Ableitung n-ter Ordnung

25.07.2015, 19:05

MaxMatheMeister

Ableitung n-ter Ordnung

Meine Frage:
Hi!
Ich soll die Ableitung n-ter Ordnung von folgender Funktion bilden:

$\begin{eqnarray*} f(x)=x*ln(x^{2})-2x \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Jetzt kann ich natürlich die einzelnen Ableitungen bilden:

$\begin{eqnarray*} f'(x)= ln(x^{2}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(x)= \frac{2}{x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u.s.w \end{eqnarray*}$

Aber was heißt den n-ter Ordnung? Muss ich ne allgemeine Ableitung für ln aufstellen oder was genau ist damit gemeint?

Vielen Dank für Hilfe!

25.07.2015, 19:11

Grashalmfest

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Zitat:

Aber was heißt den n-ter Ordnung? Muss ich ne allgemeine Ableitung für ln aufstellen oder was genau ist damit gemeint?

In etwa. Du sollst eine Art "Formel" aufstellen mit der du die n-te Ableitung direkt bestimmen kannst. Zum Beispiel die fünfte, oder 17te.

25.07.2015, 19:15

MaxMatheMeister

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Ok, das hatte ich mir schon fast gedacht!
Aber wie geht das? verwirrt

25.07.2015, 19:33

Grashalmfest

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Vielleicht machst du mal bis zur vierten Ableitung weiter und versuchst dann eine Regelmäßigkeit bzw. Formel zu formulieren mit der du die fünfte (oder alle nachfolgenden) Ableitung "vorhersagen" kannst.

Das die Formel dann hält kannst du mittels Induktion beweisen.

26.07.2015, 16:16

MaxMatheMeister

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ja ich habe folgendes:

$\begin{eqnarray*} f'''= -2x^{-2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f^{4}= 4x^{-3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f^{5}=-12x^{-4} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f^{6}=48x^{-5} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u.s.w. \end{eqnarray*}$

klar erkenne ich dort eine Regelmäßigkeit: $\begin{eqnarray*} nx^{n-1} \end{eqnarray*}$ aber ich sehe nicht wie ich da weiterkomme!

26.07.2015, 17:23

Grashalmfest

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Die Regelmäßigkeit ist nicht

$\begin{eqnarray*} f^{n}(x)=nx^{n-1} \end{eqnarray*}$

Das erste was du erkennen solltest ist, dass du ein alternierendes Vorzeichen aber der zweiten Ableitung hast.
Außerdem hast du einen negativen Exponenten.
Und weshalb sollte der Koeffizient n sein. Man sieht doch direkt, dass das nicht stimmt.

Eine solche Regelmäßigkeit macht auch erst aber der zweiten Ableitung Sinn.
f und f' solltest du in deiner Formel außen vor lassen. Hast du bisher aber ohnehin.

27.07.2015, 12:12

MaxMatheMeister

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ja das ist schon klar, dass $\begin{eqnarray*} f^{n}(x)=nx^{n-1} \end{eqnarray*}$ nicht die Regelmäßigkeit ist! Das habe ich nur geschrieben, weil es die Ableitungsformel ist.

Die Regelmäßigkeit ist ja einaml $\begin{eqnarray*} (-1)^{n} \end{eqnarray*}$ wegen des alternierenden Vorzeichens und dann sowas wie $\begin{eqnarray*} x^{-n+1} \end{eqnarray*}$ für den Exponenten.

Mein Problem ist vorallem, wie ich den Faktor vor dem X darstelle! Ich rechne ja immer den Faktor der vorherigen Ableitung mit dem Exponenten, aber wie kann ich das darstellen. Muss ich hier mit einer rekursiven Folge arbeiten?

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