Komplexe Eigenwerte

25.07.2015, 19:11

Amateurphysiker

Komplexe Eigenwerte

Meine Frage:
Hallo liebe Freunde,
mein Problem ist folgendes: Sei A eine nxn-Matrix für die A²=-E gilt.
a) Welche reellen Eigenwerte besitzt A?
b) Wir können die Matrix A auch als eine Matrix mit reellen Einträgen in C^(nxn) auffassen. Welche komplexen Eigenwerte besitzt A?

Meine Ideen:
Meine Erkenntnisse so weit sehen so aus:
A muss so aussehen, dass es nur i auf der Diagonalen hat. Dementsprechend muss das charakteristische Polynom x(\lambda)=(i-\lambda)^n sein. Wolfram Alpha behauptet, der Eigenwert wäre dann \lambda=i
Wenn das stimmt, dann besäße A ja gar keine reellen Eigenwerte, weil der einzige Eigenwert ja i ist. Richtig so weit?
Für die zweite Frage fehlt mir komplett der Ansatz. Welche Einträge sollen reell sein? Macht das einen Unterschied, wenn ich sie reell in C betrachte?

Gruß und Danke

25.07.2015, 19:29

Guppi12

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Hallo,

Die Matrix, mit nur $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ auf der Diagonalen hat erstens keine reellen Einträge und zweitens ist deren Quadrat nicht die Einheitsmatrix (wie kommst du darauf?).

Nimm an $\begin{eqnarray*} \lambda\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ sei ein Eigenwert von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ ein zugehöriger Eigenvektor. Versuche jetzt mal, $\begin{eqnarray*} A^2v \end{eqnarray*}$ auf zwei verschiedene Weisen zu bestimmen.

Zitat:

Für die zweite Frage fehlt mir komplett der Ansatz. Welche Einträge sollen reell sein?

Na die von der Matrix, wovon sonst verwirrt

Edit: Oh, habe das Minus vor dem E übersehen. Dann passt es mit der Matrix, die du meintest natürlich doch, allerdings ist dies bei weitem nicht die einzige solche Matrix und sie soll ja auch reelle Einträge haben. Der Tipp, den ich gegeben habe, passt trotzdem noch.

25.07.2015, 19:51

Amateurphysiker

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Hallo, das ist scheinbar untergegangen in meinem Versagen, die Formatierung ordentlich zu machen.
Das Quadrat der Matrix A soll die negative Einheitsmatrix sein. Dann hauts doch sehr wohl hin mit den $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ auf der Diagonalen.

zu b): Mir ist auch klar, dass die Einträge der Matrix reell sein sollen. Meine Frage war eher allgemeiner Natur. Wie kann ich eine Aussage darüber treffen, ob die Matrix komplexe Eigenwerte besitzt, wenn ich nur weiß dass sie irgendwo irgendwelche reellen Einträge besitzt?

So, muss jetzt erstmal lernen wie man die Formatierung in eurem schönen Forum macht. Nicht dass ich gleich rausgeschmissen werde. Big Laugh

Ich glaube, hier liegt noch was im Argen beim Verständnis:
Zuerst ist nichts über die Matrix bekannt, außer das was gegeben ist. Dann ist $\begin{eqnarray*} i*E \end{eqnarray*}$ doch sehr wohl die einzige, die diese Bedingung erfüllt?
Erst für den Aufgabenteil b) soll die Matrix reelle Einträge bekommen

25.07.2015, 20:00

Guppi12

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Ja, das ist mir später noch aufgefallen, habe oben editiert Augenzwinkern

Zitat:

Nicht dass ich gleich rausgeschmissen werde. Big Laugh

Ach Blödsinn Augenzwinkern

Das Nutzen der Möglichkeiten des Forums ist aber natürlich gerne gesehen. Und: Schön, dass du dich angemeldet hast, daher erstmal ein herzliches Willkommen!

Die Frage b) ist so gemeint: Wenn man eine Matrix aus $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{n\times n} \end{eqnarray*}$ hat, dann hat diese zunächst einmal nur reelle Eigenwerte, die komplexen Zahlen sind quasi überhaupt nicht in unserem Sichtfeld. Nun kann man sich eine solche Matrix aber auch als Element von $\begin{eqnarray*} \mathbb C^{n\times n} \end{eqnarray*}$ vorstellen, deren Einträge aber trotzdem alle reell sind. Dann könnte sie sehr wohl trotzdem nichtreelle Eigenwerte haben. Hier ein Beispiel:

Die Matrix $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}0 & -1 \\ 1 & 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ hat aufgefasst als Element von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{2\times 2} \end{eqnarray*}$ keine Eigenwerte. Aufgefasst als Element von $\begin{eqnarray*} \mathbb C^{2\times 2} \end{eqnarray*}$ hat sie aber sehr wohl die Eigenwerte $\begin{eqnarray*} -i,i \end{eqnarray*}$ .

Edit: Diese Matrix ist übrigens gleichzeitig ein Gegenbeispiel für deine Behauptung, dass $\begin{eqnarray*} i E_n \end{eqnarray*}$ die einzige solche Matrix ist. Bist du dir sicher, dass im ersten Fall nicht eine Matrix aus $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{n\times n} \end{eqnarray*}$ vorausgesetzt wird? Sonst könnten wir im Fall b) nämlich die Matrix keineswegs als Matrix mit reellen Einträgen auffassen, sie könnte ja auch nichtreelle Einträge haben Augenzwinkern

Wie lautet der exakte Aufgabentext?

25.07.2015, 20:35

Amateurphysiker

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Hach ja, du hast völlig Recht. Big Laugh

Das kommt davon, wenn man die Aufgaben nur auf einem gammelig komprimierten Foto über whatsapp hat.
Die Matrix $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ soll in der Tat aus $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ sein. Ich hatte mich schon völlig darauf verstiegen, dass sie nur aus $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ sein kann. Deshalb meine Behauptung. Dein Gegenbeispiel leuchtet mir sehr ein.

Das heißt also, dass eine Matrix die abwechselnd 1 und -1 auf der Anti-Diagonalen (?) hat diese Bedingung erfüllt. Diese hat keine reellen Eigenwerte. Wenn wir aber unser "Blickfeld erweitern", sehen wir, dass doch noch komplexe Eigenwerte existieren. So weit hab ichs verstanden, denke ich.

Edit: nach etwas Rumspielen bei Wolframalpha fällt mir auf, dass es wohl doch nicht nur eine Matrix gibt die das erfüllt, hinsichtlich der Reihenfolge von 1 und -1 . Aber n muss scheinbar auf jeden Fall gerade sein. Stimmt das?

25.07.2015, 20:47

Guppi12

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Dass $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gerade sein muss, ist richtig. Ich würde mich aber nicht so darauf versteifen, die Matrizen zu bestimmen, die das erfüllen. Davon gibt es ziemlich viele. Noch ein Beispiel: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}-1 & -2 \\ 1 & 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Versuche es lieber mal mit dem Tipp, den ich oben gegeben habe, du sollst schließlich nur die möglichen reellen Eigenwerte einer solchen Matrix bestimmen.

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