Aufgaben aus Prüfung

27.07.2015, 13:27

Rivago

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Aufgaben aus Prüfung

Lief recht bescheiden..

Nur damit ich etwas schlafen kann:

$\begin{eqnarray*} \frac{tan(2x)}{ln(x + 1)} \ \ x \to 0 \end{eqnarray*}$

l'Hospital ergab bei mir $\begin{eqnarray*} \frac{-ln|cos(2x)|}{\frac{1}{1 + x}} = -ln|cos(2x)| \cdot (1 + x) = 0 \end{eqnarray*}$

Scheint falsch zu sein.. ein paar Kommilitonen hatten 2 als Ergebnis. Was hab ich da wieder falsch gemacht?

Dann war eine Aufgabe ungefähr so: Die Funktion f mit $\begin{eqnarray*} f(x) = mx + b \end{eqnarray*}$ soll sich mit ihrer Stammfunktion in der Nullstelle von f schneiden.

Wie geht das? Ich hab die Nullstelle bestimmt, diese ist bei $\begin{eqnarray*} x = -\frac{b}{m} \end{eqnarray*}$

Extremwertaufgabe hat auch nicht geklappt..

Eine Gerade geht durch den Punkt (2|1) und schließt mit den positiven Koordinatenachsen ein Dreieck ein. Wann ist die Fläche des Dreiecks minimal (oder so ähnlich war die Aufgabe gestellt) und wie ist die Steigung der Geraden?

Integrale haben ganz gut funktioniert.. Nur bei einer war ich mir nicht sicher, und zwar $\begin{eqnarray*} \int cosh(3x) \cdot sinh(3x) \ dx \end{eqnarray*}$
Ich hab cosh(3x) substituiert und kam am Ende auf $\begin{eqnarray*} \frac{1}{6} \sqrt{cosh(3x)} \end{eqnarray*}$ oder sowas in der Drehe..

DGL haben geklappt. Hab da auch das selbe raus wie meine Kommilitonen.

Numerik war wieder mal gar nichts unglücklich

unglücklich

27.07.2015, 13:36

klarsoweit

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RE: Aufgaben aus Prüfung

Zitat:

Original von Rivago
l'Hospital ergab bei mir $\begin{eqnarray*} \frac{-ln|cos(2x)|}{\frac{1}{1 + x}} = -ln|cos(2x)| \cdot (1 + x) = 0 \end{eqnarray*}$

Wie hast du denn tan(2x) abgeleitet? verwirrt

verwirrt

27.07.2015, 13:57

Rivago

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Ach fuck

böse

Ich hab die Stammfunktion gebildet und nicht die Ableitung traurig

traurig

Und selbst das stimmt nicht mal..

27.07.2015, 14:11

klarsoweit

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RE: Aufgaben aus Prüfung

Zitat:

Original von Rivago
Dann war eine Aufgabe ungefähr so: Die Funktion f mit $\begin{eqnarray*} f(x) = mx + b \end{eqnarray*}$ soll sich mit ihrer Stammfunktion in der Nullstelle von f schneiden.

Wie geht das? Ich hab die Nullstelle bestimmt, diese ist bei $\begin{eqnarray*} x = -\frac{b}{m} \end{eqnarray*}$

Nun ja, $\begin{eqnarray*} f(x) = mx + b \end{eqnarray*}$ hat ja etliche Stammfunktionen. Vermutlich wird eine davon bei $\begin{eqnarray*} x = -\frac{b}{m} \end{eqnarray*}$ eine Nullstelle haben. Genau diese ist gesucht.

27.07.2015, 14:15

Rivago

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$\begin{eqnarray*} F(x) = \frac{1}{2}mx^2 + bx + c \end{eqnarray*}$

Und wie krieg ich jetzt die, die sich mit f in der Nullstelle schneidet?

27.07.2015, 15:13

klarsoweit

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Wo ist das Problem? Wähle c so, daß $\begin{eqnarray*} F(- \frac b m) = 0 \end{eqnarray*}$ ist. Augenzwinkern

Augenzwinkern

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27.07.2015, 15:38

Mathema

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So z.B.:

Zitat:

Integrale haben ganz gut funktioniert.. Nur bei einer war ich mir nicht sicher, und zwar $\begin{eqnarray*} \int cosh(3x) \cdot sinh(3x) \ dx \end{eqnarray*}$
Ich hab cosh(3x) substituiert

Substitution ist hier nicht notwendig. Es ist:

$\begin{eqnarray*} \cosh(3x)\sinh(3x)=\frac{1}{2}\sinh(6x) \end{eqnarray*}$

Und davon die Stammfunktion zu finden ist weniger schwierig.

Was ich eigentlich nur fragen wollte: Gab es eine Induktion?

27.07.2015, 15:51

Rivago

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Zitat:

Original von klarsoweit
Wo ist das Problem? Wähle c so, daß $\begin{eqnarray*} F(- \frac b m) = 0 \end{eqnarray*}$ ist. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Na toll.. wenn das so einfach ist unglücklich

unglücklich

@mathema

Ja gab es.. aber da hab ich mich nur auf Induktionsanfang, Induktionsannahme, Induktionsbehauptung und Induktionsschluss beschränkt. Auf den Nachweis gibt es dann immer nur 2 Punkte und ich wollte mich daran nicht aufhalten..

Wie funktioniert die Extremwertaufgabe?

Wie kommst du auf 1/2sinh(6x)?

Inwieweit ist meine Lösung richtig? Stimmt das wenistens grob?

27.07.2015, 16:31

Mathema

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Zitat:

Ja gab es.. aber da hab ich mich nur auf Induktionsanfang, Induktionsannahme, Induktionsbehauptung und Induktionsschluss beschränkt. Auf den Nachweis gibt es dann immer nur 2 Punkte und ich wollte mich daran nicht aufhalten..

Ok - aber wie die Aufgabe lautet, weißt du nicht mehr?

Zitat:

Wie funktioniert die Extremwertaufgabe?

Naja dein Dreieck ist ja rechtwinklig (im Ursprung). Der Flächeninhalt berechnet sich also:

$\begin{eqnarray*} A=\frac{1}{2}b\cdot x_N \end{eqnarray*}$

Wir brauchen also die Nullstelle in Abhängigkeit von b. Deine Gerade verläuft durch die Punkte (0|b) und (2|1). Also stellen wir die Geradengleichung auf und berechnen die Nullstelle:

$\begin{eqnarray*} m=\frac{1-b}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1-b}{2}x+b \end{eqnarray*}$

Nun die Nullstelle:

$\begin{eqnarray*} \frac{1-b}{2}x_N+b=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (1-b)x_N = -2b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_N = \frac{-2b}{1-b} \end{eqnarray*}$

Somit ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} A(b)=\frac{1}{2}b \cdot \frac{-2b}{1-b}=\frac{-b^2}{1-b} \end{eqnarray*}$

Nun die 1. und 2. Ableitung bilden und dann b berechnen und nachweisen, dass es sich um ein Minimum handelt. Wenn ich mich auf die Schnelle nicht verrechnet habe, lautet die Geradengleichung:

$\begin{eqnarray*} f(x)=-\frac{1}{2}x+2 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Wie kommst du auf 1/2sinh(6x)?

Es ist:

$\begin{eqnarray*} \sinh(2x)=2\sinh(x)\cosh(x) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Inwieweit ist meine Lösung richtig?

Das kannst du ja leicht kontrollieren, indem du die Ableitung bildest. Es ist:

$\begin{eqnarray*} F(x)= \frac{1}{6} \sqrt{\cosh(3x)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F'(x)=\frac{1}{6} \cdot \frac{3\sinh(3x)}{2\sqrt{\cosh(3x)}}=\frac{\sinh(3x)}{4\sqrt{\cosh(3x)}} \end{eqnarray*}$

27.07.2015, 16:37

Guppi12

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} F(x)= \frac{1}{6} \sqrt{\cosh(3x)} \end{eqnarray*}$

Mit einem Quadrat statt einer Wurzel ist es aber richtig. Hattest du das vielleicht?

27.07.2015, 16:38

outSchool

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Hallo Mathegott,

ich bin ja eher zurückhaltend, deshalb auch nur ein kurzes Statement.

Ich finde es ganz toll, wie du hier am Wochenende die Helfer auf Trab gehalten hast.

Ein DANKESCHÖN war in keiner deiner Antwort enthalten.

Weiter so!

27.07.2015, 19:00

Rivago

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Zitat:

Original von Mathema

Zitat:

Ja gab es.. aber da hab ich mich nur auf Induktionsanfang, Induktionsannahme, Induktionsbehauptung und Induktionsschluss beschränkt. Auf den Nachweis gibt es dann immer nur 2 Punkte und ich wollte mich daran nicht aufhalten..

Ok - aber wie die Aufgabe lautet, weißt du nicht mehr?

Nein, leider nicht. Es war aber ohne Summenzeichen, also eher sowas in der Art wie auf dem Bild, nur etwas schwerer. Eigentlich war das schon zu lösen, auch für mich, aber ich hab mich halt auf den Rest konzentriert und die 2 Punkte liegen gelassen, bevor ich mich da dran aufhäng, nicht weiterkomm und Zeit verliere..

Zitat:

Original von Guppi12

Zitat:

$\begin{eqnarray*} F(x)= \frac{1}{6} \sqrt{\cosh(3x)} \end{eqnarray*}$

Mit einem Quadrat statt einer Wurzel ist es aber richtig. Hattest du das vielleicht?

Hmm nee, ich glaube nicht.. Schade unglücklich

unglücklich

Mit Substitution wäre es aber trotzdem gegangen? Und ich hab mich nur irgendwo "verrechnet"?

Zitat:

Original von outSchool
Hallo Mathegott,

ich bin ja eher zurückhaltend, deshalb auch nur ein kurzes Statement.

Ich finde es ganz toll, wie du hier am Wochenende die Helfer auf Trab gehalten hast.

Ein DANKESCHÖN war in keiner deiner Antwort enthalten.

Weiter so!

Ich heiße nicht Mathegott und bin auch beim besten Willen keiner Big Laugh

Big Laugh

Im Gegensatz zu vielen anderen hier im Board bedanke ich mich immer und habe sogar schonmal einen Thread nach einer sehr erfolgreichen Prüfung eröffnet und mich nochmals bei allen bedankt.

Hier hast du allerdings nicht ganz Unrecht. An diesem Wochenende blieb es einige Male aus und ich würde es gerne hiermit nachholen: Danke an alle für die Hilfe smile

smile

Eine Aufgabe fällt mir gerade noch ein, aus dem Numerik-Teil:

Eine ganzrationale Funktion 5. Grades, die punktsymmetrisch zum Urpsprung ist, hat eine doppelte Nullstelle bei $\begin{eqnarray*} x_1 = 3 \end{eqnarray*}$ und es gilt $\begin{eqnarray*} f'(0) = -6 \end{eqnarray*}$

Da Punktsymmetrie, gilt $\begin{eqnarray*} f(x) = ax^5 + cx^3 + ex \end{eqnarray*}$

Ich hab lediglich $\begin{eqnarray*} e = -6 \end{eqnarray*}$ als Lösung herausbekommen.

Dann noch $\begin{eqnarray*} f(3) = 0 \end{eqnarray*}$

Also ergibt sich $\begin{eqnarray*} 18 = 243a + 27b \end{eqnarray*}$

Und jetzt? verwirrt

verwirrt

27.07.2015, 19:04

Iorek

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Zitat:

Original von Rivago
hat eine doppelte Nullstelle bei $\begin{eqnarray*} x_1 = 3 \end{eqnarray*}$

Damit hast du auch in der ersten Ableitung eine Nullstelle.

27.07.2015, 19:05

Rivago

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Also $\begin{eqnarray*} f'(3) = 0 \end{eqnarray*}$ ?

27.07.2015, 19:06

Mathema

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} f'(x) = -6 \end{eqnarray*}$

Stand da statt dem x nicht eine Zahl zufälligerweise?

Eine doppelte Nullstelle ist auch immer eine Extremstelle, vll hilft dir das ja weiter.

Wink

Wink

edit: Uups - zu spät, und wieder weg...

27.07.2015, 19:08

Rivago

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Ja, da stand eine 0 statt dem x Augenzwinkern

Augenzwinkern

Hab es auch schon editiert..

27.07.2015, 19:16

grosserloewe

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Wink

bin gleich wieder weg.

Zum Integral:

Mit Substitution wäre es aber trotzdem gegangen? ja sicher

z= cosh(3x) ist richtig.

Du bekommst dann als Lösung:

$\begin{eqnarray*} \frac{cosh^2(3x)}{6} +C \end{eqnarray*}$

leider ist Dein Ergebnis falsch.

Aber auf den Rechenweg gibt auch Punkte.

Auf das Ergebnis haben wir immer nur 1 Punkt bekommen, kann natürlich woanders
eben anders sein.

Laß Dich nicht entmutigen . Alles Gute

Der ehem. Landeskollege.
smile

smile

27.07.2015, 22:11

Bjoern1982

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Mensch Rivago, du hast ja viele Fans hier, wenn man mal nach den ganzen Leuten geht, die hier gepostet haben, obwohl klarsoweit ja eigentlich alles im Griff hatte. Big Laugh

Big Laugh

Kompliment zudem auf die souveräne Reaktion auf die sarkastische Provokation von outSchool.
Meine eher nicht so zurückhaltende und eher direkte Art hätte wohl eher so reagiert:

Zitat:

ich bin ja eher zurückhaltend

... und zudem offensichtlich auch nicht sehr internet- oder boardaffin, falls du dachtest, das wäre sein Nutzername oder er hat sich das selbst dahin geschrieben.

Zitat:

Ich finde es ganz toll, wie du hier am Wochenende die Helfer auf Trab gehalten hast.

Na und ? Wer Zeit und Lust hat, der antwortet. Und das sogar - wie immer - vollkommen freiwillig ohne jeglichen Zwang. Tanzen

Tanzen

Zitat:

Ein DANKESCHÖN war in keiner deiner Antworten enthalten.

Dazu hat sich Rivago ja schon geäußert.
Mich verstört nur etwas, dass jemand Beiträge nach Danksagungen abklappert. geschockt

geschockt

27.07.2015, 22:42

Dopap

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Rivago hat sich bei mir schon x mal bedankt. Auch am Wochenende, da braucht man nicht immer eine Wiederholung Augenzwinkern

Augenzwinkern

27.07.2015, 22:55

Helferlein

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Zitat:

Eine ganzrationale Funktion 5. Grades, die punktsymmetrisch zum Urpsprung ist, hat eine doppelte Nullstelle bei $\begin{eqnarray*} x_1 = 3 \end{eqnarray*}$ und es gilt $\begin{eqnarray*} f'(0) = -6 \end{eqnarray*}$

Hierzu hatte ich Dir in einer ähnlichen Aufgabe ja schon mal den Tip gegeben vom Standardweg abzuweichen und die bekannten 5 Nullstellen zu nutzen.
Aufgrund der Symmetrie muss nämlich $\begin{eqnarray*} f(x)=ax(x-3)^2(x+3)^2=ax(x^2-9)^2 \end{eqnarray*}$ gelten und das a bestimmst Du dann über die Ableitung.

28.07.2015, 08:47

klarsoweit

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Zitat:

Original von Rivago

Zitat:

Original von klarsoweit
Wo ist das Problem? Wähle c so, daß $\begin{eqnarray*} F(- \frac b m) = 0 \end{eqnarray*}$ ist. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Na toll.. wenn das so einfach ist unglücklich

unglücklich

Ist damit diese Aufgabe gelöst oder sind da noch Fragen offen?

13.08.2015, 14:37

Rivago

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Hallo

Wink

Hab eine 2,8 bekommen und bin soweit zufrieden smile

smile

Danke nochmal für eure Hilfe Freude

Freude

13.08.2015, 14:57

Mathema

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Das freut mich zu hören.

Dann gratuliere ich herzlich zur bestandenen Prüfung! Freude

Freude

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