Höldersche Ungleichung, Mittelwerte

Neue Frage »

26.07.2015, 20:46	phigo90	Auf diesen Beitrag antworten »
Höldersche Ungleichung, Mittelwerte Hallo, ich hätte eine Frage zu folgendem Beweiß: siehe Anhang... Hat jemand vllt eine Idee oder kann mir weiter helfen? Vielen Dank!
27.07.2015, 02:38	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Höldersche Ungleichung, Mittelwerte Wenn man es dann noch lesen könnte, wäre das auch nicht schlecht. Ein bisschen mehr Mühe könntest du dir schon geben!
27.07.2015, 08:59	phigo90	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Höldersche Ungleichung, Mittelwerte Sry ich dachte bisher immer meine Schrift ist nicht so undeutlich, ich lade nochmals eine Version hoch. Tut mir Leid.
27.07.2015, 10:27	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Höldersche Ungleichung, Mittelwerte Es ist nicht (zwingend) deine Handschrift, sondern es ist nicht schön herausgestellt was die Aufgabe ist, was ein Hinweis usw. Hier einmal in schön. Sei $\begin{eqnarray} N \in \mathbb N \end{eqnarray}$ fest und $\begin{eqnarray} (c_\alpha)_{\alpha = 1, \dots, N} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} c_\alpha > 0 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} \alpha = 1, \dots, N \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \sum_{\alpha = 1}^N c_\alpha = 1 \end{eqnarray}$ . Definiere für $\begin{eqnarray} f_\alpha \geq 0 \end{eqnarray}$ die Gewichtung $\begin{eqnarray} \overline f_p := \left ( \sum_{\alpha = 1}^N c_\alpha f_\alpha^p \right)^{\frac 1 p} \end{eqnarray}$ . Man zeige, dass aus $\begin{eqnarray} 1 \leq p < q \end{eqnarray}$ folgt, dass $\begin{eqnarray} \overline f_p \leq \overline f_q \end{eqnarray}$ folgt. Benutze dabei die Hölder-Ungleichung, nach der für zwei nicht-negative Folgen $\begin{eqnarray} (a_i), (b_i) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 1 \geq \alpha, \beta \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \alpha + \beta = 1 \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} \sum_i a_i^\alpha b_i^\beta \leq ( \sum a_i)^\alpha ( \sum b_i)^\beta \end{eqnarray}$ . Ich habe noch einige Annahmen zusätzlich reingemacht, da es vorher falsch war. Im Originaltext könnten andere Annahmen darin gewesen sein, damit die Aussage richtig ist ( z.B. $\begin{eqnarray} f_\alpha > 0 \end{eqnarray}$ für ein $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ , dann kann man die strikte Ungleichung $\begin{eqnarray} \overline f_p < \overline f_q \end{eqnarray}$ folgern.) Dass man überhaupt ein Vorzeichen braucht liegt einfach daran, dass sonst die p-te Potenz nicht definiert ist (wenigstens für die allgemeinen, von denen ich denke, dass man sie nehmen will). Bei der Hölder-Ungleichung habe ich die Bedingung an $\begin{eqnarray} \alpha, \beta \end{eqnarray}$ ergänzt. So viel zur Aufgabe: RavenOnJ übernimmt gerne sicher den Rest.
27.07.2015, 13:10	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Höldersche Ungleichung, Mittelwerte Vor allem sollte phigo90 erstmal selber Ideen liefern. Vorher passiert hier gar nichts, zumindest von meiner Seite aus!
27.07.2015, 13:51	phigo90	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Höldersche Ungleichung, Mittelwerte Ich finde das so schade. Vllt ist nicht jeder der Mathematiker. Ich komme aus dem Ingenieurwesen. Bei uns sind die Aufgaben vllt ein wenig undeutlicher gestellt, gebe ich euch recht. Ich habe leider nicht wirklich einen Ansatz dafür, obwohl ich mich schon lange damit beschäftigt habe. Des Weiteren habe ich ja auch nach einer Idee gefragt, und nicht nach einer ausführlichen Lösung der Aufgabe... Vllt kann jemand anderes mir helfen. Bin für jeden Hinweis sehr dankbar.
Anzeige

27.07.2015, 19:46	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Höldersche Ungleichung, Mittelwerte Immerhin bist du so weit in deinem Studium gekommen, dass du dich mit der Hölderschen Ungleichung beschäftigst. Du solltest also - auch als Nicht-Mathematiker - gewisse Ideen zur Lösung haben. Dass du mit der Lösung Probleme hast, ist klar, sonst hättest du hier nicht gepostet.
28.07.2015, 10:55	phigo90	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Höldersche Ungleichung, Mittelwerte Leider ist das nicht der Fall, es handelt sich hierbei um eine Altklausur-Aufgabe für ein Mechanikfach. Wir haben die Mittelwerte behandelt und anscheinend halten Sie dies für eine sinnvolle Aufgabe zu dem Thema... Mein generelles Problem ist die Randbedingung p<q einzubauen. Ich habe versuch p durch q zu teilen, da ich ja weiß, dass dies kleiner sein muss als 1...Hatt mir nicht wirklich weiter geholfen. Ich habe mir auch schon überlegt das 1/p irgendwie in die Summe zu ziehen, damit ich die Hölder-Ungleichung nutzen kann, aber auch da bin ich auf keinen guten Ansatz gekommen. Im Moment fehlt mir noch der Bezug zu der Ungleichung, da ich wie gesagt, noch nie etwas davon gehört habe.
28.07.2015, 12:12	Luscinia	Auf diesen Beitrag antworten »
Huhu du musst ja zeigen, dass $\begin{eqnarray} \left(\sum_{\alpha=1}^N c_\alpha f_\alpha^p\right)^{\frac 1p} \leq \left(\sum_{\alpha=1}^N c_\alpha f_\alpha^q\right)^{\frac 1q} \end{eqnarray}$ . Schreibe dafür die linke Summe als $\begin{eqnarray} \left(\sum_{\alpha=1}^N c_\alpha^{1-\frac pq} (c_\alpha f_\alpha^q)^{\frac pq}\right)^{\frac 1p} \end{eqnarray}$ . Jetzt kannst du höldern
28.07.2015, 14:40	phigo90	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank schon einmal für die Hilfe...Morgen ist die Klausur, dass ist die einzige noch offene Aufgabe...Vllt kriege ich es ja noch hin. Ich kann den Ansatz nachvollziehen, wobei ich da niemals drauf gekommen wäre. Wenn ich jetzt die linke Summe ersetze und dann die Hölder-Ungleichung anwende habe ich doch aber das Problem, dass ich sage, dass $\begin{eqnarray} \left(\sum_{\alpha=1}^N c_\alpha^{1-\frac pq} (c_\alpha f_\alpha^q)^{\frac pq}\right)^{\frac 1p} \leq \left(\sum_{\alpha=1}^N c_\alpha^{1-\frac pq} \sum_{\alpha=1}^N (c_\alpha f_\alpha^q)^{\frac pq}\right)^{\frac 1p} \end{eqnarray}$ . Habe ich jetzt nicht schon ein Problem, dass ich sage, dass das ganze größer ist als meine "linke Ausgangssumme"? Woher weiß ich denn jetzt, dass es immer noch kleiner ist wie meine rechte "Ausgangssumme"? Wenn das Problem gelöst ist, verstehe ich richtig, dass ich noch zeigen muss, dass $\begin{eqnarray} \left(\sum_{\alpha=1}^N c_\alpha^{\frac 1p-q} \right) \leq 1 \end{eqnarray}$ ? Danke für die tolle Hilfe
28.07.2015, 15:09	phigo90	Auf diesen Beitrag antworten »
Juhu Ich konnte es lösen, vielen Dank für den tollen Tipp und die tolle Zerlegung =)
28.07.2015, 15:40	Luscinia	Auf diesen Beitrag antworten »
Gern geschehen Freut mich, dass es du es hinbekommen hast.

Neue Frage »

Antworten »

Höldersche Ungleichung, Mittelwerte

Verwandte Themen