Umkehrfunktion

26.07.2015, 16:26

Rivago

Umkehrfunktion

Welche linearen Funktionen mit $\begin{eqnarray*} h(x) = mx +c \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} m, c \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} m \neq 0 \end{eqnarray*}$ stimmen mit ihrer Umkehrfunktion überein?

Wie geht man hier vor?

26.07.2015, 16:40

Leopold

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1. Zwei lineare Funktionen stimmen überein, wenn sie in der Steigung und im Ordinatenachsenabschnitt übereinstimmen. Wenn du daher die Umkehrfunktion bestimmt hast, setzt du die Steigungen und Ordinatenachsenabschnitte gleich.

2. Oder ganz ähnlich: Du verkettest die lineare Funktion mit sich selbst und überprüfst, unter welchen Bedingungen das die Identität gibt.

3. Oder eher geometrisch: Den Graphen der Umkehrfunktion erhält man durch Spiegeln an der I. Winkelhalbierenden. Welche Geraden sind bei dieser Spiegelung Fixgeraden?

26.07.2015, 16:42

Rivago

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Also ich hab inzwischen schon herausgefunden, dass man nach x auflösen muss..

Ich erhalte $\begin{eqnarray*} x = \frac{y - c}{m} \end{eqnarray*}$

Ist damit die Aufgabe schon gelöst?

26.07.2015, 16:58

Leopold

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Zitat:

Original von Rivago
Ist damit die Aufgabe schon gelöst?

Du hast nur die Umkehrfunktion bestimmt. Du könntest jetzt noch $\begin{align*} x,y \end{align*}$ vertauschen, um den Anschluß an das Gewohnte zu haben.

Wie lauten denn Steigung und Ordinatenachsenabschnitt der Umkehrfunktion?
Dann gehe weiter vor, wie ich es bei 1. vorgeschlagen habe.

26.07.2015, 17:21

Rivago

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Ich weiß leider nicht, was du mit x und y vertauschen meinst?! verwirrt

26.07.2015, 17:48

Leopold

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Zitat:

Original von Rivago
Ich erhalte $\begin{eqnarray*} \color{red} x \color{black} = \frac{\color{red} y \color{black} - c}{m} \end{eqnarray*}$

Du hast die Umkehrfunktion korrekt ermittelt. Allerdings heißt deine unabhängige Variable jetzt $\begin{align*} y \end{align*}$ und deine abhängige $\begin{align*} x \end{align*}$ , im Gegensatz zum Gewohnten. Deswegen der Vorschlag, die Variablen zu vertauschen.

Bringe danach die Gleichung auf die Form

$\begin{align*} y = \ldots \cdot x + \ldots \end{align*}$

Dann kannst du die Steigung und den Ordinatenachsenabschnitt ablesen.

26.07.2015, 17:51

Rivago

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Versteh ich nicht.. dann hab ich doch wieder genau das, was ich vorher schon hatte verwirrt

$\begin{eqnarray*} y = mx + c \end{eqnarray*}$

26.07.2015, 17:54

Leopold

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Du liest nicht richtig.

Zitat:

Original von Leopold
Deswegen der Vorschlag, (1.) die Variablen zu vertauschen.

Bringe (2.) danach die Gleichung auf die Form

$\begin{align*} y = \ldots \cdot x + \ldots \end{align*}$

Dann kannst du die Steigung und den Ordinatenachsenabschnitt ablesen.

26.07.2015, 18:04

Rivago

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Also $\begin{eqnarray*} y = \frac{x - c}{m} \end{eqnarray*}$ verwirrt

26.07.2015, 18:35

Leopold

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Du gehst arg kleinschrittig vor. Auf diese Weise kommst du zwar am Schluß möglicherweise zum richtigen Ergebnis, aber du weißt nicht warum. Und wärst nicht in der Lage, eine ähnliche Aufgabe richtig zu lösen.

Dann halt den nächsten Schritt:

Zitat:

Original von Leopold
...
Bringe (2.) danach die Gleichung auf die Form

$\begin{align*} y = \ldots \cdot x + \ldots \end{align*}$

Dann kannst du die Steigung und den Ordinatenachsenabschnitt ablesen.

26.07.2015, 18:43

Rivago

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Ach ich versteh einfach nicht was du willst.. ich soll die Variablen tauschen, hab ich gemacht. Jetzt steht da schon y = ...

Und jetzt soll ich nach y = ... umformen..

Egal, lassen wir das.. Auch hier wieder hoffen, dass es nicht in der Prüfung dran kommt.

26.07.2015, 20:01

Leopold

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Funktion: $\begin{align*} y = mx + c \end{align*}$

Auflösung nach $\begin{align*} x \end{align*}$ : $\begin{align*} x = \frac{y-c}{m} \end{align*}$

Vertauschen der Variablen: $\begin{align*} y = \frac{x-c}{m} \end{align*}$ (Umkehrfunktion)

Standardform, um Steigung und Ordinatenachsenabschnitt ablesen zu können:

$\begin{align*} y = \frac{1}{m} \cdot x - \frac{c}{m} \end{align*}$ (Umkehrfunktion)

Funktion $\begin{align*} y = mx + c \end{align*}$ und Umkehrfunktion $\begin{align*} y = \frac{1}{m} \cdot x - \frac{c}{m} \end{align*}$ sollen übereinstimmen. Damit müssen sie in den Steigungen übereinstimmen:

$\begin{align*} \text{(I)} \ \ m = \frac{1}{m} \end{align*}$

und in den Ordinatenachsenabschnitten:

$\begin{align*} \text{(II)} \ \ c = - \frac{c}{m} \end{align*}$

Aus $\begin{align*} \text{(I)} \end{align*}$ folgt: $\begin{align*} m = \pm 1 \end{align*}$ . Im Plusfall wird $\begin{align*} \text{(II)} \end{align*}$ zu $\begin{align*} c = -c \end{align*}$ , also $\begin{align*} c = 0 \end{align*}$ .

Erstes Teilergebnis: Die Funktion $\begin{align*} y = x \end{align*}$ (Identität) ist ihre eigene Umkehrfunktion.

Im Minusfall wird $\begin{align*} \text{(II)} \end{align*}$ zu $\begin{align*} c = c \end{align*}$ , was für alle reellen $\begin{align*} c \end{align*}$ wahr ist.

Zweites Teilergebnis: Alle Funktionen $\begin{align*} y = -x + c \end{align*}$ mit $\begin{align*} c \in \mathbb{R} \end{align*}$ sind ihre eigenen Umkehrfunktionen. (Die Graphen dieser Funktionen sind gerade die Geraden, die auf der I. Winkelhalbierenden senkrecht stehen, also die nichttrivialen Fixgeraden beim Spiegeln an dieser.)

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