Geometrische Reihe (2)

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25.07.2015, 18:52	Rivago	Auf diesen Beitrag antworten »
Geometrische Reihe (2) Und noch eine. Etwas lustige Aufgabe Aufgabenteil a und b hab ich gelöst Aber bei der c hängt es gerade.. Ich hätte gedacht: 12 Studenten, von denen jeder max. 0,6 l trinken kann, ergibt dann mind. 12 Runden. 12 * 0,6 = 7,2. und 7 Liter sind es ja..
25.07.2015, 20:10	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Sie wollen aber doch noch auf eine andere Party und nicht unendlich lange trinken. Deine Reihe geht also nur noch bis zur Rundenzahl, die gesucht wird.
25.07.2015, 20:19	Rivago	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm.. ich steh aufm Schlauch.. Kannst du mir auf die Sprünge helfen?
25.07.2015, 20:25	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Also: In der ersten Trinkrunde trinkt jeder der 12 Studenten einen Becher mit dem Inhalt 0,3 Liter. In der zweiten Trinkrunde dann nur noch $\begin{eqnarray} 0,3 \cdot \frac 12 \end{eqnarray}$ usw. Gefragt ist nun wann die 7 Liter aufgebraucht sind.
25.07.2015, 20:31	Rivago	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja genau.. zusammen können sie demnach maximal 7,2 Liter trinken. Aber wie find ich jetzt heraus, wann sie 7 getrunken haben?
25.07.2015, 20:34	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Indem Du die einzelnen Runden berücksichtigst. Wie oben schon gesagt hast Du es mit einer endlichen Reihe zu tun. Gesucht ist der Index bis zu dem die Reihe läuft. Überlege Dir, wieviel in der n-ten Runde getrunken wird und entwickele dann eine Formel für die Gesamtmenge von der ersten bis zur n-ten Runde. Diese muss 7 Liter ergeben.
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25.07.2015, 20:48	Rivago	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich komm nicht drauf
25.07.2015, 20:52	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} 1. Runde : 12 \cdot 0,3 \cdot 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2. Runde : 12 \cdot 0,3 \cdot \frac 12 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 3. Runde : 12 \cdot 0,3 \cdot \left(\frac 12\right)^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 4. Runde : 12 \cdot 0,3 \cdot \left(\frac 12\right)^3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} n. Runde : ~? \end{eqnarray}$ Insgesamt also ....
25.07.2015, 21:01	Rivago	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} n. Runde : 12 \cdot 0,3 \cdot \left(\frac 12\right)^n \end{eqnarray}$ Dann würde ich jetzt $\begin{eqnarray} 7 = 3,6 \cdot \left(\frac 12\right)^n \end{eqnarray}$ rechnen?!
25.07.2015, 21:06	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Formel für die n.Runde stimmt nicht ganz. Schau Dir noch mal meine Auflistung an und vergleiche die mit deiner Formel. Ein kleiner, aber entscheidender Unterschied liegt vor. Die zweite Gleichung ist dann leider Quatsch, denn es geht nicht darum die Runde zu bestimmen, in der alle zusammen 7 Liter trinken (was sie ja auch nicht schaffen würden), sondern die Gesamtmenge des getrunkenen Alkohols soll 7 Liter betragen. Wie berechnest Du die Menge, die von Runde 1 bis Runde n insgesamt getrunken wurde?
25.07.2015, 21:11	Rivago	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann vllt so? $\begin{eqnarray} n. Runde : 12 \cdot 0,3 \cdot \left(\frac 12\right)^{n + 1} \end{eqnarray}$ Zu deiner anderen Frage: Das berechne ich so: $\begin{eqnarray} 3,6 \cdot \frac{1}{1 - 0,5} = 7,2 \end{eqnarray}$
25.07.2015, 21:35	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Also steht oben für die n=2.Runde $\begin{eqnarray} 2. Runde : 12 \cdot 0,3 \cdot \left(\frac 12\right)^3 \end{eqnarray}$ ? Zum zweiten Teil: Nein, es ist doch immer noch eine endliche Summe. Du rechnest die ganze Zeit mit einer unendlichen. Richtig ist, dass Du die einzelnen Trinkmengen aufsummieren musst und zwar von k=1 bis k=n. Das Ergebnis dieser Summe muss dann gleich 7 sein.
25.07.2015, 21:45	Rivago	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann so.. sorry $\begin{eqnarray} n. Runde : 12 \cdot 0,3 \cdot \left(\frac 12\right)^{n - 1} \end{eqnarray}$ Kannst du es mir nicht einfach kurz hinschreiben, bevor wir noch eine Stunde rätseln?
25.07.2015, 22:38	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
In der Prüfung kriegst Du es auch nicht hingeklatscht, sondern musst selber drauf kommen. Die einzelnen Runden müssen addiert werden, um die Gesamtmenge zu erhalten. Für diese gilt also $\begin{eqnarray} M(n)=\sum_{k=1}^{n} 12 \cdot 0,3 \cdot \left(\frac 12\right)^{k - 1}=3,6 \cdot \sum_{k=1}^{n} \left(\frac 12\right)^{k - 1} \end{eqnarray}$ Wie man eine endliche geometrische Reihe berechnet, sollte Dir bekannt sein. Falls nicht schaust Du am besten in die Formelsammlung (die Dir in der Prüfung vermutlich auch zur Verfügung steht).
26.07.2015, 11:01	Rivago	Auf diesen Beitrag antworten »
Wäre doch dann $\begin{eqnarray} 7 = 3,6 \cdot \frac{1 - \left( \frac{1}{2} \right)^{k - 1}}{1 - \frac{1}{2}} \end{eqnarray}$ Und das jetzt nach k auflösen?
26.07.2015, 12:46	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, nach k auflösen, aber mit der richtigen (!) Summenformel $\begin{eqnarray} s_k = a_1 \cdot \frac{1 - \left( \frac{1}{2} \right)^{\color{red}k\color{black}}}{1 - \frac{1}{2}} \end{eqnarray}$

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