DGL höherer Ordnung

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26.07.2015, 10:56	Rivago	Auf diesen Beitrag antworten »
DGL höherer Ordnung Mal eine ausgedachte Aufgabe.. $\begin{eqnarray} y''' + 2y'' + y' = 3x \cdot cos(2x) \end{eqnarray}$ Die homogene Lösung wäre $\begin{eqnarray} y_h(x) = c_1 + c_2 \cdot e^{-x} + c_3 \cdot x \cdot e^{-x} \end{eqnarray}$ Jetzt brauch ich ja für die rechte Seite einen Ansatz für die partikuläre Lösung.. Ich würde dann jetzt diesen nehmen: $\begin{eqnarray} q_1(x) \cdot cos(2x) + q_2(x) \cdot sin(2x) \end{eqnarray}$ Wäre das so richtig? Wenn ja, wie geht es dann weiter? Was ist denn q_1 und q_2?
26.07.2015, 11:11	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: DGL höherer Ordnung Die hom . Lösung stimmt. Du mußt den Ansatz produktweise bestimmen: (in Abh . von den Lösungen charakt. Gleichung) Erst von ersten Term. dann vom 2. Term, dann Beides multiplzieren. Dein q_1 und q_2 ist: $\begin{eqnarray} a_{0} + a_{1} x \end{eqnarray}$
26.07.2015, 11:15	Rivago	Auf diesen Beitrag antworten »
Versteh ich nicht so richtig Kannst du mir mal y_p(x) hinschreiben? Vllt erkenn ich dann, wie du dazu gekommen bist.. Die Ableitungen mach ich denn selbst..
26.07.2015, 11:22	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
Du betrachtest beide Faktoren des Störgliedes getrennt: $\begin{eqnarray} 3x: a_{0} +a_{1} x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} cos(2x): A_1 sin(2x) +A_2 cos(2x) \end{eqnarray}$ jetzt Beides multplizieren liefert den Ansatz für die part. Lösung: $\begin{eqnarray} y_{p} = a_{0}* cos(2x) + a_{1}* sin(2x) + a_{2} x cos(2x) + a_{3} x sin(2x) \end{eqnarray*}$
26.07.2015, 11:23	Rivago	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm ich verstehs nicht
26.07.2015, 11:29	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
ich habe Dir zum besseren Verständnis diesen Link gesendet: http://www-math.upb.de/~mathkit/Inhalte/DGLen/data/manifest10/Lsg_inhomDGL_2_Ord_konst_Koeff.html dort gibt es durchgerechnete Beispiele. Schau mal in R U H E und nicht in 2 Minuten dort herein.
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26.07.2015, 11:40	Rivago	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, aber ich hab dazu keine Nerven mehr.. Ich hab es mir angeguckt, ein paar Sachen versteh ich, andere dafür wieder gar nicht.. Muss halt einfach hoffen, dass das dran kommt, was ich auch kann
26.07.2015, 12:18	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
Allg. gilt: Wenn die Störfunktion ein Produkt ist , so ist die Ansatzfunktion ebenfalls ein Produkt. 1. Term: 3x: Ansatz: a_0 +a_1 x Du bildest den Ansatz immer bis zu dem jeweiligen allg. Term , hier ist es 3x, also geht der komplette Ansatz bis a_1 x Wäre es 3 x^2 so würde stehen: a_0 +a_1 x +a_2 x^2 2.Term: hier setzt Du an: A_1 sin(2x) +A_2 cos(2x) ist hier der allg. Ansatz nun Beides multiplizieren Dabei entstehen 2 Konstanten, die Du zu einer zusammenfässt.
26.07.2015, 12:54	Rivago	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt hab ich verstanden, wie das gemeint ist $\begin{eqnarray} (a_1x + a_0) \cdot (A \cdot cos(x) + B \cdot sin(x)) \end{eqnarray}$ Meinst du so?
26.07.2015, 12:58	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
ja , aber es ist noch ein kleiner "Schreibfehler" ?? drin, In der Aufgabe steht eine 2 im Cosinus , die muß ja auch im Ansatz stehen.
26.07.2015, 13:19	Rivago	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, mein Fehler $\begin{eqnarray} (a_1x + a_0) \cdot (A \cdot cos(2x) + B \cdot sin(2x)) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = a_1x \cdot A \cdot cos(2x) + a_1x \cdot B \cdot sin(2x) + a_0 \cdot A \cdot cos(2x) + a_0 \cdot B \cdot sin(2x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = A \cdot cos(2x) \cdot (a_1x + a_0) + B \cdot sin(2x) \cdot (a_1x + a) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = (a_1x + a_0) \cdot (A \cdot cos(2x) + B \cdot sin(2x)) \end{eqnarray}$ So?
26.07.2015, 13:34	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
bis incl. 2. Zeile stimmt es . Dann wählst Du neue beliebige Konstanten: a_1A = a a_1B = b a_0A = c a_0B = d Du erhälst dann: y_p= a x cos(2x) + bx sin(2x) +c cos(2x) +d sin(2x) das mußt Du jetzt 3 Mal ableiten , Koeffizientenvergleich machen.
26.07.2015, 13:44	Rivago	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach du scheiße.. Da muss ich ja auch noch Produktregel zwischendrin anwenden.. Glaub dass das zu aufwendig ist für die Klausur. Wir schreiben ja nur 90 Minuten.
26.07.2015, 13:49	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich will Dir keine Angst machen , aber solche eine Störfunktion kann durchaus sein. Dann nimmt man nicht y''' sondern nur y'' und schon ist der Rechneraufwand etwas geringer und wählt auch die Zahlen anders, damit nicht, wie hier solche blöden Brüche entstehen. Aus Neugier ? Was studierst Du wo eigentlich? PS: Man kann auch nur nach dem Ansatz fragen OHNE Rechnung . Ist ja alles möglich.
26.07.2015, 14:04	Rivago	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja hast Recht.. Naja, lass ich mich mal überraschen. Maschinenbau in Stuttgart Komm aber ursprünglich auch aus Thüringen
26.07.2015, 14:08	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
Na dann bin ich nicht so allein hier... Also alles Gute für Montag, Soviel wie Du gemacht hast , kann doch wohl nichts schief gehen ,Denke.
26.07.2015, 14:15	Rivago	Auf diesen Beitrag antworten »
Studierst du auch in Stuttgart? Oder bist du schon fertig und arbeitest hier? Ich würde gerne mal noch ein paar Beispiele zu den Ansätzen aufschreiben, mit Zahlenwerten. Dieser trockene "Kram" mit q und p und sonstwas irritiert mich nur und in der Prüfung versteh ich es auf die schnelle eh nicht, wenn ich mir das nur so allgemein aufgeschrieben hab. Magst du mir dabei helfen? Angenommen wir haben auf der rechten Seite ein Polynom stehen, zum Beispiel $\begin{eqnarray} x^4 - 3x^2 + 2 \end{eqnarray}$ Wie ist dann der Ansatz? So? $\begin{eqnarray} a_4x^4 + a_3x^3 + a_2x^2 + a_3x + a_0 \end{eqnarray}$
26.07.2015, 14:31	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
Magst du mir dabei helfen? ->ja klar leider nein, schau noch Mal in Ruhe, eine Kleinigkeit fehlt .
26.07.2015, 14:34	Rivago	Auf diesen Beitrag antworten »
Vllt so? Wie ist dann der Ansatz? So? $\begin{eqnarray} a_4x^4 + a_3x^3 - 3a_2x^2 + a_3x + 2a_0 \end{eqnarray}$
26.07.2015, 14:50	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann muß ich nochmal fragen? Bezieht sich Deine Frage: 1.) auf die KOMPLETTE Aufgabe von Dir? 2.) oder wolltest Du nur so wissen , wie es prinzipiell heißt? Bedenke : die Störfunktion bezieht sich immer auf die komplette Aufgabe (charakt. Gleichung) Wenn Du es nur so wissen wolltest von der Sache stimmt es $\begin{eqnarray} a_4x^4 + a_3x^3 + a_2x^2 + a_3x + a_0 \end{eqnarray}$ , aber bezogen auf die ganze Aufgabe nicht. Da lautet der Ansatz: $\begin{eqnarray} y_{p} = x(a_{4} x^{4} +a_{3} x^{3}+a_{2} x^{2}+a_{3} x) \end{eqnarray}$ +a_0 Schau dazu in den Link, den ich Die geschickt habe
26.07.2015, 14:57	Rivago	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich wollte es jetzt nur allgemein wissen.. Unabhängig von dem was auf der linken Seite steht, und auf der rechten Steht dann $\begin{eqnarray} x^4 - 3x^2 + 2 \end{eqnarray}$ , wie ist dann der Ansatz? Und wie ist der Ansatz, wenn wir alles betrachten, also $\begin{eqnarray} y''' + 2y'' + y = x^4 - 3x^2 + 2 \end{eqnarray}$
26.07.2015, 14:59	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
siehe letzter Beitrag , ich hatte noch was ergänzt.
26.07.2015, 15:06	Rivago	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, also nochmal zusammengefasst.. Wenn ich es allgemein haben will, dann ist der Ansatz so: $\begin{eqnarray} a_4x^4 + a_3x^3 + a_2x^2 + a_3x + a_0 \end{eqnarray}$ Bezogen auf $\begin{eqnarray} y''' + 2y'' + y ? x^4 - 3x^2 + 2 \end{eqnarray}$ dann ist der Ansatz $\begin{eqnarray} x(a_4x^4 + a_3x^3 + a_2x^2 + a_3x + a_0) \end{eqnarray}$ Stimmt das? Und wieso steht da noch ein x davor? Resonanz?
26.07.2015, 15:18	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
Welche Aufgabe meinst Du erst sagst Du: $\begin{eqnarray} y'''+2 y''+y' \end{eqnarray}$ jetzt auf einmal: $\begin{eqnarray} y'''+2 y''+y \end{eqnarray}$
26.07.2015, 15:20	Rivago	Auf diesen Beitrag antworten »
Da ist mir der Strich abhanden gekommen.. Ich meine die: $\begin{eqnarray} y'''+2 y''+y' \end{eqnarray}$
26.07.2015, 15:27	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
ja das stimmt so. Begründung des Ansatzes: Schau in den Link: Es gibt hier kein y - Glied , d.h . b=0 , deswegen steht das x.
26.07.2015, 15:34	Rivago	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm okay, versteh ich jetzt nicht.. Aber egal, machen wir mal weiter. Wenn rechts $\begin{eqnarray} 4e^{2x} \end{eqnarray}$ steht, unabhängig von dem auf der linken Seite, dann ist der Ansatz $\begin{eqnarray} A \cdot e^{2x} \end{eqnarray}$ Stimmt das? Bei $\begin{eqnarray} 2x \cdot cos(x) \end{eqnarray}$ , dann ist der Ansatz $\begin{eqnarray} (a_1x + a_0) \cdot (A \cdot cos(x) + B \cdot sin(x)) \end{eqnarray}$ Passt das?
26.07.2015, 15:45	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm okay, versteh ich jetzt nicht.. In der gesendeten Tabelle steht in der 1. Zeile: y''+ay'+by= g(x) Quelle :Lothar Papula Mathematik für Ing +Naturwissenschaftler ; Band 2 ; 13. Auflage Hier ist b=0 , weil es in unserer Aufgabe kein y gibt, deswegen das x. Ja die Ansätze stimmen. Ich weise nochmal ausdrücklich darauf hin, das der Ansatz für die part. Lösung auf die GESAMTE AUFGABE bezogen ist. !!
26.07.2015, 15:53	Rivago	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, danke Ich glaub das reicht jetzt erstmal.. Werde jetzt noch ein paar Übungsaufgaben zu allen Themen machen und mich garantiert wieder hier melden

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