Wahrscheinlichkeit Gedankenexperiment

27.07.2015, 09:39

Hammala

Wahrscheinlichkeit Gedankenexperiment

Hallo,

ich habe gerade von so einem Gedankenexp. gelesen und verstehe es iwie nicht verwirrt

Auf einer Linie bei Position 0 ist ein Staubsauger und bei Position 1 ein Teilchen. Das
Teilchen kann entweder nach links in den Staubsauger hüpfen (und für immer verschwunden sein) oder nach rechts auf Position 2, jeweils mit Wahrscheinlichkeit 0.5.
Das Teilchen springt immer nur auf natürliche Zahlen. Jetzt würde ich gern die Wahrscheinlichkeit ausrechnen, dass das Teilchen von 1 auf 2 und dann wieder zurück in den Staubsauger über 2 nach 1 und 1 nach 0 springt.
Ich hätte gesagt 0.125, aber in der Lösung steht:
$\begin{eqnarray*} p = 0.5 + 0.5p_{21} p_{10} = 0.5(1 + p^2) \end{eqnarray*}$ ,

wobei $\begin{eqnarray*} p_{21} \end{eqnarray*}$ die Wahrsch. ist, von 2 nach 1 zu springen.
Weiß da jemand weiter?

27.07.2015, 10:06

klarsoweit

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RE: Wahrscheinlichkeit Gedankenexperiment
Anscheinend ist p die Gesamtwahrscheinlichkeit, denn der erste Summand ist die Wahrscheinlichkeit, daß das Teilchen direkt im Staubsauger verschwindet. Allerdings ist es verwirrend, daß p sowohl auf der linken als auch auf der rechten Seite der Gleichung steht.

27.07.2015, 10:25

Hammala

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RE: Wahrscheinlichkeit Gedankenexperiment
ja, das ist anscheinend eine Rekursion,
aber sollte die Wahrscheinlichkeit nicht insgesamt kleiner als 0.5 sein?
Hab mir so ein Baudiagramm gezeichnet

EDIT: Ahso p ist die Wahrscheinlichkeit vom Staubsauger aufgesaugt zu werden, dann ist
sie größer als 0.5, ok, warum ist p = p_21 = p_10

27.07.2015, 10:53

Huggy

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RE: Wahrscheinlichkeit Gedankenexperiment

Zitat:

Original von Hammala
Jetzt würde ich gern die Wahrscheinlichkeit ausrechnen, dass das Teilchen von 1 auf 2 und dann wieder zurück in den Staubsauger über 2 nach 1 und 1 nach 0 springt.
Ich hätte gesagt 0.125

Das ist richtig.

Zitat:

aber in der Lösung steht:
$\begin{eqnarray*} p = 0.5 + 0.5p_{21} p_{10} = 0.5(1 + p^2) \end{eqnarray*}$ ,

Hier wird eine andere und interessantere Frage behandelt. Es wird nach der Wahrscheinlichkeit gefragt, dass das Teilchen von 1 irgendwanneinmal nach 0 kommt. Diese Wahrscheinlichkeit wird p genannt. Dabei kann es sehr unterschiedliche Pfade nehmen, nicht nur den von dir beschriebenen. Es kann z. B. gleich nach 0 springen. Deshalb steht auf der rechten Seite erst mal die 0.5. Es kann auf deinem Pfad zur 0 kommen. Es kann sich auch ziemlich weit weg bewegen und nach einigem hin und her wieder zur 1 und von da zur 0 kommen. Um p zu berechnen, könnte man versuchen, die Wahrscheinlichkeiten dieser unendlichen vielen Pfade zu bestimmen und zu addieren. Es erscheint daher ziemlich schwierig zu sein, p zu berechnen.

Aber es gibt eine einfache Möglichkeit, p zu bestimmen. Dazu nennen wir p mal ausführlicher $\begin{eqnarray*} p_{10} \end{eqnarray*}$ . Entsprechend nennen wir $\begin{eqnarray*} p_{20} \end{eqnarray*}$ die Wahrscheinlichkeit, vom Punkt 2 irgendwann einmal zum Punkt 0 zu gelangen. Es ergibt sich dann die Beziehung:

$\begin{eqnarray*} p=p_{10}=0.5+0.5p_{20} \end{eqnarray*}$

Jetzt betrachten wir $\begin{eqnarray*} p_{20} \end{eqnarray*}$ . Damit das Teilchen von 2 irgendwann nach 0 kommt, muss es erst irgendwann mal nach 1 kommen und von dort irgendwann mal nach 0. Also:

$\begin{eqnarray*} p_{20}=p_{21}p_{10}=p_{21}p \end{eqnarray*}$

Nun vergleichen wir $\begin{eqnarray*} p_{10} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p_{21} \end{eqnarray*}$ . 0 ist der Punkt links von 1 und rechts von 1 gibt es unendlich viele Punkte. 1 ist der Punkt links von 2 und rechts von 2 gibt es unendlich viele Punkte. Die Situation ist also völiig dieselbe. Daher:

$\begin{eqnarray*} p_{21}=p_{10} \end{eqnarray*}$

27.07.2015, 11:06

Hammala

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super, vielen Dank! Alles klar

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