limits_{k=0}^{n+1} (k \cdot 3^k)} = \sum\limits_{k=0}^{n} (k \cdot 3^k)+ (n+1)\cdot 3^{n+1} \end{eqnarray*}$

Hier wurde nur der letzte Summand abgespaltet, um nun die IV zu nutzen.

$\begin{eqnarray*} \stackrel{IV}{=} \frac{3}{4} (3^n \cdot (2n-1) + 1)+(n+1)\cdot 3^{n+1} \end{eqnarray*}$

Nun kannst du schon mal wieder blau angucken. Die $\begin{eqnarray*} \frac{3}{4} \end{eqnarray*}$ steht als Faktor vor einer einzigen Klammer. Das wollen wir nun auch. Also klammern wir aus:

$\begin{eqnarray*} =\frac{3}{4}( (3^n \cdot (2n-1) + 1)+\frac{4}{3}(n+1)\cdot 3^{n+1}) \end{eqnarray*}$

Wieder einen Schritt näher. Nun geht´s los mit Termumformung:

$\begin{eqnarray*} =\frac{3}{4}( (3^n \cdot (2n-1) + 1)+\frac{4}{3}(n+1)\cdot 3 \cdot 3^{n}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{3}{4}(3^n(2n-1+4(n+1))+1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{3}{4}(3^n(6n+3)+1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{3}{4}(3^n(3(2n+1))+1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\textcolor{blue}{\frac{3}{4}(3^{n+1}(2n+1)+1)} \end{eqnarray*}$

Fertig. Vielleicht hilft es ja noch. Primärer Hintergrund war es mir auch einfach noch dir viel Erfolg für Montag zu wünschen!

smile

smile

25.07.2015, 21:44

Rivago

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Zitat:

Original von Mathema

$\begin{eqnarray*} \textcolor{red}{\sum\limits_{k=0}^{n+1} (k \cdot 3^k)} = \frac{3}{4} (3^{n+1} \cdot (2(n+1)-1) + 1)= \textcolor{blue}{\frac{3}{4} (3^{n+1} \cdot (2n+1) + 1)} \end{eqnarray*}$ .

Das ist die Induktionsbehauptung, oder?

26.07.2015, 12:24

Mathema

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Das hast du richtig erkannt. Diese gilt es ja nun im Induktionsschritt zu zeigen. Das sollte man auch so formulieren. Eine Induktion verläuft eben nach einem klaren Schema. Das bekommst du bestimmt hin in deiner Klausur, du hast hier gute Hilfe von Iorek erhalten. Lies dir auch noch mal seinen Link durch, wenn du noch die Zeit hast.
Wink

Wink

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