Komposition riemannintegrierbar, komplex

26.07.2015, 12:00

StrunzMagi

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Komposition riemannintegrierbar, komplex

Hallo,
Seien $\begin{eqnarray*} a,b \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a\le b \end{eqnarray*}$ . Eine komplexwertige Funktion
$\begin{eqnarray*} f= f_1 + if_2 : [a,b] \rightarrow \mathbb{C}, (f_1, f_2: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}), \end{eqnarray*}$
heißt Riemann-integrierbar, wenn sowohl $\begin{eqnarray*} f_1 \end{eqnarray*}$ als auch $\begin{eqnarray*} f_2 \end{eqnarray*}$ Riemann-integeriebar sind, und man setzt:
$\begin{eqnarray*} \int_a^b f(x) dx := \int_a^b f_1 (x) dx + i \int_a^b f_2(x) dx. \end{eqnarray*}$
Man zeige: Ist $\begin{eqnarray*} f:[a,b] \rightarrow \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ Riemann-integrierbar, so ist auch $\begin{eqnarray*} |f| \end{eqnarray*}$ Riemann-integrierbar.

Hallo
Für den Fall, dass f stetig ist $\begin{eqnarray*} |f| \end{eqnarray*}$ als Komposition von den stetign Funktionen, f, $\begin{eqnarray*} z \rightarrow |z| \end{eqnarray*}$ stetig und somit riemannnintegrierbar.
$\begin{eqnarray*} |f|=sqrt \circ (f_1^2+f_2^2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_1^2, f_2^2 \end{eqnarray*}$ sind nach Vorlesung riemannintegrierbar ihre Summe ebenfalls.

Wir hatten in der Übung das beispiel: $\begin{eqnarray*} a, b \in \mathbb{R}, a\le b, f :[a,b] \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ist eine riemann-integrierbare Funktion mit $\begin{eqnarray*} f([a,b]) \subseteq [A,B] \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \phi:[A,B] \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ist stetig differenzierbar so ist $\begin{eqnarray*} \phi \circ f : [a,b] \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ Riemannintegrierbar.

Hier wäre aber $\begin{eqnarray*} sqrt'(x)= \frac{1}{2\sqrt{x}} \end{eqnarray*}$ nur stetig (bzw. definiert) auf $\begin{eqnarray*} (0,\infty) \end{eqnarray*}$ also kann ich das Beispiel nicht verwenden.

Ich brauche also einen Beweis für die allgemeine Aussage:
$\begin{eqnarray*} g:[a,b]\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ riemannintegegrierbar und $\begin{eqnarray*} g([a,b]) \subseteq [A,B] \end{eqnarray*}$ so gilt für jedes stetige $\begin{eqnarray*} \phi:[A,B]\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ das die Komposition $\begin{eqnarray*} \phi\circ g: [a,b] \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ Riemannintegrierbar ist.

Kann man die Aussage ohne Lebesguesches Integrabilitätskriterium lösen? (Denn das hatten wir noch nicht zum Zeitpunkt der Aufgabe))

Würde mich sehr über Hilfe freuen!

26.07.2015, 17:14

Guppi12

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Hallo,

verwende zum Beispiel, das Kriterium, dass eine Funktion $\begin{eqnarray*} h:[a,b]\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ genau dann Riemann-integrierbar ist, wenn es zu jedem $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ eine Zerlegung $\begin{eqnarray*} Z \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ gibt, so dass $\begin{eqnarray*} O(Z,h)-U(Z,h) < \epsilon \end{eqnarray*}$ .

Dies soll jetzt für $\begin{eqnarray*} h = \phi\circ g \end{eqnarray*}$ gezeigt werden und steht für $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ zur Verfügung ( $\begin{eqnarray*} \phi,g \end{eqnarray*}$ wie bei dir oben). Ich gebe dir noch einen Schubs:

Sei also $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ gegeben. Da $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ stetig ist, ist $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ sogar gleichmäßig stetig auf dem Kompakten Intervall $\begin{eqnarray*} [A,B] \end{eqnarray*}$ . Sei $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ eine obere Schranke an $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ .

Wähle zu $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} \delta>0 \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} |\phi(x)-\phi(y)| < \epsilon \end{eqnarray*}$ falls $\begin{eqnarray*} |x-y|<\delta \end{eqnarray*}$ . Du kannst o.B.d.A annehmen, dass $\begin{eqnarray*} \delta<\frac{\epsilon}{M} \end{eqnarray*}$ gilt.

Wähle jetzt eine Partition $\begin{eqnarray*} Z \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} O(Z,g)-U(Z,g) < \delta^2 \end{eqnarray*}$ . Du kannst dabei annehmen, dass die Intervallbreite der Teilintervalle in $\begin{eqnarray*} Z \end{eqnarray*}$ konstant ist. Das vereinfacht die Sache.

Versuche jetzt $\begin{eqnarray*} O(Z,h)-U(Z,h) \end{eqnarray*}$ abzuschätzen.

27.07.2015, 09:13

StrunzMagi

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Hallo Gruppi,
Danke für die vielen Tipps.
Ich habe es etwas anders gemacht, würde mich freuen wenn du mal drüber schaust:

Zitat:

Original von Guppi12

Sei also $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ gegeben. Da $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ stetig ist, ist $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ sogar gleichmäßig stetig auf dem Kompakten Intervall $\begin{eqnarray*} [A,B] \end{eqnarray*}$ . Sei $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ eine obere Schranke an $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ .

Wähle zu $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} \delta>0 \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} |\phi(x)-\phi(y)| < \epsilon \end{eqnarray*}$ falls $\begin{eqnarray*} |x-y|<\delta \end{eqnarray*}$ . Du kannst o.B.d.A annehmen, dass $\begin{eqnarray*} \delta<\frac{\epsilon}{M} \end{eqnarray*}$ gilt.
.

Muss du nicht eher $\begin{eqnarray*} \delta<\frac{\epsilon}{2M} \end{eqnarray*}$ wählen?

Da $\begin{eqnarray*} g \in R[a,b] \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} \exists \psi_1, \psi_2 \in \tau[a,b]: g - \delta/2 <\psi_1 \le g \le \psi_2 < g + \delta/2 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \int_a^b \psi_2 - \psi_1 < \epsilon \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \phi\circ\psi_1, \phi \circ \psi_2 \in \tau[a,b], |\phi(\psi_1(x))-\phi(\psi_2(x))|<\epsilon \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \overline{\psi_1(x)}:=\phi(\psi_1(x))-\epsilon \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \overline{\psi_2(x)}:=\phi(\psi_2(x))+\epsilon \end{eqnarray*}$
So ist $\begin{eqnarray*} \overline{\psi_1} \le \phi \circ g \le \overline{\psi_2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int_a^b \overline{\psi_2} - \overline{\psi_1}= \int_a^b \phi(\psi_2(x))+\epsilon - \phi(\psi_2(x))+\epsilon dx \le \int_a^b |\phi(\psi_2(x))-\phi(\psi_1(x))| + 2 \epsilon \le 3\epsilon (a-b) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Box \end{eqnarray*}$

LG,
MaGi

27.07.2015, 12:32

Guppi12

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Zitat:

Muss du nicht eher $\begin{eqnarray*} \delta<\frac{\epsilon}{2M} \end{eqnarray*}$ wählen?

Wenn man möchte, dass am Ende genau $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ herauskommt, müsste man glaube ich sogar $\begin{eqnarray*} \frac{\epsilon}{4M} \end{eqnarray*}$ wählen und zusätzlich glaube ich auch das $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ zur glm. Stetigkeit stattdessen zu $\begin{eqnarray*} \frac{\epsilon}{2(b-a)} \end{eqnarray*}$ . So kommt ein Vielfaches von $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ heraus, das aber nur von Konstanten abhängig ist. Das ist nicht weiter tragisch. Es stimmt aber schon, dass es etwas willkürlich ist, dass ich trotzdem durch $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ teilen wollte Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zu deinem Beweis: Ich sehe nicht, wieso aus $\begin{eqnarray*} g\in R[a,b] \end{eqnarray*}$ folgt, dass:

$\begin{eqnarray*} \exists \psi_1, \psi_2 \in \tau[a,b]: g - \delta/2 <\psi_1 \le g \le \psi_2 < g + \delta/2 \end{eqnarray*}$

Der mittlere Teil der Abschätzung ist klar, die äußeren Teile bekommst du mMn. nicht. Wo hast du diese Aussage her? Sieh dir dafür zum Beispiel die thomaesche Funktion an. Sie ist Riemann-intergierbar, aber jede Treppenfunktion, die Unterhalb von ihr liegt, ist überall kleiner/gleich 0. Damit wird aber $\begin{eqnarray*} g-\frac{\delta}{2}<\psi_1 \end{eqnarray*}$ für kleines $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ unmöglich.

Wenn man für Treppenfunktionen nicht-entartete Invervalle verlangt, würde als Gegenbeispiel auch die charakteristische Funktion von $\begin{eqnarray*} (0,1] \end{eqnarray*}$ betrachtet auf dem Intervall $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ ausreichen.

27.07.2015, 15:52

StrunzMagi

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Ich verstehe deine Einwende und sehe den Fehler. Ja wir verlangen schon nicht entartete Intervalle bei der Treppenfunktion, hab nochmal in der Definition nachgeschaut..
Ich habe gedacht, man kriegt die Wahl der Treppenfunktionen so hin, wenn man die Intervalle nur kleiner macht, aber, dass die Intervalllänge ja nicht nur 1 Punkt betragen kann hab ich vergessen.

Hier in Beitrag No.5 wird es aber auch so ähnlich gemacht oder?:
Matheplanet: Thema: Riemann-Integrierbarkeit einer Komposition
Ist das dann ein Fehler oder ist das in dem Beispiel richtig? (Würde mich jetzt sehr interessieren, da es ja eine ähnliche Aufgabe ist)

Also funktioniert das Beispiel mit dieser Definition von Riemannintegrierbar nicht?
LG,
MaGi

27.07.2015, 16:07

Guppi12

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Zitat:

Hier in Beitrag No.5 wird es aber auch so ähnlich gemacht oder?:
Matheplanet: Thema: Riemann-Integrierbarkeit einer Komposition

Ich kann nicht hellsehen, welchen Beitrag du meinst Augenzwinkern

Augenzwinkern

Edit: Ok, habe es durch googlen gefunden. Ja, wenn man die Definition zugrunde legt, dass die Intervalle nicht entartet sein dürfen, dann geht es so nicht.

Zitat:

Also funktioniert das Beispiel mit dieser Definition von Riemannintegrierbar nicht?

Welches Beispiel soll nicht funktionieren? Der Satz ist natürlich trotzdem richtig, nur dein Beweis ist falsch.

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28.07.2015, 08:54

StrunzMagi

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Hallo,
Danke, also ist der Beweis "nur" falsch, weil ich keine entarteten Intervalle zulasse bei den Treppenfunktionen.

Sei $\begin{eqnarray*} a=x_0<x_1<...<x_n=b \end{eqnarray*}$ eine äquidistante Zerlegung.
$\begin{eqnarray*} O(Z,h)-U(Z,h)= \sum_{i=1}^{n} [ \sup_{x\in [x_{i-1},x_i[} (\phi \circ g) - \inf_{x\in [x_{i-1},x_i[} (\phi \circ g)] * |x_i - x_{i-1}| \le \sum_{i=1}^n [\sup_{x\in [\inf_{I_i} (g), \sup_{I_i} (g)]} (\phi) - \inf_{x\in [\inf_{I_i} (g), \sup_{I_i} (g)]} (\phi)] |I_i|= \end{eqnarray*}$ (*)

Hier verwende ich im dritten Schritt für jedes Intervall $\begin{eqnarray*} [x_{i-1},x_i[ =I_i \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} \sup_{I_i} (\phi\circ g) \le \sup_{[\inf_{I_i} (g), \sup_{I_i} (g)]} (\phi) \end{eqnarray*}$

Nun benutze ich die Stetigkeit von $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} \exists s_i, t_i \in [\inf_{I_i} (g), \sup_{I_i} (g)]: \phi(s_i)=\sup_{x\in [\inf_{I_i} (g), \sup_{I_i} (g)]} (\phi) , \phi(t_i)=\inf_{x\in [\inf_{I_i} (g), \sup_{I_i} (g)]}(\phi) \forall i\in \{1,..,n\} \end{eqnarray*}$
(*)= $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n [\phi(s_i)-\phi(t_i)]*|I_i| \end{eqnarray*}$

Aber habe ich nun nicht das selbe Problem, wie vorhin? Ich müsste doch um die glm stetigkeit von g anzuwenden das intervall $\begin{eqnarray*} |\inf_{I_i} (g)-\sup_{I_i} (g)| <\delta \end{eqnarray*}$ wählen. Aber wenn zwischen meinen Zerlegungspunkten eine Unstetigkeitsstelle ist, geht das ja gar nicht...
Kannst du mir da vlt nochmals helfen?
LG,
MaGi

28.07.2015, 10:44

Guppi12

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Noch ein weiterer Tipp: Teile die Menge $\begin{eqnarray*} \{1,...,n\} \end{eqnarray*}$ in zwei Teilmengen auf. In der einen liegen jene $\begin{eqnarray*} k\in\{1,...,n\} \end{eqnarray*}$ sodass der Abstand zwischen sup und inf von g auf dem $\begin{eqnarray*} k. \end{eqnarray*}$ Intervall der Zerlegung nur $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ Abstand hat und noch den Rest. In der einen Teilmenge hast du das beschriebene Problem nicht. Zeige jetzt, dass aus der Voraussetzung an die Zerlegung folgt, dass die andere Teilmenge nicht beliebig groß werden kann und schätze damit weiter ab.

28.07.2015, 16:10

StrunzMagi

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Hallo,
Danke, ich hoffe du meintest es so:

Zitat:

Original von Guppi12
Noch ein weiterer Tipp: Teile die Menge $\begin{eqnarray*} \{1,...,n\} \end{eqnarray*}$ in zwei Teilmengen auf. In der einen liegen jene $\begin{eqnarray*} k\in\{1,...,n\} \end{eqnarray*}$ sodass der Abstand zwischen sup und inf von g auf dem $\begin{eqnarray*} k. \end{eqnarray*}$ Intervall der Zerlegung nur $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ Abstand hat und noch den Rest

Wobei ich diese Menge K nenne und $\begin{eqnarray*} \{1,..,n\}\setminus K =J \end{eqnarray*}$ den Rest.

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n [\phi(s_i)-\phi(t_i)]*|I_i| \le |K| \epsilon |I_1| + \sum_{i \in J} [\phi(s_i)-\phi(t_i)] |I_i| \end{eqnarray*}$

Zerlegung ist so gewählt, dass
$\begin{eqnarray*} O(Z,g)-U(Z,g)< \delta^2 \end{eqnarray*}$ D.h.: $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n [\sup_{x\in I_i} (g) - \inf_{x\in I_i} (g)]*|I_i|<\delta^2 \end{eqnarray*}$ Da wir eine äquistante Zerlegung haben: $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n [\sup_{x\in I_i} (g) - \inf_{x\in I_i} (g)]<\frac{\delta^2}{|I_1|} \end{eqnarray*}$
Insbesondere ist $\begin{eqnarray*} |J| \delta=\sum_{i\in J} \delta<\sum_{i\in J} [\sup_{x\in I_i} (g) - \inf_{x\in I_i} (g)]<\sum_{i=1}^n [\sup_{x\in I_i} (g) - \inf_{x\in I_i} (g)]<\frac{\delta^2}{|I_1|} \end{eqnarray*}$
Also $\begin{eqnarray*} |J| < \frac{\delta}{|I_1|} \end{eqnarray*}$

Insgesamt:
$\begin{eqnarray*} |K| \epsilon |I_1| + \sum_{i \in J} [\phi(s_i)-\phi(t_i)] |I_i|<|K| \epsilon |I_1|+\frac{\delta}{|I_1|}I_1 *[\phi(s_r)-\phi(t_r)]=|K| \epsilon |I_1| +\delta *[\phi(s_r)-\phi(t_r)] \end{eqnarray*}$
Ich wusste nicht wie ich das besser anschreiben soll, dass ich bei der Summe, dass $\begin{eqnarray*} i \in J \end{eqnarray*}$ wählen so dass der Abstand $\begin{eqnarray*} \phi(s_i) - \phi(t_i) \end{eqnarray*}$ am größten ist..
\Box

28.07.2015, 16:45

Guppi12

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Ich blicke bei deinen ganzen Bezeichnungen nicht mehr so ganz durch. Aber beachte, dass $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ beschränkt ist, und $\begin{eqnarray*} |K||I_1| \leq b-a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \delta<\epsilon \end{eqnarray*}$ in deiner Endabschätzung.

Edit: Oder wusstest du schon, dass du damit fertig bist? (Das konnte ich nicht so gut einschätzen.)

29.07.2015, 09:24

StrunzMagi

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Bezeichnungen:
$\begin{eqnarray*} [x_{i-1}, x_i[=I_i \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} K=\{i \in \{1,..,n\}: |\inf_{x\in I_i} (f) - \sup_{x\in I_i} (f) | <\delta \} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} J=\{1,..,n\}\setminus K \end{eqnarray*}$

Hilft es dir es zu krontrollieren wenn ich alles nochmal anschreibe?
1) Da $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ stetig auf $\begin{eqnarray*} [A,B] \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ gleichmäßig stetig.
Sei $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ beliebig aber fest $\begin{eqnarray*} \exists \delta: |\phi(x)-\phi(y)|<\epsilon \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} |x-y|<\delta \end{eqnarray*}$

2) $\begin{eqnarray*} \phi \circ g: [a,b] \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ Riemannintegerierbar genau dann wenn $\begin{eqnarray*} \forall \epsilon>0: \exists Z \end{eqnarray*}$ Zerlegung von $\begin{eqnarray*} [a,b]: O(Z,\phi \circ g) - U(Z,\phi \circ g) < \epsilon. \end{eqnarray*}$

Sei $\begin{eqnarray*} a=x_0<x_1<...<x_n=b \end{eqnarray*}$ eine äquistante Zerlegung mit $\begin{eqnarray*} O(Z,g)-U(Z,g) < \delta^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} O(Z,\phi \circ g) - U(Z,\phi \circ g) = \sum_{i=1}^n [\sup_{x\in [x_{i-1},x_i[} (\phi \circ g) - \inf_{x\in [x_{i-1},x_i[} (\phi \circ g)] |x_i -x_{i-1}| \end{eqnarray*}$ (*)

Bezeichne $\begin{eqnarray*} [x_{i-1},x_i[=:I_i \end{eqnarray*}$
Es gilt $\begin{eqnarray*} \sup_{x\in I_i} (\phi \circ g) \le \sup_{x\in [\inf_{x \in I_i} (g), sup_{x\in I_i} (g)]} (\phi) \end{eqnarray*}$ analog mit Inf in andere Ungleichungsrichtung.

(*) $\begin{eqnarray*} \le \sum_{i=1}^n [ \sup_{x\in [\inf_{x \in I_i} (g), sup_{x\in I_i} (g)]} (\phi) - \inf_{x\in [\inf_{x \in I_i} (g), sup_{x\in I_i} (g)]} (\phi)]|I_i| \end{eqnarray*}$

Nutze nun die Stetigkeit von $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ und das stetige Funktionen ihr sup, Inf annehmen:
$\begin{eqnarray*} =\sum_{i=1}^n [\phi(s_i) - \phi(t_i)] |I_i| \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} s_i,t_i \in [\inf_{x \in I_i} (g), sup_{x\in I_i} (g)] \forall i\in \{1,..,n\} \end{eqnarray*}$

Zerlege nun Menge $\begin{eqnarray*} \{1,..,n\} \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} K \cup J \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} K=\{i \in \{1,..,n\}: |\inf_{x\in I_i} (f) - \sup_{x\in I_i} (f) | <\delta \} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} J=\{1,..,n\}\setminus K \end{eqnarray*}$

Abschätzung von |J|:
Aus $\begin{eqnarray*} O(Z,g) - U(Z,g) < \delta^2 \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n [\sup_{x\in I_i} (g) - \inf_{x\in I_i} (g)] * |I_i| <\delta^2 \end{eqnarray*}$
Da äquidistante Zerlegung: $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n [\sup_{x\in I_i} (g) - \inf_{x\in I_i} (g)] <\frac{\delta^2}{I_1} \end{eqnarray*}$
Insbesondere ist $\begin{eqnarray*} |J| \delta=\sum_{i\in J} \delta<\sum_{i\in J} [\sup_{x\in I_i} (g) - \inf_{x\in I_i} (g)]<\sum_{i=1}^n [\sup_{x\in I_i} (g) - \inf_{x\in I_i} (g)]<\frac{\delta^2}{|I_1|} \end{eqnarray*}$
Also $\begin{eqnarray*} |J| < \frac{\delta}{|I_1|} \end{eqnarray*}$

Weiter mit der Abschätzung in 2)
$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n [\phi(s_i) - \phi(t_i)] |I_i| \le |K| \epsilon |I_1| + \sum_{i\in J} [\phi(s_i) - \phi(t_i)] |I_i| \end{eqnarray*}$
Wähle nun $\begin{eqnarray*} r:= \max_{i\in\{1,..,n\}} \{\phi(s_i) - \phi(t_i)\} \end{eqnarray*}$
So ist $\begin{eqnarray*} |K| \epsilon |I_1| + \sum_{i\in J} [\phi(s_i) - \phi(t_i)] |I_i| \le |K| \epsilon |I_1| +|J| [\phi(s_r) - \phi(t_r)] |I_1| \le (b-a) \epsilon + \delta [\phi(s_r)-\phi(t_r)] \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ ist als stetige Funktion beschränkt: $\begin{eqnarray*} \exists M>0: |\phi(x)| \le M \forall x \in [A,B] \end{eqnarray*}$
Daher $\begin{eqnarray*} (b-a) \epsilon + \delta [\phi(s_r)-\phi(t_r)] \le \epsilon (b-a) + \delta 2M < \epsilon ((b-a)+2M) = \overline{\epsilon} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \epsilon := \frac{\overline{\epsilon}}{b-a+2M} \end{eqnarray*}$
Wobei ich $\begin{eqnarray*} \delta < \epsilon \end{eqnarray*}$ wähle.
$\begin{eqnarray*} \Box \end{eqnarray*}$

29.07.2015, 13:02

Guppi12

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Der Beweis ist so vollkommen korrekt. Freude

Freude

Das mit dem $\begin{eqnarray*} \delta<\epsilon \end{eqnarray*}$ sollte aber direkt nach der Wahl von $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ stehen. Das macht es übersichtlicher, denn so muss man noch einmal überprüfen, ob diese Neuwahl von $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ zulässig ist. (Sie wäre es z.B. nicht, wenn $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ abhängt.)

29.07.2015, 15:44

StrunzMagi

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Das freut mich, ich hätte noch eine Frage. Ich hoffe es ist in Ordnung wenn ich sie in dem Thread noch stelle, da sie das Thema unmittelbar behandelt.

In einem Buch hab ich gelesen, dass die Umkehrung nicht gelten muss, also die innere Funktion stetig ist und die äußere Funktion Riemannintegrierbar ist - dann muss die Komposition nicht zwingend Riemann integrierbar sein.
Wenn ich also die Voraussetzungen habe: $\begin{eqnarray*} g[a,b] \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ stetig, $\begin{eqnarray*} g([a,b]) \subseteq [A,B], \phi:[A,B] \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ Riemann integrierbar.
Zu suchen ein Gegenbeispiel so dass $\begin{eqnarray*} \phi \circ g : [a,b]\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ nicht Riemannintegrierbar.
Die Funktion die mir einfällt, die nicht Riemannintegrierbar ist, ist die charakteristische Funktion der rationalen Zahlen.
$\begin{eqnarray*} \phi \circ g (x)= \chi_{\mathbb{Q}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für }x=0 \\ 1, & \mbox{sonst } \end{cases} \end{eqnarray*}$ ist z.B mit nur einer Unstetigkeitstselle Riemann-integrierbar
Wähle ich aber z.B $\begin{eqnarray*} g(x)= \begin{cases} 1/q, & \mbox{für } x=p/q, ggT(p,q)=1, p,q \in \mathbb{N}, q \ge 1 \\ 0, & \mbox{für }x \mbox{ irrational} \end{cases} \end{eqnarray*}$
Jedoch ist g nur in den irrationalen Punkten stetig und in den rationalen unstetig. Demnach kein Gegenbeispiel.
Hättest du vlt einen Tipp für die Wahl von einen stetigen g?

Danke!
Liebe Grüße

29.07.2015, 18:01

Guppi12

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Dazu hätte ich folgende Idee. Sei $\begin{eqnarray*} (r_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ eine Abzählung der rationalen Zahlen in $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ . Betrachte die Menge $\begin{eqnarray*} A := [0,1]\setminus \bigcup_{n=1}^\infty B\left(r_n, \frac{1}{2^{n+1}}\right) \end{eqnarray*}$ . Das Lebesguemaß von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ist mindestens $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ , insbesondere positiv. Außerdem ist $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ kompakt. Betrachte nun die Funktion $\begin{eqnarray*} f:[0,1]\to\mathbb R, x\mapsto d(x,A) = \inf_{y\in A}|x-y| \end{eqnarray*}$ . Solche Abstandsfunktionen sind immer stetig. Jetzt nimm dir $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ als charakteristische Funktion des Nullpunktes. Dann ist $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ Riemann-integrierbar. Da $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ kompakt ist, gilt $\begin{eqnarray*} f(x) > 0 \end{eqnarray*}$ , falls $\begin{eqnarray*} x\notin A \end{eqnarray*}$ . Also ist $\begin{eqnarray*} g\circ f \end{eqnarray*}$ die charakteristische Funktion von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ . Diese ist aber nicht Riemann-integrierbar, weil die Menge ihrer Unstetigkeitsstellen keine Lebesguenullmenge ist, diese ist nämlich genau $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ selbst, weil das offene Innere von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ nach Konstruktion leer ist.

29.07.2015, 20:59

StrunzMagi

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Danke für die Antwort.
Ist doch schon um einiges komplizierter ein Gegenbeispiel zu finden als ich dachte. Alleine kommt man da ja nicht drauf..Ich zumindest nicht;O

Ich hätte da noch paar Fragen, wenn du Zeit findest:

Zitat:

Original von Guppi12
Da $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ kompakt ist, gilt $\begin{eqnarray*} f(x) > 0 \end{eqnarray*}$ , falls $\begin{eqnarray*} x\notin A \end{eqnarray*}$ .

Warum folgt das erst aus der Kompaktheit von A? Gilt das nicht für jede Menge?

Zitat:

Original von Guppi12
weil die Menge ihrer Unstetigkeitsstellen keine Lebesguenullmenge ist, diese ist nämlich genau $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ selbst, weil das offene Innere von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ nach Konstruktion leer ist.

Was hat die Aussage, dass A=Menge der Unstetigkeitsstellen(f) ist damit zu tun, dass $\begin{eqnarray*} A^o= \emptyset \end{eqnarray*}$ ist?

Liebe Grüße,
MaGi

29.07.2015, 21:21

Guppi12

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Zitat:

Warum folgt das erst aus der Kompaktheit von A? Gilt das nicht für jede Menge?

Nein, der Abstand von $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} (0,1] \end{eqnarray*}$ ist beispielweise $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ . Wäre das so, wie du sagst, könnte man $\begin{eqnarray*} A=\mathbb Q \end{eqnarray*}$ wählen und erhielte die charakteristische Funktion von $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ . Allerdings ist $\begin{eqnarray*} d(x,\mathbb Q) = 0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ , deswegen geht es nicht.

Zitat:

Was hat die Aussage, dass A=Menge der Unstetigkeitsstellen(f) ist damit zu tun, dass $\begin{eqnarray*} A^o= \emptyset \end{eqnarray*}$ ist?

Nun, das kannst du selbst zeigen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Allgemein kannst du zeigen: Wenn $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ein topologischer Raum ist und $\begin{eqnarray*} A\subset X \end{eqnarray*}$ , so ist $\begin{eqnarray*} \chi_A:X\to\{0,1\} \end{eqnarray*}$ genau dann stetig in $\begin{eqnarray*} x\in A \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ein innerer Punkt von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ist bzw. stetig in $\begin{eqnarray*} x\in A^c \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ein innerer Punkt von $\begin{eqnarray*} A^c \end{eqnarray*}$ . Wenn du nicht weißt, was ein topolischer Raum ist, kannst du für $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ruhig erstmal $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ nehmen.

Zitat:

Alleine kommt man da ja nicht drauf..Ich zumindest nicht;O

Wäre ich vermutlich auch nicht, als gerade angefangen habe, mich mit solchen Themen zu befassen. Mit etwas mehr Erfahrung kommt sowas dann, keine Sorge smile

smile

30.07.2015, 17:25

StrunzMagi

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Das erste Problem ist somit für mich klar.
$\begin{eqnarray*} \forall x \in \mathbb{R} \setminus A: d(x,A)>0 \end{eqnarray*}$
Bew.: $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}\setminus A \end{eqnarray*}$ offen: $\begin{eqnarray*} \exists \epsilon_x: B_{\epsilon_x} (x) \subseteq \mathbb{R} \setminus A \Rightarrow B_{\epsilon} (x) \cap A = \emptyset \end{eqnarray*}$

Das zweite denke ich auch:

Zitat:

Original von Guppi12
Nun, das kannst du selbst zeigen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Allgemein kannst du zeigen: Wenn $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ein topologischer Raum ist und $\begin{eqnarray*} A\subset X \end{eqnarray*}$ , so ist $\begin{eqnarray*} \chi_A:X\to\{0,1\} \end{eqnarray*}$ genau dann stetig in $\begin{eqnarray*} x\in A \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ein innerer Punkt von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ist bzw. stetig in $\begin{eqnarray*} x\in A^c \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ein innerer Punkt von $\begin{eqnarray*} A^c \end{eqnarray*}$ . Wenn du nicht weißt, was ein topolischer Raum ist, kannst du für $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ruhig erstmal $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ nehmen.

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} <br /> x\in A^o, A^o \subseteq A, \chi_A (A^o)=1 \end{eqnarray*}$ stetig als konstante 1 Funktion
$\begin{eqnarray*} x \in (A^c)^o , (A^c)^o \subseteq A^c, \chi_A ( (A^c)^o)=0 \end{eqnarray*}$ stetig als konstante 0 Funktion
$\begin{eqnarray*} \Leftarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \chi \end{eqnarray*}$ sei nach Voraussetzung stetig in allen $\begin{eqnarray*} x_0 \in A \end{eqnarray*}$
Wenn es sich um einen Randpunkt von A handelt ( $\begin{eqnarray*} x_0 \in \partial A \end{eqnarray*}$ ) haben wir eine Sprungstelle, denn in jeder Umgebung eines Randpunktes gibt es Punkte aus A und aus dem Komplement.
Sei $\begin{eqnarray*} \epsilon:=1/2 \end{eqnarray*}$ so gibt es $\begin{eqnarray*} \forall \delta <0 \exists \overline{x} \in A^c: |x_0-\overline{x}|< \delta : |1-0|=1 > 1/2 \end{eqnarray*}$
Also folgt $\begin{eqnarray*} x \in A^o \end{eqnarray*}$
Analog mit dem Komplement.

Aus dem zweiten Teil folgt also jetzt, dass $\begin{eqnarray*} g \circ f= \chi_A \end{eqnarray*}$ unstetig in A ist und stetig in $\begin{eqnarray*} A^c \end{eqnarray*}$ ist.

Jetzt muss ich mir das nur noch das mit dem Maß in Ruhe anschauen warum A keine Nullmenge ist...Meld mich gegebenfalls wieder Big Laugh

Big Laugh

30.07.2015, 18:00

Guppi12

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Ich nehme an, du verwendest einen Satz, der besagt, dass eine Funktion in einem Punkt genau dann stetig ist, wenn es eine Umgebung um diesen Punkt gibt, wo die Funktion stetig ist und damit erledigst du den ersten Teil? Das solltest du am besten dazusagen.

Die Rückrichtung sieht irgendwie komisch aus. Das ist nicht die richtige Voraussetzung, die du da verwendest. Eigentlich wäre hier zu zeigen: Sei $\begin{eqnarray*} \chi_A \end{eqnarray*}$ stetig in $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ ein innerer Punkt von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} A^c \end{eqnarray*}$ . Das tust du auch irgendwie, aber aufgeschrieben ist es merkwürdig.

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